北师大版九年级数学下册-专题讲座教案，精品大全集

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北师大版九年级数学下册-专题讲座教案，精品大全集 九年级数学下册 专题讲座（五）教案 北师大版 【学习目标】 1、掌握二次函数的三种表达形式，并能解决实际问题（重点）。 2、灵活运用二次函数的三种表达式来求二次函数的解析式（难点）。 4、希望你充分的展示自己分析问题和解决问题的能力，学会合作探究问题的能力。 【温习旧知】 二次函数的三种表达方式： （1）、解析法：用等式表示一个变量是另一个变量的函数关系式叫做函数解析式（或函数关系式），教材 中叫做函数表达式。 （2）、表格法：列出表格表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做表格法。 （3）、图像法：把自变量的一个值与函数 y 的对应值分别作为点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中描出 点，这些点的集合叫做这个函数的图像。用图像表示一个变量是另一个变量的函数的方法叫做图像法。 【新知探究】 知识点一：用三种方式表示变量之间的函数关系式 问题 1、已知一个矩形的周长是，假设它的一边长为 cm，面积为，请你用不同方式表示与之间的关系。 （1）、用函数表达式表示： 。 （2）、用表格法表示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （3）、用图像表示，并写出自变量的取值范围； （4）、当取何值时，矩形面积最大？最大面积是多少？ <变式练习>：已知二次函数。 （1）、请画出该函数的图像； （2）、求函数图像与轴、轴的交点； （3）、根据图像说出取哪些值时，函数值？？？ 知识点二、二次函数的表达式的三种形式 关于的二次函数的表达式常见的有三种形式： （1）、一般式（或标准式）： （2）、顶点式： （3）、交点式： （其中是抛物线与轴的交点的横坐标。 <强调>： 1 、知道抛物线上三个点的坐标常选用一般式； 2 、知道抛物线的顶点坐标常选用顶点式； ③、知道抛物线与轴的两个交点常选用交点式。 问题 2、已知抛物线经过 (1, 4), ( 1,0), ( 2,5)A B C   三点，试求该抛物线的表达式。 <变式练习>：已知二次函数的图像经过，求此二次函数的解析式。 问题 3、已知二次函数的图像过点，且当时，函数有最小值，求此二次函数的表达式。 <变式练习>：已知抛物线的顶点为，且抛物线经过原点，试求此抛物线的表达式。 问题 4、已知二次函数的图像经过，且图像与轴的交点为和，试求此二次函数的表达式。 <变式练习>：已知抛物线与轴的两个点的横坐标分别是和，与轴的交点的纵坐标是，试确定此抛物线的解 析式。 < 拓 展 延 伸 > ： 如 图 所 示 ， 设 二 次 函 数 的 图 像 与 轴 交 于 A 、 B 两 点 ， 与 轴 交 于 点 C ， 若 020, 15, 90AC BC ACB    ， 试求此二次函数的表达式。 【课后练习】 A、基础部分 1、已知二次函数中 x，y 满足下表： … －2 －1 0 1 2 … … 4 0 －2 －2 0 … 根据表中变量之间的对应关系，求出这个二次函数的关系式。 2、已知当时，二次函数的最大值为－5，且抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，－17），求这个二次函数的解 析式。 3、已知抛物线经过两点且对称轴是直线，试求此抛物线的表达式。 B、思考部分 3、如图所示，二次函数的图像经过 A、B、C 三点。 （1）、观察图像求出该二次函数的表达式； （2）、求出该抛物线的顶点坐标和对称轴以及最值。 4、阅读下面的语言文字后解答问题 有这样一道题目：“已知二次函数的图像经过点以及 C（ ），求证这个二次函数的对称轴是直线”。 题目中的 C 点坐标已经模糊看不清了。 （1）、根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的表达式？若能，请写出解答过程。若不能，请说明 理由。 （2）、请你根据已有的信息，给原题目中的点 C 补上适当的坐标，把原题补充完整。 C、兴趣部分 5、如图所示，已知二次函数图像的顶点坐标，直线与该二次函数的图像交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标 为，B 点在 y 轴上。 （1）、求 m 的值及二次函数的表达式； （2）、P 为线段 AB 上的一个动点（点 P 与 A、B 不重合），过 P 作轴的垂线与这个二次函数的图像交于 E 点， 设线段 PE 的长为，点 P 的横坐标为，试求与之间的函数关系，并写出变量的取值范围； （3）、D 为直线 AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是 平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 课题： 弧长及扇形的面积 教学目标： 、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会 应用公式解决问题． 