北师大版数学九年级下册练习题+数学九年级下册教案(全)

北师大版数学九年级下册练习题+数学九年级下册教案(全)

北师大版数学 九年级下册练习题+数学九年级下册教案(全) 2.3 确定二次函数的表达式(1) 一、选择题： 1．已知抛物线过 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y轴交于 C点，且 BC=3 2， 则这条抛物线的解析式为 ( ) A．y=－x2+2x+3 B．y＝x2－2x－3 C．y=x2+2x―3 或 y＝－x2+2x+3 D．y=－x2+2x+3 或 y＝x2－2x－3 2．如果点(－2，－3)和(5，－3)都是抛物线 y=ax2+bx+c 上的点，那么抛物 线的对称轴是 ( ) A．x=3 B．x=－3 C．x= 3 2 D．x=－ 3 2 3．二次函数 y=ax2+bx+c，b2=ac，且 x=0 时 y=-4 则（ ） A．y 最大=-4 B．y 最小=-4 C．y 最大=-3 D．y 最小=3 4．（2014•舟山，第 10 题 3 分）当﹣2≤x≤1时，二次函数 y=﹣（x﹣m）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m的值为（ ） A ﹣2 B 或 C 2 或 D 2 或﹣ 或 5．平时我们在跳绳时，绳摇到最高点处的形状可近似地看做抛物线，如图 2 - 78 所示．正在摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为 4 m，距地高均为 1 m，学生 丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 m，2．5 m 处．绳子在摇到最高处时刚 好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是 1．5 m，则学生丁的身高为 ( ) A．1.5 m B．1.625 m C．1.66 m D．1.67 m 二、填空题： 6．将抛物线 y=x2向左平移 4 个单位后，再向下平移 2 个单位，则此时抛物线 的解析式是________． 7．（锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在 y轴的负半轴上，请你写 出一个满足条件的二次函数的表达式________． 8．（长春市）函数 y=x2+bx-c 的图象经过点（1，2），则 b-c 的值为______． 9.如图 2 - 79 所示，已知二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点 p的横坐标 是 4，图象与 x轴交于点 A(m，0)和点 B，且点 A在点 B的左侧，那么线段 AB 的 长是 ．(用含字母 m的代数式表示) 5．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)， 则该抛物线的解析式为 ． 三、解答题： 10．用配方法把二次函数 y＝l+2x－x2化为 y＝a(x－h)2+k 的形式，作出它的草 图，回答下列问题． (1)求抛物线的顶点坐标和它与 x轴的交点坐标； (2)当 x 取何值时，y随 x的增大而增大? (3)当 x 取何值时，y的值大于 0? 11．已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A，B，C三点，当 x≥0时，其图象如图所示． （1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标； （2）画出抛物线 y=ax2+bx+c 当 x<0 时的图象； （3）利用抛物线 y=ax2+bx+c，写出 x为何值时，y>0． 12．―抛物线与 x轴的交点是 A(－2，0)，B(1，0)，且经过点 C(2，8)． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的顶点坐标． 13．如图 2 - 81 所示，矩形 A′BC′O′是矩形 OABC(边 OA 在 x 轴正半轴上， 边 OC 在 y 轴正半轴上)绕点 B逆时针旋转得到的．点 O′在 x轴的正半轴上，点 B的坐标为(1，3)． (1)如果二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0)的图象经过 O，O′两点，且图象顶点 M的纵坐标为－l，求这个二次函数的解析式； (2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右侧，是否存在点 P，使 得△POM 为直角三角形?若存在，求出点 P的坐标和△POM 的面积；若不 存在，请说明理由； (3)求边 C′O′所在直线的解析式． 参考答案 1．D[提示：注意由条件不能确定抛物线的开口方向，所以此题不要 漏解．] 2C 3．C [提示：点(－2，－3)与(5，－3)关于直线 x＝ 3 2 对称．] 4．B[提示：建立如图 2－82 所示的平面直角坐标系，由图象可知三点坐标(－ 1，1)，(0，1.5)，(3，1)，则抛物线的解析式为 y＝－ 1 6 x2＋ 1 3 x＋ 3 2 ，又当 x ＝1.5 时，代入求出 y＝1.625．故选 B．] 5．B 6.分析：根据平移的规律，上加下减，可以得到答案是：y=（x+4）2-2 （y=x2+8x+14） 7.答案不唯一，符合要求即可.如：y=x2-2 8.分析：把点（1.2）代入可以得到 b-c 的值为 1,所以答案是：1 9．8－2m[提示：点 A 到抛物线对称轴的距离为 4－m，所以线段 AB 的长为 2(4－m)＝8－2m．] 10．解：y=－(x－1)2＋2，图略．(1)顶点坐标为(1，2)，与 x轴的两个交点 坐标分别为(1－ 2，0)，(1＋ 2，0)． (2)当 x＜1 时，y随 x的增大而增大. (3)当 l－ 2＜x＜1＋ 2 时，y 的值大于 0． 11、 （1）y=- 1 2 x2+ 3 2 x+2，顶点坐标（ 3 2 ， 25 8 ） （2）略，（3）当-10． 12．解：(1)设这个抛物线的解析式为 y=ax2＋bx＋c．将 A(－2，0)，B(1，0)， C(2，8)三点代入，得 4 2 0, 0, 4 2 8, a b c a b c a b c            解这个方程组，得 2, 2, 4, a b c       ∴所求抛物线的 解析式为 y＝2x2＋2x－4． (2)∵y=2x2＋2x－4＝2(x2＋x－2)=2(x＋ 1 2 )2－ 9 2 ， ∴该抛物线的顶点坐标为(－ 1 2 ，－ 9 2 )． 13．解：(1)如图 2－83 所示，连接 BO，BO′，则 BO=BO′．∵BA⊥OO′， ∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴ 4 2 0, 1, 0, a b c a b c c           解得 1, 2, 0, a b c       ∴所求二次函数的解析式为 y＝x2－2x． (2)假设存在满足题设条件的点 P(x，y)．连接 OM，PM，OP，过 P 作 PN⊥x 轴于 N，则∠POM＝90°．∵M(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴ ∠PON=45°，∴ON=NP，即 x＝y．∵P(x，y)在二次函数 y=x2－2x 的图象上，∴x ＝x2－2x，解得x＝0或 x＝3．∵P(x，y)在对称轴的右侧，∴x＞1，∴x=3，y=3， 即 P(3，3)是所求的点．连接 MO′，显然△OMO′为等腰直角三角形，∴点 O′ (2，0)也是满足条件的点，∴满足条件的点是 P(2，0)或 P(3，3)，∴OP=3 2， OM= 2，∴S△POM= 1 2 OP·OM=3 或 S△POM＝ 1 2 OM·O′M=1． (3)设 AB 与 C′O′的交点为 D(1，y)，显然 Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在 Rt △DAO′中，AO′2＋AD2＝O′D2，即 1＋y2＝(3－y)2，解得 y= 4 3 ，∴D(1， 4 3 )．设 边 C′O′所在直线的解析式为 y＝kx＋b，则 4 , 3 2 0, k b k b        解得 4 , 3 8 , 3 k b        ∴所求直 线的解析式为 y= 4 8 . 3 3 x  第一章 直角三角形的边角关系【全册教案】 第 1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这 一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。  师生共同研究形成概念 1、梯子的倾斜程度 在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜 角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜 角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜 角的正切。 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入 正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、想一想（比值不变） ☆ 想一想 书本 P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的 倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有 关，而与直角三角形的大小无关。 3、正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 A AA   tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对 边与∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） tanA = ；tanB = ； A B C A B C ∠ A的对边 ∠ A的邻边 斜边 A BC 2） 若 AC = 4，BC = 3，则 tanA = ；tanB = ； 3） 若 AC = 8，AB = 10，则 tanA = ；tanB = ； b、 如图，在△ACB 中，tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大，梯子越陡 4、讲解例题 例 1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。 例 2 如图，在△ACB 中，∠C = 90°，AC = 6， 4 3tan B ，求 BC、AB 的长。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。  随堂练习 5、书本 P 4 随堂练习  小结 正切函数的定义。  作业 书本 P4 习题 1.1 1、2、4。 8m α 5m 5m β 13m A B C 第 2课时 §1.1.2 锐角三角函数 教学目标 5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明 7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正弦、余弦函数的定义 难点：理解正弦、余弦函数的定义 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。  复习正切函数  师生共同研究形成概念 6、引入 书本 P 7 顶 7、正弦、余弦函数 斜边 的对边AA  sin ， 斜边 的邻边AA  cos ☆ 巩固练习 c、 如图，在△ACB 中，∠C = 90°， 1） sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ； 2） 若 AC = 4，BC = 3，则 sinA = ；cosA = ； 3） 若 AC = 8，AB = 10，则 sinA = ；cosB = ； d、 如图，在△ACB 中，sinA = 。（不是直角三角形） 8、三角函数 锐角∠A 的正切、正弦、余弦都是∠A 的三角函数。 9、梯子的倾斜程度 sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越大，梯子越陡 10、 讲解例题 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AC = 200， 6.0sin A ，求 BC 的长。 分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。 例 4 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10， 13 12cos A ，求 AB 的长及 sinB。 分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。  随堂练习 11、 书本 P 随堂练习  小结 正弦、余弦函数的定义。  作业 书本 P 6 习题 1、 2、3、4、5 A B C ∠ A的对边 ∠ A的邻边 斜边 A BC A B C A B C A B C 第 3课时 §1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值 教学目标 9、 经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体 会三角函数的意义 10、 能够进行含有 30°、45°、60°角的三角函数值的计算 11、 能够根据 30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小 教学重点和难点 重点：进行含有 30°、45°、60°角的三角函数值的计算 难点：记住 30°、45°、60°角的三角函数值 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函 数值。  师生共同研究形成概念 12、 引入 书本 P 8 引入 本节利用三角函数的定义求 30°、45°、60°角的三角函数值，并利用这些值进行一 些简单计算。 