、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养探索能力，训练数学运用能力。 、通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，体验数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的兴趣， 提高学习积极性，同时提高对知识的运用能力。 教学重点与难点： 重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。 难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。 课前准备：直尺、圆规、多媒体课件。 教学过程： 一、创设情境，引入新课： 师：同学们，还记得唐代诗人王之涣的《登鹳雀楼》 这首诗吗？ 白日依山尽,黄河入海流。欲穷千里目,更上一层 楼。 你能求出这幢楼至少该有多高吗？生活中有没有 这样的楼？让 我们拭目以待。（板书课题：弧长及扇形的面积） 【设计意图】通过诗情画意的展示，调动学生学习 的积极性，激 发起进一步学习的兴趣，吸引学生的注意力，为新课的 学习做铺垫。 二、自主先学, 合作探究： 【自主先学一】【多媒体展示】： 问题：（）圆的圆心角（圆周角）是多少度?（）圆的周长公式是什么? 【合作探究一】弧长的计算公式： 你能探讨出在半径为的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流： °的圆心角对应圆周长为π，那么°的圆心角对应的弧长为，°的圆心角对应的弧长应为°的圆心角 对应的弧长的倍，即。 师生归纳：在半径为的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为： 180 Rnl  。 【活动方式】学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师解答释疑。 【友情提示】在应用弧长公式 180 Rn 进行计算时，要注意公式中的意义，表示°圆心角的倍数，它是 不带单位的。 【学以致用】【多媒体展示】 【活动方 式】学生先独 立思考，小组 讨论，并派代 表 在 全 班 交 流，然后师生 互动共同解析。 【思维启迪】要求管道的展直长度，即求弧的长，根据弧长公式 180 Rnl  ，可求得弧的长，其中为圆 心角，为半径。 【一生口述，师板书解题过程】 【 设 计 意图】让 学 生 利 用 公 式 进 行 弧 长 的 有 关计算， 明 确 弧 长 与 所 在 圆 的 半径、圆 心角的度数关系，熟练公式的应用，规范书写过程。 【自主先学二】【多媒体展示】：圆的面积公式是什么? 【合作探究二】扇形面积的计算公式：你能总结扇形的面积公式吗？ 如果圆的半径为，则圆的面积为π，仿照探究弧长公式的过程可知，°扇形的面积占整个圆面积的 1 360 ，所以°的圆心角对应的扇形面积为，°的圆心角对应的扇形面积为。 因此扇形面积的计算公式为： 360 2RnS 扇形 ，其中为扇形的半径，为圆心角。 【活动方式】学生思考，计算，小组讨论，总结扇形的面积的计算公式，师巡视，并答疑解难，绝大 多数小组获得结论后，再组织汇报。 【小试身手】扇形的半径为，∠＝°，求弧的长(结果精确到)和扇形的面积(结果精确到 0.1cm) 【活动方式】学生分组讨论，合作交流，教师参与到小组合作学习中，并给予必要的个别指导，师生 共同补充完善。 【设计意图】引导学生自己根据已有的知识，用类比的方法解决与扇形有关的实际问题，教师此时乘 胜追击，再出示小试身手，让学生及时巩固所学。 例 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度” 再下料，试计算图中管道的展直长度，即弧的长(结果精确 到．)。 解：∵＝40mm，。 ∴ lAB ＝ 180 Rn ＝ 110 180 ×π≈76.8mm， 因此，管道的展直长度约为 76.8mm。 【合作探究三】弧长与扇形面积的关系： 在半径为的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为＝ 180 n π，°的圆心角的扇形面积公式为扇形＝ 360 n π，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角和半径有关系，请问，和之间有什么关系吗?换句 话说，能否用弧长表示扇形面积呢？请大家互相交流。 【活动方式】让学生对比弧长及扇形面积公式进行探究、 交流，师参与她们的活 动之中，最后教师展示探讨的过程及结果： 解： ∵ 180 n π，扇形 360 n π， ∴ 扇形S 360 n π 1 2 · 180 n π， ∴ lRS 2 1扇形 并引导学生想一想：扇形面积的第二个计算公式类似于哪种图形的计算公式？ 