13、 30°、45°、60°角的三角函数值 通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。 度数 sinα cosα tanα 30° 2 1 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 2 3 2 1 3 要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。 14、 讲解例题 例 5 计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）  30cos31 ； A B C A B C （3）   45cos60sin 45sin30cos ； （4）  45tan45cos60sin 22 。 分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。 例 6 填空：（1）已知∠A 是锐角，且 cosA = 2 1 ，则∠A = °，sinA = ； （2）已知∠B 是锐角，且 2cosA = 1，则∠B = °； （3）已知∠A 是锐角，且 3tanA 3 = 0，则∠A = °； 例 7 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好 为 60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时 的高度之差。 分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。 例 8 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ca 32  ，求 c a ，∠B、∠A。 分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。  随堂练习 15、 书本 P 9 随堂练习  小结 要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。  作业 书本 P 9 习题 1.3 1、2、3、4、 A B C O D §1.3 三角函数的有关计算 教学目标： 1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义． 2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题． 教学重点 1．经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义． 2．能够利用计算器进行有关三角函数值的计算． 教学难点 把实际问题转化为数学问题 教学过程： 一、导入新课 生活中有许多问题要运用数学知识解决。本节课我们共同探讨运用三角函数解决与直 角三角形有关的简单实际问题—§1.3、三角函数的有关计算 二、讲授新课 引入问题 1：会当凌绝顶，一览众山小，是每个登山者的心愿。在很多旅游景点，为了方便游 客，设立了登山缆车。 如图，当登山缆车的吊箱经过点 A到达点 B时，它走过了 200m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角 030 。 那么缆车垂直上升的距离是多少? 分析：在 Rt△ABC 中，∠α＝30°，AB=200 米，需求出 BC. 根据正弦的定义，sin30°= 200 BC AB BC  , ∴BC＝ABsin30°＝200 × 2 1 =100(米). 引入问题 2： 当缆车继续由点 B到达点 D时，它又走过了 200 m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面 的夹角是∠β＝45°，由此你能想到还能计算什么? 分析：有如下几种解决方案： 方案一：可以计算缆车从 B 点到 D点垂直上升的高度. 方案二：可以计算缆车从 A 点到 D点，垂直上升的高度、水平移动的距离. 三、变式训练，熟练技能 1、一个人从山底爬到山顶，需先爬 40°的山坡 300 m，再爬 30°的山坡 100 m， 求山高.( sin40°≈0.6428，结果精确到 0.01 m) 解：如图，根据题意，可知 BC=300 m，BA=100 m，∠C=40°，∠ABF=30°. 在 Rt△CBD 中，BD=BCsin40°≈300×0.6428＝192.84(m)； 在 Rt△ABF 中，AF=ABsin30°=100× 2 1 =50(m). 所以山高 AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m). 2、求图中避雷针的长度 。（参考数据：tan56°≈1.4826， tan50°≈1.1918) 解：如图，根据题意，可知 AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56° 在 Rt△DBA 中，DB=ABtan56° ≈20×1.4826＝29.652(m)； 在 Rt△CBA 中，CB=ABtan50° ≈20×1.1918=23.836(m). 所以避雷针的长度 DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m). 四、合作探究 随着人民生活水平的提高， 农用小轿车越来越多，为了交 通安全，某市政府要修建 10m 高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建 40m 长的斜道．(如图所示)。 这条斜道的倾斜角是多少？ 探究 1：在 Rt△ABC 中，BC＝ m，AC＝ m， sinA＝ ＝ ． 探究 2：已知 sinA 的值，如何求出∠A的大小？ 请阅读以下内容，学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小． 已知三角函数求角度，要用到 sin、cos、tan 键的第二功能“sin －1 ，cos －1 ，tan －1 ”和 2ndf 键． 探究 3：你能求出上图中∠A 的大小吗？ 解：sinA＝ 4 1 ＝ ．（化为小数）， 三、巩固训练 1、如图，工件上有一 V 形槽，测得它的上口宽 20mm，深 19.2mm，求 V 形角(∠ ACB)的大小．(结果精确到 1°) 2、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤．在接受放射性治疗 时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照 射肿瘤．已知肿瘤在皮下 6.3cm 的 A 处，射线从肿瘤右侧 9.8cm 的 B 处 进入身体，求射线的入射角度． 3、某段公路每前进 1000 米，路面就升高 50 米，求这段公路的坡角． 4、一梯子斜靠在一面墙上．已知梯长 4m，梯子位于地面上的一端离墙壁 2.5m， 求梯子与地面所成的锐角． 五、随堂练习：P,14 1、2、3、4、 六、作业：p15 1 至 6 题 §1.4 解直角三角形 一、教学目标 1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。 2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力. 3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯． 二、教学重点及难点 教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形 教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用 三、教学用具准备 黑板、多媒体设备. 四、教学过程设计 一、创设情景 引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面 3 米且 树干与地面的夹角是 30°。大树在折断之前高多少米？ 由 30°直角边等于斜边的一半就可得 AB=6 米。分析树高是 AB+AC=9 米。由勾股定理容易得 出 BC 的长为 3 米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数 来解此题。 二、知识回顾 问题： 1．在一个三角形中共有几条边？几个内角?（引出“元素”这个词语） 2．直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ 讨论复习 师白：Rt△ABC 的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？ 总结：直角三角形的边、角关系（板书）(PPT) (1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°； (2)三边满足勾股定理 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ； (3)边与角关系 三、学习新课 １、例题分析 例题 1 在 Rt△ABC 中，∠C=90 0 ，∠B=38 0 ，a=8，求这个直角三角形的其它边和角. 分析：如图，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素 的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边， 所以可以用的锐角三角比是余弦和正切. （板书）解：∵∠C=90 0 ∴∠A +∠B=90 0 ∴∠A=90 0 －∠B=90 0 －38 0 =52 0 ∵cosB= ∴ c= = ∵tanB= ∴b=atanB=8tan38 0 ≈6.250 另解：∵cotB= ∴b= 注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数 字. ２.学习概念 定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. ３．例题分析 例题 2 在 Rt△ABC 中，∠C=90 0 ，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形. 分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎 样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论. （板书）解： ∵∠C=90 0 ，∴a 2 ＋b 2 ＝c 2 ∴b= ∵sinA= ∴∠A 46 0 0′ ∴∠B=90 0 －∠A≈90 0 －46 0 0′=44 0 0′. 例题 3（见教材 p16） 注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字, 角度精确到 1′。 4、学会归纳 通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几 个元素, 才能求出其他元素？ 想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素, 能够全部求出其他元素吗? 归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余三个元素. [说明] 我们已掌握 Rt△ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其 中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了 解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学 生的学习热情． 5、请找出题中的错误，并改正 已知:如图，在 Rt△ABC 中, ∠C=90°,由下列条件,解直角三角形:(结果保留根号) §1.5 三角函数的应用 教学目标： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能 对结果的意义进行说明. 教学重点： 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用. 2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 教学难点：根据题意，了解有 关术语，准确地画出示意图. 教学用具：小黑板 三角板 教学方法：探索——发现法 教学过程一、问题引入： 海中有一个小岛 A，该岛 四周 10 海里内有暗礁.今有 货轮由西向东航行，开始在 A 岛南偏西 55°的 B 处，往东 行驶 20 海里后，到达该岛的 南偏西 25°的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的 危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流. 二、解决问题： 1、如图，小明想测量塔 CD 的高度.他在 A 处仰望塔顶，测得仰角 为 30°，再往塔的方向前进 50m 至 B 处.测得仰角为 60°.那么该 塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m) 2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40°减至 35°，已知 原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结 果精确到 0.0l m) 【作业设计】 1.如图，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40°夹角， 且 DB＝5 m，现再在 C点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多 少? 2．如图，某货船以 20 海里／时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正 以 40 海里／时的速度由 A 向北偏西 60°方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域(包括 边界)均受到影响. (1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7) 【板书设计】 三角函数的有关计算 提出问题：如何三角函数值，求相应的锐角． 例 触礁问题 随堂练习 讲解科学计算器的应用． 例 楼梯问题 课堂小结 课堂作业 §1.6 利用三角函数测高 教学目标 知识与技能目标 能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识 解决实际问题. 过程与方法目标 经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数 形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。 情感与价值观要求 通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神. 教学重点、难点 设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养。 教具准备 自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具. 教学过程 提出问题，引入新课 现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高 度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的 数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了 哪些仪器? 有何用途? 如何制作一个测角仪？它的工作原理 是怎样的？ 活动一：设计活动方案，自制仪器 首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、 铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器. 制作测角仪时应注意什么? 支杆的中心线、铅垂线、0 刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线 PQ 与 支杆的中心线、铅垂线、0 刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与 PQ 的 交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下. 一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤) 活动二：测量倾斜角 （1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 0°刻度线重 合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置. （2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标 M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个 度数就是较高目标 M的仰角. 问题 1、它的工作原理是怎样的？ 如图，要测点 M 的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的 中心线、铅垂线和度盘的 0°刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水 平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标 M，此时铅垂线指向 一个度数.即∠BCA 的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB＝ 90°，而∠MCE+∠ECB= 90°，即∠BCA、∠MCE 都是∠ECB 的余角，根据同角的余角相等， 得∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA 的度数，也就读出了仰角∠MCE 的度 数. 问题 2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢? 和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的 目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是 低处的俯角. 活动三：测量底部可以到达的物体的高度. “底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距 离. 要测旗杆 MN 的高度，可按下列步骤进行：(如下图) 1.在测点 A处安置测倾器(即测角仪)，测得 M 的仰角∠MCE=α. 2.量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN＝l. 3.量出测倾器(即测角仪)的高度 AC＝a(即顶线 PQ 成水平位置时，它与地面的距离).根 据测量数据，就能求出物体 MN 的高度. 在 Rt△MEC 中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以 tanα= EC ME ，即 ME=tana·EC＝l·tanα. 又因为 NE＝AC＝a，所以 MN＝ME+EN＝l·tanα+a. 活动四：测量底部不可以到达的物体的高度. 所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距 离.例如测量一个山峰的高度. 可按下面的步骤进行(如图所示)： 1.在测点 A处安置测角仪，测得此时物体 MN 的顶 端 M 的仰角∠MCE＝α. 2.在测点 A 与物体之间的 B 处安置测角仪(A、B 与 N 都在同一条直线上)，此时测得 M 的仰角∠MDE= β. 3.量出测角仪的高度 AC＝BD＝a，以及测点 A，B之间的距离 AB=b 根据测量的 AB 的长度，AC、BD 的高度以及∠MCE、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边 角关系.即可求出 MN 的高度。 在 Rt△MEC 中，∠MCE＝α，则 tanα＝ EC ME ，EC= a ME tan ； 在 Rt△MED 中，∠MDE＝β则 tanβ＝ ED ME ，ED＝ tan ME ； 根据 CD＝AB＝b，且 CD＝EC-ED=b. 所以 a ME tan - tan ME =b, ME=  tan 1 tan 1  b MN=  tan 1 tan 1  b +a 即为所求物体 MN 的高度. 今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨了测量可到达底部和 不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我 们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大. 归纳提炼 本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中， 想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行 之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中. 课后作业 制作简单的测角仪 活动与探究 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD.且建筑物周 围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得。 从 A、D、C三点可看到塔顶端 H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器(即 测角仪). (1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端 到地面高度 HG 的方案.具体要求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图 形上(如果测 A、D 间距离，用 m 表示；如果测 D、C 间距离，用 n表示； 如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计) (2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度 HG(用字母表示),I 方案 1：(1)如图(a)(测四个数据) AD＝m.CD＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β (2)设 HG＝x，HM＝x-n， 在 Rt△HDM 中，tanα DM HM ,DM= .tan nx  在 Rt△HAM 中，tanα AM HM ,DM= .tan  nx  ∵AM-DM＝AD， ∴ .tan  nx  - .tan nx  =m, x= .tantan tantan    m +n. 方案 2：(1)如图(b)(测三个数据) CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ. (2)设 HG＝x，HM＝x-n， 在 Rt△CHG 中，tanγ= CG HG ,CG= tan x , 在 Rt△HDM 中，tanα DM HM ,DM= .tan nx  , ∵CG＝DM. ∴ tan x = .tan nx  ,x= .tantan tan   yn 第二章 二次函数 2.1 二次函数所描述的关系 教学目标：1.理解二次函数的概念； 2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系。 知识回顾： 1、正比例函数的表达式为 一次函数 反比例函数表达式为 。 2、某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计， 每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。请问种多少棵树才能达到30000个的总产量？ 你能解决这个问题吗？ （请列出方程，不用计算） 新知探究： 3．某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产 量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计， 每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5个橙子。 （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ （2）假设果园增种 x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙 子？ （3）如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式。 知识运用： 4.做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量．在我国利率 的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的． 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期 储蓄转存．如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利 息税)． Y=________________________________ 5、总结归纳 （1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？ （2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？ （3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。 【归纳总结】一般地，形如 （其中 均为常数 ≠0）的 函数叫做 。 你能举出类似的例子吗？ 巩固练习 P30 页随堂练习 1 2 布置作业 习题 2.1 2.2 二次函数的图像与性质 1 一、教学目标 (一)知识与技能 1．能够利用描点法作出函数 y=x 2 的图象，能根据图象认识和理解二次函数 y=x 2 的性质． 2．猜想并能作出 y=-x 2 的图象，能比较它与 y=x 2 的图象的异同． (二)过程与方法 1．经历探索二次函数 y＝x 2 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质 的经验． 2．由函数 y=x 2 的图象及性质，对比地学习 y＝-x 2 的图象及性质，并能比较出它们的异 同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维． (三)情感与态度 1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够 从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质． 教学重点：作出函数 y＝±x 2 的图象，并根据图象认识和理解二次函数 y＝±x 2 的性质。 教学难点：由 y=x 2 的图象及性质对比地学习 y＝-x 2 的图象及性质，并能比较出它们的 异同点。 三、教学过程分析 1、情境引入 寻找生活中的抛物线 活动目的： 通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激 发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。 2、温故知新 复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3） 根据函数 y=x2列表 3、合作学习（探究二次函数 y＝±x2的图象和性质） 活动内容： 1.用描点法画二次函数 y=x2的图象，并与同桌交流。 2.