【设计意图】通过弧长与扇形面积关系的探索，引导学生对比弧长公式和扇形面积公式，经过分析讨 论得到扇形面积的第二种计算方法，让学生在分析对比中强化对知识的记忆。 三、实际应用，升华新 知 : 、学以致用：解决“欲穷千里目,更上一层楼”的问题： 【思路导航】如图，设弧代表地面，为地球中心，点离点为千米 （即里）。显 然，人站在点是看不到点处的景物的，因而需要登楼到点处。这时， 人的视线与⊙ 相切，即为楼的最小高度。因为＝－，是地球半径，约等于千米， 所以只需计算 出即可。 【师生共析规范解题】 【 设 计 意 图】这节课一开 始，以问题形式 引入新课，学生 是带 着问 题来 学习新知识的， 所以 学习 完新 知识后，要带着 学生回过头来， 运用 所学 的知 识解决开始的实际问题，让学生感受到学以致用，感受到用所学知识解决实际问题的快乐。 、拓展应用： 如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽 度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为 °，问哪一把扇子扇面的面积大？ 解：设 O 的度数为°，由弧长公式得： 180 Rnl  即： 180 6370500  n 解得：  5.4n 在 OCBRt 中， 6390 5.4cos 6370 cos    O OCOB ＝－＝－＝千米 通过计算表明，这幢楼至少要有千米高，远远超过世界最高峰——珠穆朗玛峰 的高度，这样高的楼现实生活中是没有的。 【活动方式】留出足够的时间让学生自主完成、讨论交流校对，学生展示讲解，教师给予补充提问， 师生评判纠错完善， 【设计意图】进一步体会利用数学知识解决实际问题成功感，逐步培养学生的应用意识。 四、诱导反思, 归纳总结： 通过本节课的学习，你有哪些感悟与收获？ 【活动方式】让学生畅所欲言地进行谈谈自己的收获和感受，其他学生听后进行思考并适当进行补充， 最后教师可补充：在计算阴影面积问题时，可以通过规则图形的面积的和或差求解，也可以通过图形变化 转化为规则图形求解。 【设计意图】引导学生对本节课进行系统的总结，学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总 结，进一步巩固所学知识，发挥学生的主体作用，培养分析归纳能力和语言表达能力。 五、达标测试，反馈矫正： ★级：轻松过关 —— 打基础： 、在半径为的圆中，°的圆心角所对的弧长为（结果保留π）。 、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中∠为°长为 8cm，长为 12cm，则阴影部分的面积为（ ） ． 264πcm ． 2112πcm ． 2144πcm ． 2152πcm ★★级：快乐提升 —— 练能力： 、如图，为拧紧一个螺母，将扳手逆时针旋转º，扳手上一点转至点处，若长为 25cm，则长为(结果保 留 )。 、如图，⊙、⊙、⊙、⊙、⊙的半径都是，顺次连接五个圆心得五边形，求图中五个扇形的面积之和 （阴影部分）为。 ★★★级：体验中考 —— 树信心： 、（年云南省）已知扇形的圆心角为°，半径长为，则该扇形的弧长为（ ） 、 ．π． π． π 、（•德州）如图，正三角形的边长为，、、分别为、、的中点，以、、三点为圆心，半径为作圆，则圆中 阴影部分的面积是． 第题图 第题图 第题图 【活动方式】让学生在分钟时间内做完，做完后小组内互评，教师跟踪学困生，对进步较快的给以语 言激励，培养她们的自信心。 【设计意图】学生通过自评互评，可以全面了解自己的学习过程，及时进行反思，感受自己的成长和 进步，同时为教师改进教学，实施因材施教提供重要依据。 六、布置作业，落实目标： 必做题：课本习题 第、、、题 选做题：(年四川资阳)如图，扇形中，半径， ∠°，是 的中点，连接、，则图中阴影部 分面积是 板书设计： §弧长及扇形的面积 一、弧长的计算公式： ＝ 180 n π 例：弧长公式的应用： 二、扇形的面积公式： ＝ 360 n π 小试身手：弧长及扇形的面积公 式的应用： 三、探索弧长及扇形的 面积之间的关系： 扇形 1 2 四、实际应用： 学生板演区 学生板演区 学习是一件增长知识的工作，2.4.1 二次函数的应用（一） 【教学内容】二次函数的应用（一） 【教学目标】 知识与技能 掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值． 过程与方法 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识 解决实际问题 情感、态度与价值观 在探究活动中，体验二次函数知识在实际生活中的应用。 【教学重难点】 学优高考 重点：本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，准确把握条件列出二次函数表达式，并根据 限制条件或二次函数顶点式求出最大（或最小）值。 难点：由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等， 应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式． 【导学过程】 【知识回顾】确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标： ⑴y＝3x2 一 6x +7 ⑵ y＝-2 x2 一 12x +8 【情景导入】 把二次函数表达式化为顶点式后，可以求出函数的最大（或最小）值。下面我们来看它在实际生活 中的应用吧！ 【新知探究】 探究一、例 1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1).设矩形的一边 AB=xcm,那么 AD 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少? 探究二、结合例 1 中应用的相似形知识列出二次函数表达式，并求出最大（最小）值。 1、如图⑴，在 Rt△ABC 中，AC=3cm，BC=4cm，四边形 CFDE 为矩形，其中 CF、CE 在两直角边上，设 矩形的一边 CF=xcm．当 x 取何值时，矩形 ECFD 的面积最大？最大是多少？ 2、如图⑵，在 Rt△ABC 中，作一个长方形 DEGF，其中 FG 边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形 DEGF 的面积最大是多少？ gkstk 3、如图⑶，已知△ABC，矩形 GDEF 的 DE 边在 BC 边上．G、F 分别在 AB、AC 边上，BC=5cm，S△ABC 为 30cm2，AH 为△ABC 在 BC 边上的高，求△ABC 的内接长方形的最大面积． 探究三：例 2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所 有的黑线的长度和)为 15m.当 x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到 0.01m)?此时,窗户的面积是 多少? 变式练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中 所有黑线的长度和）为 15m．当 x 等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到 0．01m）？此时，窗户 的面积是多少？ 学优高考网 gkstk] 【知识梳理】本节课我们学习如何列出二次函数表达式，并根据条件求出函数最大（或最小）值。 【随堂练习】 1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 8m，宽是 2m，抛物线可以用 y=－ x2 ＋4 表示． （1）一辆货运卡车高 4m，宽 2m，它能通过该隧道吗？ （2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？ （3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？ 2．在一块长为 30m，宽为 20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为 xm，除去花台 后，矩形地面的剩余面积为 ym2，则 y 与 x 之间的函数表达式是 ，自变量 x 的取值范围是 ．y 有最大值或最小值吗？若有，其最大值是 ，最小值是 ，这 个函数图象有何特点？ 3．如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的 养鸡场,没靠墙的篱笆长度为 xm。(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米? (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米? (3)比较(1).(2)的结果,你能得到什么结论? 4．把 3 根长度均为 100m 的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？ gkstk 5．周长为 16cm 的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形 是 ． 6．当 n= 时，抛物线 y=－5x2＋（n2－25）x－1 的对称轴是 y 轴． 7．已知二次函数 y=x2－6x＋m 的最小值为 1，则 m 的值是 ． 8．如果一条抛物线与抛物线 y=－ 3 1 x2＋2 的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ． 9．若抛物线 y=3x2＋mx＋3 的顶点在 x 轴的负半轴上，则 m 的值为 ． 10．