观察图象，探索二次函数 y=x2的性质，提出问题： (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点,并与同伴交流. (3)图象 与 x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (4)当 x<0 时,随着 x的值增大,y 的值如何变化？当 x>0 呢？ (5)当 x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？ 3.二次函数 y=－x2 的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图 象 4.它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？与同伴进行交流。 5.说说二次函数 y=－x2 的图象有哪些性质？与同伴交流。 4、 练习与提高 2xy  2xy  o y x A 活动内容： 1、已知函数 是关于 x 的二次函数。求： （1）满足条件的 m 的值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点， 这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？ （3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多 少？ 这时当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ 2、已知点 A(1，a)在抛物线 y=x 2 上。 （1）求 A 的坐标； （2）在 x 轴上是否存在点 P，使得△OAP 是等腰 三角形？ 若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 与同伴进行交流. 活动目的： 1.对本节知识进行巩固练习。 2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识 系统。 3.培养学生整合知识的能力。。 6、课堂小结 活动内容： 小结：二次函数 y=± x 2 的性质 根据图形填表： 抛物线 y=x2 y=－x2 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 6、 布置作业 P34 习题 2.2 1,2 题 2.2 二次函数的图像与性质 2 二、教学目标 知识与技能 mmxmy 22 )1(  1.能作出二次函数 2y ax 和 2y ax c  的图象，并能够比较它们与二次函数 2y ax 的图象的异同，理解 a与 c对二次函数图象的影响。 2.能说出二次函数 2y ax 和 2y ax c  图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。 过程与方法 经历探索二次函数 2y ax 和 2y ax c  的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表 格、表达式、图象三者联系起来的经验。 情感态度与价值观 体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学 学习活动，对数学有好奇心和求知欲。 教学重点： 2y ax 和 2y ax c  图象的作法和性质 教学难点：能够比较 2y ax 、 2y ax 和 2y ax c  的图象的异同，理解 a与 c对二 次函数图象的影响。 三、教学过程 第一环节 情境创设 活动内容： 1.二次函数 y＝x 2 与 y=-x 2 的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？ 2.二次函数是否只有 y＝x 2 与 y＝-x 2 这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 第二环节 做一做 活动内容： 1.在同一坐标系中作二次函数 y=x 2 和 y=2x 2 的图象． (1)完成下表： x … －3 －2 －1 0 1 2 33 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=2x 2 … 18 8 2 0 2 8 18 … (2)分别作出二次函数 y=x2和 y=2x2的图象． (3)二次函数 y＝2x2的图象是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和不同?它 的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 第三环节 议一议 活动内容： 1.在同一直角坐标系内作出函数 y＝2x 2 与 y＝2x 2 +1 的图象，并比较它们的性质． 2.在同一直角坐标系内作出函数 y＝3x 2 与 y＝3x 2 -1 的图象，并比较它们的性质． 活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（ a相同）的平移 关系，培养学生的动态思维。 实际教学效果：学生通过观察图象，发现两个图象是“全等的”，开口方向、对称轴都 是一样的，只是顶点不一样，向上移动了 1 格。有几个思维活跃的学生马上就开始探索移动 的原因，发现 y＝2x2+1 比 y＝2x2的 y 值多 1，就向上移动了一格；这时，教师可以拓展一 下：如果减 1 呢，结果会怎样？减 2呢？这样就把第二个问题也解决了。在老师的引导下， 学生可以总结出这样的发现：y＝ax2+c 的图象可以看成 y=ax2的图象整体上下移动得到的， 当 c>0 时,向上移动│c│个单位，当 c<0 时，向下移动│c│个单位。 第四环节 课堂小结 活动内容：师生互相交流总结： 1.作二次函数图象的步骤：列表、描点、连线。 2. 快速、准确的说出 2y ax 和 2y ax c  图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。 3. y＝ax2+c 的图象可以看成 y=ax2的图象整体上下移动得到的，当 c>0 时,向上移动│c │个单位，当 c<0 时，向下移动│c│个单位。 活动目的：帮助学生归纳二次函数的性质。 实际教学效果：学生学习这节课是先动手，后操作，因此体会很深，对于作二次函数图 象的步骤与归纳二次函数的性质，都得心应手。 第五环节 布置作业 1.完成课本 36 页习题 2.3 2.函数 y＝5x 2 的图象在对称轴哪侧?y 随着 x的增大怎样变化? 3.函数 y＝－5x2有最大值或最小值吗?如果有，是最大值还是最小值?这个值是多少： 有利于训练学生的归纳能力。 2.2 二次函数的图像与性质 3 一、教学目标 知识与技能 1．能够作出 y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与 y=ax2的图象的关系，理解 a,h和 k 对二次函数图像的影响。 2．能正确说出 y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 过程与方法 1．经历探索二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象的作法和性质的过程。 情感态度与价值观 1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。 2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形 成积极参与数学活动的意识。 教学难点：理解 y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k 的图象与 y=ax2 的图象的关系，理解 a、h 和 k 对二次函数图像的影响。 教学重点：y=a(x-h)2和 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 的图象的关系，y=a(x-h)2+k 的图象性质 三、教学过程 第一环节 复习引入 提出问题，让学生讨论交流 二次函数 y=3（x－1）2 +2 的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有 什么关系？ 第二环节 合作探究 1．做一做 （1）完成下表，并比较 3x 2 与 3（x－1） 2 的值，它们之间有什么关系？ x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3x2 3(x-1)2 (2)在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的图象． (3)函数 y=3(x-1)2 的图象与 y=3x2 的图象有什么关系?它是轴对 称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (4)x取哪些值时,函数 y=3(x-1)2 的值随x值的增大而增大?x取 哪些值时,函数 y=3(x-1)2 的值随 x 的增大而减少？ （5）想一想,在同一坐标系中作二次函数 y=3(x+1)2 的图象,会 在什么位置? 2．议一议 （1）在上面的坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2 的图象.它与二次函数 y=3x2 和 y=3(x-1)2 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? （2）x取哪些值时,函数y=3(x+1) 2 的值随x值的增大而增大? x取哪些值时,函数y=3(x+1) 2 的值随 x 的增大而减少？ （3） 猜一猜,函数 y=-3(x-1)2 ,y=-3(x+1)2 和 y=-3x2 的图象的位置和形状. （4）请你总结二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质. 总结二次函数 y=a(x-h)2 的性质 １.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值 抛物线 y=a(x-h)2 (a>0) y=a(x-h)2 (a＜0) 顶点坐标 （h，0） （h，0） 对称轴 直线 x＝h 直线 x＝h 位置 在 x 轴的上方（除顶点外） 在 x 轴的下方（除顶点外） 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧,y 随着 x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的 增大而增大. 在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而增 大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大 而减小. 最值 当 x＝h 时，最小值为 0 当 x＝h 时，最大值为 0 开口大小 |a|越大，开口越小 3．想一想 （1）在同一坐标系中作出二次函数 y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2 的图象. （2）二次函数 y=3x²,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2 的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?作图看一看． 二次函数 y=a(x-h)²+k 与 y=ax²的关系  一般地,由 y=ax²的图象便可得到二次函数 y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左 (右)平移|h|个单位(当 h>0 时,向右平移;当 h<0 时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移 |k|个单位 (当 k>0 时向上平移;当 k<0 时,向下平移)得到的.  因此,二次函数 y=a(x-h)²+k 的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐 标与 a,h,k 的值有关. 总结二次函数 y=a(x-h)2＋k 的性质 １.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值 抛物线 y=a(x-h)2 ＋k (a>0) y=a(x-h)2 ＋k (a＜0) 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 直线 x＝h 直线 x＝h 位置 由 h 和 k 的符号确定 由 h 和 k 的符号确定 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴的左侧,y 随着 x的增大而 减小. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的 增大而增大. 在对称轴的左侧,y 随着 x 的增大而增 大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大 而减小. 最值 当 x＝h 时，最小值为 k 当 x＝h 时，最大值为 k 第三环节 练习提高 1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标: 2.(1)二次函数 y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形     , 2 132.1 2  xy     .51 3 1.2 2  xy 吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? （3）对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值 时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢? 第四环节 课堂小结 活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。 活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给 予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总结归纳。 实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。 第五环节 布置作业 P39 习题 2.4 2.2 二次函数的图像与性质 4 教学目标 1、经历探索二次函数 cbxaxy  2 的图象的作法和性质的过程 2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题 教学重点和难点 重点：二次函数 cbxaxy  2 的图象的作法和性质 难点：理解二次函数 cbxaxy  2 的图象的性质 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式 khxay  2)( 来研究了二次 函数中的 a、h、k 对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且 容易出错。这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。  师生共同研究形成概念 复习旧知识 || a 越大，开口越小； || a 越小，开口越大 当 0a 时，抛物线的开口向上；当 0a 时，抛物线的开口向下； 当 0c 时，抛物线与 y 轴的交点在原点的上方；当 0c 时，抛物线与 y 轴的交点在原点 的下方。 khxay  2)( 开口方向 对称轴 顶点坐标 0a 向上 直线 hx  （h，k） 0a 向下 平移：左加右减 对称轴、顶点坐标：前相反，后相同 推导二次函数 cbxaxy  2 图象的对称轴和顶点坐标公式 对称轴：直线 a bx 2  顶点坐标：（ a b 2  ， a bac 4 4 2 ） 讲解例题 书本 P39 分析：这是二次函数的具体应用，让学生体会对称轴、顶点坐标的在实际问题中的意义。  随堂练习 书本 P 41 随堂练习  小结 二次函数 cbxaxy  2 图象的对称轴和顶点坐标公式。  作业 书本 P 41 习题 2.5 2.3 确定二次函数的表达式 一、教学目标 知识与技能 1．通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次 函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。 2．通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次 函数。 3．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。 过程与方法 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。 2．让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和 归纳总结的能力。 情感态度与价值观 在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。 教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础 教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础 三、教学过程分析 第一环节 解决问题 活动内容： 1．问题一：已知矩形周长 20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为 ycm2. y 随 x 的而变化 的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？ 2．当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题： （1）在上述问题中,自变量 x的取值范围是什么？ （2）当 x 取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少? （3）请你描述一下 y 随 x 的变化而变化的情况. 3．问题二：两个数相差 2,设其中较大的一个数为 x,那么它们的积 y 是如何随 x的变化 而变化的? （1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗? （2）自变量 x的取值范围是什么? （3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么? （4）如何描述 y 随 x 的变化而变化的情况? （5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？ 第二环节 课堂小结 活动内容： 1．二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流. 表示 优点 缺点 表达式 变量间关系简捷明了,便于分析计算. 需要通过计算,才能得到所需结果 表格 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况 图象 直观表示了变量间变化过程和变化趋势. 函数值只能是近似值 关系 表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上 对函数的总体概括和形象化的表达. 2．对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。 第三环节 布置作业 （1）P43 习题 2.6 第 小组合作讨论更具实效性。 2.4 二次函数的应用 1 一、教学目标 (一)知识与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函 数的知识解决实际问题中的最大(小)值． (二)过程与方法 1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析 判断能力． 2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． (三)情感态度与价值观 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实 际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值． 2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学 好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 教学重点 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实 际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值． 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次 函数的知识解决实际问题． 教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数 的有关知识解决最大面积的问题． 三、教学过程分析 第一环节 创设问题情境，引入新课 上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的 最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要审清题意，明 确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们 所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程． 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题． 活动内容：由四个实际问题构成 1．问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别 在两直角边上． (1)设长方形的一边 AB＝x m，那么 AD 边的长度如何表示？ (2)设长方形的面积为 y m 2 ，当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ 下面请小组开始讨论并写出解题步骤． (1)∵BC∥AD， ∴△EBC∽△EAF．∴ AF BC EA EB  ． 又 AB＝x，BE＝40－x， ∴ 3040 40 BCx   ．∴BC＝ 4 3 (40－x)． ∴AD＝BC＝ 4 3 (40－x)＝30－ 4 3 x． (2)y＝AB·AD＝x(30－ 4 3 x)＝－ 4 3 x2 ＋30x ＝－ 4 3 (x2 －40x＋400－400) ＝－ 4 3 (x2 －40x＋400)＋300 ＝－ 4 3 (x－20) 2 ＋300． 当 x＝20 时，y 最大＝300． 即当 x取 20m 时，y的值最大，最大值是 300m 2 ． 2．问题二：将问题一变式：“设 AD 边的长为 x m，则问题会怎样呢？” 解：∵DC∥AB， ∴△FDC∽△FAE． ∴ FA FD AE DC  ． ∵AD＝x，FD＝30－x． ∴ 30 30 40 xDC   ． ∴DC＝ 3 4 (30－x)． ∴AB＝DC＝ 3 4 (30－x)． y＝AB·AD＝x· 3 4 (30－x) ＝－ 3 4 x2 ＋40x ＝－ 3 4 (x2 －30x＋225－225) ＝－ 3 4 (x－15) 2 ＋300． 当 x＝15 时，y 最大＝300． 即当 AD 的长为 15m 时，长方形的面积最大，最大面积是 300m 2 ． 3．问题三：对问题一再变式 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上,BC 在斜边上. 40m 30 m D N O A B C M (1).设矩形的一边 BC=xm,那么 AB 边的长度如何表示？ (2).设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少? 4．问题四： 某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总 长(图中所有黑线的长度和)为 15m．当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到 0.01m)？此时，窗户的面积是多少？ 分析：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此 x 与半圆面积和矩形面积都有关系．要 求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即 2xy＋ 2  x2 最大，而由于 4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以 y＝ 4 715 xx  ．面积 S＝ 2 1 πx2 ＋2xy＝ 2 1 π x2 ＋2x· 4 715 xx  ＝ 2 1 πx2 ＋ 2 715 )xx(x  ＝－3.5x2 ＋7.5x，这时已经转化为数学 问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可． 解：∵7x＋4y＋πx＝15， ∴y＝ 4 715 xx  ． 设窗户的面积是 S(m2 )，则 S＝ 2 1 πx2 ＋2xy ＝ 2 1 πx2 ＋2x· 4 715 xx  ＝ 2 1 πx2 ＋ 2 715 )xx(x  ＝－3.5x2 ＋7.5x ＝－3.5(x2 － 7 15 x) ＝－3.5(x－ 14 15 ) 2 ＋ 392 1575 ． ∴当 x＝ 14 15 ≈1.07 时， S 最大＝ 392 1575 ≈4.02． 即当 x≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2 ，此时，窗户通过的光线最多． 第二环节 归纳升华 解决此类问题的基本思路是： (1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解； (5)检验结果的合理性，拓展等． 第三环节 课堂练习，活动探究 活动内容： 1. 用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆 围成,并且在与砖墙相对的一面开 2 米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多 少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 2. 正方形 ABCD 边长 5cm,等腰三角形 PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点 B、C、Q、R 在同 一直线 l 上，当 C、Q 两点重合时，等 腰△PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 l 向左 方向开始匀速运动，ts 后正方形与等腰 三角形重合部分面积为 Scm 2 ，解答下列 问题： (1)当 t=3s 时，求 S的值； (2)当 t=3s 时，求 S的值； (3)当 5s≤t≤8s 时，求 S 与 t 的函数关系式， 并求 S的最大值。 第四环节 课时小结 本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积的问题，增强了应用数学知识 M A B CD P Q R 的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知 识的应用价值． 第五环节 课后作业 习题 2．8 2.4 二次函数的应用 2 一、教学目标 (一)知识与技能 1、经历探索 T 恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的 数学模型，并感受数学的应用价值。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出 实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。 (二)过程与方法 经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类 历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学 的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发 展人类理性精神的作用。 教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知 识求出实际问题的最值 教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知 识求出实际问题的最值 三、教学过程 第一环节 复习回顾 活动内容： 1．复习二次函数 y＝ax2+bx+c 的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。 2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额 第二环节 创设问题情境，引入新课 活动内容：（有关利润的问题） 某商店经营 T恤衫，已知成批购进时单价是 2.5 元。根据市场调查，销售量与销售单价 满足如下关系：在一段时间内，单价是 13.5 元时，销售量是 500 件，而单价每降低 1 元， 就可以多售出 200 件。 请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多? 设销售单价为 x(x≤13.5)元，那么 (1)销售量可以表示为 ；(2)销售额可以表示为 ； (3)所获利润可以表示为 ； (4)当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 ． 这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系， 并把这些关系用数学的语言表示出来。 设销售单价为 x元，则与原先的单价相比，降低了(13.5-x)元，而每降低 1 元，可多售 出 200 件，降低了(13.5-x)元，则可多售出 200(13.5-x)件，因此共售出 500+200(13.5-x) 件，若所获利润用 y(元)表示，则 y＝(x-2.5)[500+200(13.5-x)]。 经过分析之后，上面的 4个问题就可以解决了。 (1)销售量可以表示为 500+200(13.5-x)=3200—200x。 (2)销售额可以表示为 x(3200-200x)=3200x-200x 2 。 (3)所获利润可以表示为(3200x-200x 2 )-2.5(3200-200x)＝-200x 2 +3700x-8000。 (4)设总利润为 y 元，则 y＝-200x 2 +3700x-8000=-200(x- 2 18225) 4 37 2  . ∵-200＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值。 当 x＝ 4 37 ＝9.25 元时，y 最大= 2 18225 =9112.5 元. 即当销售单价是 9．25 元时，可以获得最大利润，最大利润是 9112．5 元． 第三环节 巩固练习 活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析） 1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量 x(棵) 与 橙 子 总 产 量 y( 个 ) 的 函 数 关 系 是 ： 二 次 函 数 表 达 式 y ＝ (600-5x)(100+x) ＝ -5x 2 +100x+60000。 当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么 做的？与同伴进行交流。 实际教学效果： 大多数学生可以利用二次函数的顶点式解决问题。 y＝-5x 2 +100x+60000＝-5(x 2 -20x+100-100)+60000＝-5(x-10) 2 +60500。 当 x=10 时，y 最大=60500。 2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题） (1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 (2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上？ 第四环节 实践应用 活动内容： 某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以售出 400 件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销售 量相应减少 20 件。如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 解：设销售单价为；元，销售利润为 y元，则 y=(x-20)[400-20(x-30)] ＝-20x 2 +1400x-20000 ＝-20(x-35) 2 +4500。 所以当 x=35 元，即销售单价提高 5元时，可在半月内获得最大利润 4500 元． 第五环节 课堂小结 本节课经历了探索 T恤衫销售中最大利润等问题的过程， 体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学 的应用价值。 学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解 决问题的能力。 第六环节 课后作业 习题 2．9 2.5 二次函数与一元二次方程 1 二、教学目标 知识与技能： 1．理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满 足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根； 过程与方法： 1．通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步 培养学生的数形结合思想． 2．理解一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h（h 是实 数）图象交点的横坐标。 情感态度与价值观： 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系； 2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论 的确定性。 教学重点： 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什 么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根 教学难点： 理解一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h（h 是实数） 图象交点的横坐标 三、教学过程分析 第一环节 课前热身、耐心填一填 活动内容： 1. y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数，a≠0)，y 叫做 x 的__________。它的图象是一条抛物线。它 的对称轴是直线 x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。 2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k交点式： y = a(x-x1)(x-x2) 3. 抛物线 y = x2+2x- 4 的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________. 4. 抛物线 y=2(x-2)(x-3) 与 x 轴的交点为_______________,与 y 轴的交点为___________. 5. 已知抛物线与轴交于 A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点 M(0,1), 则此抛物线的解析式为 _______________ 。 第二环节 用心想一想，马到功成 活动内容： 1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度 h(m)与运动时间 t(s)的关 系可用公式 h=-5t2+v0t+h0表示, 其中 h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以 40m/s 的速度竖直 向上抛出起,小球的高度 h(m)与运动时间 t (s)的关系如图所示, 那么(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？ (2) h和 t 的关系式是什么？ （3）小球经过多少秒后落地? 你有几种求解方法?与同伴进行交流. 2．分别求出二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象与 x 轴的交点的坐标,并快速作 出草图. 思路点拨: 与 x 轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标. （1）观察下列二次函数 y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2 的图象，每个图象与 x 轴有几个交 点？ (2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0 有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根 吗? (3)说说二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有 什么关系? 3．归纳整理: a.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况: 1、 有两个交点, 2、 有一个交点, 3、 没有交点.b.当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0时自变量 x的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根. c.完成下列表格，观察二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系? 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 和 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 b2-4ac ＜0 第三环节 教材题变形，拓展延伸 y=x y=x-2x y=x-2x 活动内容： 【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）可以用公式 h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中 t（s）表示足球被踢出后经过的时间． （1）当 t=1 时，足球的高度是多少？ （2）t 为何值时，h 最大？ （3）经过多长时间球落地？ （4）方程－4.9t2＋19.6t =0 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? （5）方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗? 解：（1）t=1 时，h=14.7 (2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当 t=2 时，h 最大（3）对于 h=－4．9t2＋19．6t 球 落地表示 h=0 即－4．9t2＋19．6t=0， 解得 t1=0（舍去），t2=4 ． 即足球被踢出后经过 4s 后球落地. (4)方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得 t=0, t=4 根 t=0，t=4 分别表示足球离开地面和落地的时刻 方法二：直接观察抛物线与直线 x轴的交点（0，0），（4，0）即可 图形表示方程的根就是抛物线与 x轴的两个交点 (5)方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得 t=1, t=3 方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与 y 轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点， 再分别过交点作 x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。 表明球被踢出 1 秒和 3 秒时，离地面的高度都是 14.7 秒 第四环节 开拓创新，试一试 活动内容： 在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是 60cm?你是如何知道的? 第五环节 放开手脚，做一做 活动内容： 例: 已知二次函数 y=kx2－7x－7 的图象与 x轴有两个交点，则 k 的取值范围为什么? 错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0， 得 k＞－ 4 7 ． 正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与 x 轴有交点， ∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0， 得 k≥－ 4 7 ， 故 k≥－ 4 7 且 k≠0 点拨：①因为是二次函数，因而 k≠0； ②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0． 第六环节 布置作业 p42 习题 2.10 2.5 二次函数与一元二次方程 2 一、教学目标 知识与技能 1．巩固理解二次函数图象与 x 轴交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c=0的根； 2．