将抛物线 y=3x2－2 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则所得抛物线为（ ） A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1 C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2 11．二次函数 y=x2＋mx＋n，若 m＋n=0，则它的图象必经过点（ ） A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1） 12．如图是二次函数 y=ax2＋bx＋c 的图象，点 P（a＋b，bc）是坐 标平面内的点，则 点 P 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．已知：如图 1，D 是边长为 4 的正△ABC 的边 BC 上一点，ED∥AC 交 AB 于 E，DF⊥AC 交 A C 于 F， 设 DF=x． （1）求△EDF 的面积 y 与 x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，△EDF 的面积最大？最大面积是多少； （3）若△DCF 与由 E、F、D 三点组成的三角形相似，求 BD 长． 14．如图 2，有一块形状是直角梯形的铁皮 ABCD，它的上底 AD=3cm，下底 BC=8cm，垂直于底的腰 CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮 MPCN，使它的顶点 M、P、N 分别在 AB、BC、CD 上．当 MN 是多长时，矩形 MPCN 的面积有最大值？ gkstk 15．如图 3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到 MN 的距离是 4dm．要在铁皮 上截下一矩形 ABCD，使矩形顶点 B、C 落在 MN 上，A、D 落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能 否等于 8dm？ 16．如图 4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC 的矩形水池 DEFN．其中 DE 在 AB 上，AC=8，BC=6． （1）求△ABC 中 AB 边上的高 h； （2）设 DN=x，当 x 取何值时，水池 DEFN 的面积最大？ （3）实际施工时，发现在 AB 上距 B 点 1．85 处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边 上？ 第一章 直角三角形的边角关系 1.1.1 锐角三角函数（一） 【教学内容】锐角三角函数（一） 【教学目标】 知识与技能 理解锐角三角函数中正切函数的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度 等，能够用正切进行简单的计算 过程与方法 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系. 情感、态度与价值观 从实践中引导学生学会观察、思考，探索发现客观事物中存在的数学规律。 【教学重难点】 重点：探索直角三角形的边角关系.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义， 难点：理解正切函数的意义，领会直角三角形边角关系的实质. 【导学过程】 【情景导入】 一、学会观察，学会发现: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 学优高考 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 【新知探究】 gkstk 探究一、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系? ⑵ 2 22 1 11B AC CB AC C 和 有什么关系？ ⑶如果改变 B2 在梯子上的位置(如图)，在每个直角三角形 中，∠A 的对边和邻边比值会变吗？ ⑷由此你得出什么结论? 根据相似三角形对应边的比相等，上述每两组线段的比值是一定的。实际上，决定比值大小的量不是 它们边的长短，而是∠A 度数的大小。即如果锐角 A 度数确定，那么∠A 的对边与邻边的比也随之唯一确 定，这符合函数的定义，因此我们把锐角 A 度数叫做自变量，它的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA.。 即 tanA=∠A 的对边／∠A 的邻边 根据函数的定义，当∠A 变化时，tanA.也随之变化。 探究二、例题： gkstk 例 1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 归纳：当锐角的正切值较大时，坡度也较 大。 探究三、 例 2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=15cm，AB=25cm，求 tanA 和 tanB 的值. ……. 学优高考网 gkstk] 归纳：求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边。 【知识梳理】本节课我们学习了哪些知识？你明白了什么道理？ 【随堂练习】 1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出 tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B，已知点 B 到山脚的垂直距离为 55m，求山的 坡度.(结果精确到 0.001) 学优高考 3、若某人沿坡度 i＝3：4 的斜坡前进 10 米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、如图，Rt△ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 12 m，它的坡角为 45°，为了提高该堤 的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为 1：1.5 的斜坡 AD，求 DB 的长.(结果保留根号) 5、菱形的两条对角线分别是 16 和 12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为 θ，则 tanθ＝______. 6、如图,在菱形 ABCD 中,AE⊥BC 于 E,EC=1,tanB= 12 5 , 求菱形的边长和四 边形 AECD 的周长. 7、已知:如图,斜坡 AB 的倾斜角 a,且 tanα= 3 4 ,现有一小球从坡底 A 处以 20cm/s 的速度向坡顶 B 处移动,则小球以多大的速度向上升高? 第二章 二次函数 【学习目标】 1．引导学生对全章的知识梳理，掌握二次函数图像的性质，会用待定系数法求函数表达式，并能运用与 之有关的数学知识来解决问题。 2．通过本节课的复习，让学生进一步加深二次函数的运用和理解，更深层次体会数形结合及建模的数学 E D B A C B A  C 思想；学会从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，发展应用意识。 3．通过将二次函数的有关知识灵活运用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学 的兴趣。 【学习重点】二次函数图像的性质以及待定系数法求表达式。 【学习过程】 一、本章知识归类整理 1、函数的三种表示方： 、 、 。 2、二次函数表达式的三种形式 （1）. 一般式： （ a ， b ， c 为常数， 0a  ）； （2）. 顶点式： （ a ， h ， k 为常数， 0a  ）； （3）. 交点式： （ 0a  ， 1x ， 2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即 2 4 0b ac  时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这 三种形式可以互化 1、 函数图像的性质——抛物线 抛物线 对称轴 顶点坐标 开口方向 2axy  kaxy  2  2hxay    khxay  2 cbxaxy  2 （1）开口方向——二次项系数 a 二次函数 2y ax bx c   中， a 作为二次项系数，显然 0a  ． 当 0a  时，抛物线开口_____, a 的值越大，开口_____,反之 a 的值越小,开口_____； 当 0a  时，抛物线开口_____, a 的值越小,开口_____,反之 a 的值越大，开口_____． 总结： a 决定了抛物线开口的 和 ， a 的正负决定开口 ， a 的大小决定开口 的 。Ia|越大开口就越 ,|a|越小开口就越 。 （2）抛物线是 图形，对称轴为直线。抛物线的______是图象的最高点或最低点. 一般式：___________ 对称轴 顶点式：___________ 两根式：___________ （3）对称轴位置 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置。（“左同右异”） a 与 b 同号（即 ab 0） 对称轴在 y 轴 侧 a 与 b 异号（即 ab 0） 对称轴在 y 轴 侧 （4）增减性，最大或最小值 当 a>0 时，在对称轴左侧（当 2 bx a   时），y 随着 x 的增大而 ；在对称轴右侧（当 2 bx a   时），y 随着 x 的增大而 ； 当 a<0 时，在对称轴左侧（当 2 bx a   时），y 随着 x 的增大而 ；在对称轴右侧（当 2 bx a   时），y 随着 x 的增大而 ； 当 a>0 时，函数有最小值，并且当 x= ，y 小= ； 当 a<0 时，函数有最大值，并且当 x= ，y 大= ； （5）常数项 c 常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。 