巩固理解一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h（h 是实数）图象交点的横坐标． 过程与方法 1．经历一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的近似值的探索得到的过程； 2．经历一元二次方程 ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。 情感态度与价值观 1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系． 三、教学过程 第一环节 课前热身、耐心填一填 活动内容： 1. 抛物线 y=ax2＋bx＋c 经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是 3，求这条抛物线的 表达式___________________ . 2．若 a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线 y=ax2＋bx＋c经过 象限．3. 在 平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y（m）与飞行时间 x（s）的关系满足 y=－ x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____ 秒，炮弹落在地上爆炸？ 4.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象抛物线与直线________交 点的________坐标。 - - 1 5.一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交 点的_________坐标 . 第二环节 用心想一想，马到功成 活动内容： 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2+2x-10=0的根吗？ 分析解答： (1) 用描点法作二次函数 y=x2+2x-10 的图象(2) 观察估计二次函数 y=x2+2x-10的图象与 x轴的交点的横坐标；由图象可知：图象与 x 轴有两个交点,其横坐标一个在-5 与-4之间, 另一个在 2与 3之间,分别约为-4.3和 2.3.(3) 确定方程 x2+2x-10=0的解;由此可知,方程 x2+2x-10=0的近似根为: x1≈-4.3,x2≈2.3 第三环节 教材题变形，拓展延伸 活动内容： 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2+2x-10=3 的近似根. (1) 用描点法作二次函数 y=x2+2x-10 的图象 (2) 作直线 y=3；(3) 观察估计抛物线 y=x2+2x-10和直线 y=3的交点的 横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间, 另一个在 2与 3之间,分别约为-4.7和 2.7. (4) 确定方程 x2+2x-10=3的解;由此可知,方程 x2+2x-10=3的近似根 为: x1≈-4.7,x2≈2.7 附创新解法 2： (1) 原方程可变形为 x2+2x-13=0；(2) 用描点法作二次函数 y=x2+2x-13 的图象(3) 观察估计 抛物线 y=x2+2x-13 和 x 轴的交点的横坐标；由图象可知,它 们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之 间,另一个在 2 与 3 之间,分别约为-4.7和 2.7。 (4) 确定方程 x2+2x-10=3的解;由此可知,方程 x2+2x-10=3 的近似根为: x1≈-4.7 ，x2≈2.7 第四环节 大胆尝试、练一练 活动内容： 利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根分析解答： 1)用描点法作二次函数 y=-2x2+4x+1 的图象；2)观察估计二次函数 y=-2x2+4x+1 的图象与 x 轴的交点的横坐标；由图象可知,图象与 x 轴有 两个交点,其横坐标一个在-1与 0之间,另一个 在 2 与 3 之间,分别约为-0.2和 2.2 (3) 确定方程 x2+4x+1=0的解;由此可知,方程 x2+4x+1=0的近似根为: x1≈-0.2, x2≈2.2 第六环节 归纳小节、说一说 学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，他们普遍认同了函数问题研究时，应该用数 形结合思想从两方面来考虑问题，说明数形结合思想在他们的数学思维中逐渐形成 。但他 们也表示有的时候从“数”的一面研究比较方便，有时从“形”的一面研究问题会更简洁些。 四、布置作业 P57页习题 2.11 第二章 二次函数 回顾与思考（一） 一、教学目标 知识与技能 1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进行思考和 语言表达的能力，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系； 2．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步积累研究 一般函数性质的经验； 3．能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 过程与方法 使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用 数学的方法去描述变量之间的数量关系； 二、教学过程分析 第一环节 知识要点和重要方法的回顾、总结 教学内容：知识要点的回顾、总结 提出下列问题： 1.你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”?用语言或图来进行描述. 2.你能用二次函数的知识解决哪些实际问题?与同伴交流. 3.小结一下作二次函数图象的方法. 4.二次函数的图象有哪些性质?如何确定它的开口方向,对称轴和顶点坐标?请用具体例 子进行说明. 5.用具体例子说明如何更恰当或更有效地利用二次函数的表达式,表格和图象刻画变量 之间的关系. 6.用自己的语言描述二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象与方程 ax 2 +bx+c=0 的根之间的关系. 重要方法的回顾、总结 提出下列问题： 通过二次函数的学习，你应该学什么？你学会了什么？ 1.理解二次函数的概念； 2.会用描点法画出二次函数的图象； 3.会用配方法和公式确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标； 4.会用待定系数法求二次函数的解析式； 5.能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用。 第二环节 复习二次函数的图象和性质 教学内容： 1．二次函数的图象和性质要点 （一）形如 2y ax (a≠0) 的二次函数 （二）形如 2y ax k  (a≠0) 的二次函数 （三）形如 2( )y a x h  ( a≠0 ) 的二次函数 (四) 形如 2( )y a x h k   (a ≠0) 的二次函数 (五)二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)的图象和性质 2．二次函数的图象和性质练习 （1）抛物线 y = x 2 的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第 象限 ； （2)已知 y = - nx 2 (n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点 A （-2，3）。 （3）抛物线 y =x 2 +3 的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛 物线 y =x 2 向 平移 个单位得到的； （4）已知（如图）抛物线 y = ax 2 +k 的图象，则 a 0，k 0；若图象过 A (0,-2) 和 B (2,0) ，则 a = ,k = ；函数关系式是 y = 。 （5）抛物线 y = 2 (x -0．5 ) 2 +1 的开口向 , 对称轴 , 顶 点坐标是 （6）若抛物线 y = a (x+m) 2 +n 开口向下，顶点在第四象限，则 a 0, m 0, n 0。 第三环节 二次函数关系式的三种表示方式 教学内容：二次函数关系式的三种表示方式：一般式、顶点式、两根式。 1.若无论 x取何实数，二次函数 y=ax 2 +bx+c 的值总为负，那么 a、c 应满足的条件是 （ ） A.a>0 且 b 2 -4ac≥0 B.a>0 且 b 2 -4ac>0 C.a<0 且 b 2 -4ac<0 D.a <0 且 b 2 -4ac ≤0 2.已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：a 0 ,b 0, c 0 ,∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0 3.函数 y=ax+b 和 y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 4.已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 中 a>0,b<0,c<0,请画一个能反映这样 特征的二次函数草图. 第四环节 练习与提高 教学内容：练习与提高 1、已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的最大值是 2，图象顶点在直线 y=x+1 上，并且图象经过 点（3，-6）。求 a、b、c。 2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax 2 +bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所得到 的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式. 3、已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 与 x 轴正、负半轴分别交于 A、B 两点，与 y轴负半轴交于 点 C。若 OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。 AB x y O C 第 3 题图 第 4 题图 4、已知二次函数 y=ax 2 -5x+c 的图象如图。 (1)、当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大; (2)、当 x 为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标； 第五环节 课堂小结 请学生总结回顾 第六环节 布置作业 课本复习题 1－5 三、教学反思 1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 通过知识要点和重要方法的回顾、总结，梳理所学知识和方法，使其系统化。通过练习， 巩固所学知识，提高运用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力。 在解决问题的过程中为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现 学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把 激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组 织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。 2．注意改进的方面 应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学 生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、 学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使合作学习更具实效性。 第二章 二次函数 回顾与思考（二） 一、教学目标 1．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题 等。会通过建立坐标系来解决实际问题 2．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元二次方程 的近似解。 二、教学过程 第一环节 最大值问题 教学内容： 通过：1、最大利润问题；2、最大高度问题；3、最大面积问题，说明如何利用二次函 数知识解决实际问题。 （一）最大利润问题 例 1：某旅行社组团去外地旅游,30 人起组团,每人单价 800 元.旅行社对超过 30 人的团 给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低 10 元.你能帮助分析一下,当旅行团的人 数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？ 自我检测 某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱 40 元,生产厂家要求每箱售价在 40 元 ~70 元之间.市场调查发现:若每箱发 50 元销售,平均每天可售出 90 箱,价格每降低 1元,平 均每天多销售 3箱;价格每升高 1 元,平均每天少销售 3 箱. (1)写出售价 x(元/箱)与每天所得利润 w(元)之间的函数关系式; (2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少? （二）最大高度问题 例 2：竖直向上发射物体的 h(m)满足关系式 y=-5t2+v0t，其中 t(s)是物体运动的时 间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到 15m,那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到 0.01m/s). （三）最大面积问题 例 3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是 15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积 最大? 