抛物线与 y 轴交于（ ， ）。 （6） A、b、c 符号判别 二次函数 cbxaxy  2 （a≠0） 中 a、b、c 的符号判别： （1）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0； （2）c 的符号判别由与 Y 轴的交点来确定：若交点在 X 轴的上方，则 c 0；若交点在 X 轴的下方， 则 C 0； （3）b 的符号由对称轴来确定：对称轴在 Y 轴的左侧，则 a、b 号；若对称轴在 Y 轴的右侧， 则 a、b 号； （7）抛物线与 x 轴交点个数 Δ= acb 42  ＞0 时，抛物线与 x 轴有 个交点。 这两点间的距离 2 1 2 4| | | | b acAB x x a    一般式： ______________ 顶点式：______________顶点坐标 Δ= acb 42  =0 时，抛物线与 x 轴有 个交点。 顶点在 x 轴上。 Δ= acb 42  ＜0 时，抛物线与 x 轴 交点。 （1' 当 0a  时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 0y  ； （ 2' 当 0a  时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 0y  ．） （8）特殊情况 ①二次函数 cbxaxy  2 （a≠0 ）与 X 轴只有一个交点或二次函数的顶点在 X 轴上，则Δ =b2-4ac=_____； ②二次函数 cbxaxy  2 （a≠0）的顶点在 Y 轴上或二次函数的图象关于 Y 轴对称，则 b=____； ③二次函数 cbxaxy  2 （a≠0）经过原点，则 c=_____； 4、平移、平移步骤： (5)将抛物线解析式转化成顶点式  2y a x h k   ，确定其顶点坐标 h k， ； (6)左右平移变 h,左加右减；上下平移变 k，上加下减。 二、典型例题 例 1、二次函数 cbxaxy  2 的图像如图所示，试确定 a、b、 c、abc、 acb 42  、2a-b、a+b+c、a-b+c 的值得符号。 例 2、已知二次函数 322  xxy 。 （1）把它配方成   khxay  2 的形式________________________； （2）写出函数图像的开口方向、顶点坐标及对称轴__________________________； （3）函数   41 2  xy 的图像可由抛物线 42  xy 向_____平移____个单位得到；也可由  21 xy 向_____平移____个单位得到。 （4）求出函数的图像与两坐标轴的交点坐标__________________________； （5）抛物线 322  xxy 在 x 轴上截得的线段的长度是____________； （6）画出此函数的草图，根据函数的图像回答： ①当 x____时， 二次函数 322  xxy 的函数值 随 x 的增大而增大；当 x____时，二次函数 322  xxy 的函数值随 x 的增大而减小。 ②当 x____时，二次函数 322  xxy 的值大于 0；当 x____时，二次函数 322  xxy 的值小于 0。③当 x____时，二次函数 322  xxy 取得最_____值，为__________。 例 3、解答下列各题 (1)抛物线    22 11 mxmxy  的顶点在原点，则 m=_________。 (2) 抛物线 mxxy  22 的顶点在 x 轴上，则 m=_________。 (3) 抛物线   mxmxy 322  的顶点在 y 轴上，则 m=_________。 (4) 抛物线   22 22  mmxmy 过原点，则 m=____________。 例 4、根据下列条件，求出二次函数的表达式。 （1）抛物线 cbxaxy  2 经过点（0,1）（1,3）（-1,1）三点。 （2）抛物线的顶点为 P（-1，-8），且过点 A（0，-6）。 （3）已知二次函数 cbxaxy  2 的图像经过（3,0），（2，-3）两点，并且一 x=1 为对称轴。 例 5、如图，抛物线 cbxaxy  2 过点 A(-1，0)，且经过直线 y=x-3 与坐标轴的两个交点 B，C。 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）若点 M 在第四象限内的抛物线上，且 OM⊥BC，垂足为 D，求点 M 的 坐标。 例 6、某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量 t（件）与每件的 销售价 x（元/件）可看成是一次函数关系：t= -3x+204。 （1）写成商场卖这种服装每天的销售利润 y 与每件的销售价 x 之间的函数关系式； （2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？