例 4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小 明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏， 为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一 个 1 米宽的门（木质）。花圃的宽 AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？ 第二环节 需建立坐标系问题 教学内容：通过建立坐标系来解决实际问题。 一位运动员在距篮下 4m 处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是 2.5m 时，球达到最大高度 3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离 3.05m , 问球出手时离地面 多高时才能中？ 一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽 度是多少?(结果精确到 0.1m). 第三环节 二次函数与一元二次方程 教学内容：理解二次函数与一元二次方程之间的联系与区别。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点. 当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时,交点的横坐标就是当 y=0 时自变量 x的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根. 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和 x 轴交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac 有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac ＝ 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac ＜ 0 二次函数 cbxaxy  2 ，何时为一元二次方程?它们的关系如何? 例：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度 h（m）可以用公式 来表示。其中 t（s）足球被踢出后经过的时间，图象如图所示： （1）当 t＝1 和 t＝2 时，足球的高度分别是多少？ （2）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？ （3）方程 的根的实际意义是什么？你能在图象上表示出来吗？ 第四环节 课堂小结 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等. 第五环节 布置作业 课本复习题 三、教学反思 1．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 通过小组讨论方式，使学生能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流的 过程中对自己的观点进行有条理地论述为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程 中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教 学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励 的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。 2．注意改进的方面 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的 回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当的指导， 包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习 更具实效性。 §3.2.1 圆 教学目标 12、 经历探索圆的对称性及相关性质， 13、 理解圆的对称性及相关性质 14、 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 教学重点和难点 重点：垂径定理及其逆定理 难点：垂径定理及其逆定理 教学过程设计 tth 6.199.4 2  06.199.4 2  tt 7.146.199.4 2  tt A B C DO  从学生原有的认知结构提出问题 圆是我们比较熟悉的图形。它是漂亮的图形，这节课，我们研究一下它的性质。  师生共同研究形成概念 16、 圆的轴对称性 ☆ 议一议 书本 P 89 在探索圆是轴对称图形时，大多数学生可能会采用折叠的方 法，有的学生也可能用其他方法，只要合理，都应该鼓励 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 17、 圆的几个概念 对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区 别。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 弧 AB 记作 AB 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 优弧 DCA 劣弧 AB 连接圆上任意两点的线段叫做弦 经过圆心的弦叫做直径 1） 注意 直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是 优弧 18、 垂径定理 ☆ 做一做 书本 P 90 做一做 从此例子得出垂径定理。 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，垂足为 M， （1） 图中相等的线段有 ，相等的劣弧有 ； （2） 若 AB = 10，则 AM = ，BC = 5，则 AC = 。 19、 讲解例题 例 9 如图，AB 是⊙O 的一条弦，OC⊥AB 于点 C，OA = 5，AB = 8，求 OC 的长。 20、 垂径定理的逆定理 ☆ 想一想 书本 P 91 想一想 鼓励学生独立探索，然后通过同学间的交流，得出结论。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，在⊙O 中，直径 CD 平分弦 AB，交 AB 于点 M， （1） 图中直角有 ，相等的劣弧有 ； O D C BA M ⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A BC O O D C BA M （2） 若 BC = 5，则 AC = 。 21、 讲解例题 例 10 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点 C 为弦 AB 的中点，OC = 3，AB = 8，求 OA 的长。 例 11 如图，两个圆都以点 O 为圆心，小圆的弦 CD 与大圆的弦 AB 在同一条直线上。你认 为 AC 与 BD 的大小有什么关系？为什么？ 例 12 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD，点O是 CD的圆心），其中 CD = 600m， E 为 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90m。求这段弯路的半径。  随堂练习 22、 书本 P 93 随堂练习 1、2 《练习册》 P 45  小结 垂径定理及其逆定理。  作业 书本 P 94 习题 3.2 1  教学后记 第 2课时 §2.1 圆的对称性 知识目标：经历探索圆的对称性及相关性质；理解圆的对称性及相关性质进一步体会和理解 研究几何图形的各种方法 C E F D O ⌒ ⌒ ⌒ A BC O A BC D O 德育目标：培养学生科学严谨的学习态度和开拓进取的精神 能力目标：培养学生观察、分析、探索能力和创造力 教学重点和难点 重点：垂径定理及其逆定理 难点：垂径定理及其逆定理 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 在上一节课，我们研究了圆是轴对称图形，还学习了垂径定理及其逆定理。这节课，我 们继续研究圆的圆心角、弧、弦之间相等关系。  师生共同研究形成概念 23、 圆的中心对称（圆的旋转不变性） ☆ 做一做 书本 P 94 顶 通过这个实验，让学生了解圆的旋转不变性。 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 圆的旋转不变性——一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合， 圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。 24、 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 1）弦心距、圆心角、圆周角、同圆、等圆 如图，在⊙O 中，∠AOB 是圆心角、∠DCE 是圆周角 2）探索圆心角、弧、弦之间的关系（分开同圆和等圆两种来研究） ☆ 做一做 书本 P 94 做一做 通过实验探索圆的另一个特征。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 知二推三：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分圆弧；⑤平行劣弧 1） 举反例强调前提条件：同圆或等圆 O B A D C E 课件演示实验，或学生动手操作（剪）  O DC B A   B A O' D C O  B A O  O' D C 25、 知一推三 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等 ①圆心角；②弧；③弦；④弦心距 26、 讲解例题 例 13 如图，在⊙O 中，AB，CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 E、F 1） 如果∠AOB = ∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？ 2） 如果 OE = OF，那么 AB与 CD的大小有什么关系？AB与 CD的大小有什么关系？ 为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ 例 14 书本 P 98 随堂练习 3  随堂练习 27、 书本 P 98 随堂练习 28、 书本 P100 习题 3.3 2、3 29、 《练习册》 P 47  小结 圆心角、弧、弦之间的关系。  作业 书本 P 99 习题 3.3 1  教学后记 第 3课时 §3.3 圆周角和圆心角的关系 知识目标：经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，理解圆周角的概念及其相关性质 德育目标：体会分类、归纳等数学思想方法 A B C D O E F 能力目标：提高分类、归纳的数学能力 教学重点和难点 重点：圆周角和圆心角的关系 难点：圆周角和圆心角的关系 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 上一节课，我们学习了：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。那么，在同圆 或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？这节课，我们研究圆周角和圆心角的关系。  师生共同研究形成概念 30、 圆心角与弧的关系 我们把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角是 1°的角。因为同圆中相 等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份。我们把每一份这样的弧叫做 1° 的弧。所以，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 ☆ 巩固练习：若一条弧是 70°，则它所对的圆心角是 °；若一个圆周角等于 80°， 则它所对的弧等于 °。 31、 圆周角与圆心角 通过射门游戏引入圆周角的概念。提出这一问题意在引起学生思考，为本节活动埋下伏 笔。 圆周角：角的顶点在圆上，两边是圆的两条弦 圆心角：角的顶点是圆心，两边是圆的两条半径 32、 讲解例题 例 15 下列图形中的角是不是圆周角。 分析：通过此例，让学生理解好圆周角的定义。 33、 讲解例题 例 16 下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A 是同对一条弧。 分析：通过此例，让学生理解好什么是同一条弧所对的圆心角和圆周角。 A B C O A B C O A B C O A B C O D A B C O D A B C O A B O E O D C B A 34、 同弧或等弧所对的圆周角和圆心角的关系 ☆ 议一议 书本 P 101 议一议 可放手让学生自己观察动手操作验证思考，老师作适当提点。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理的几个推论 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 35、 总结方法 在这里要帮学生方法，以利于学生解决圆的一些证明的题目。 ☆ 议一议 书本 P 106 议一议 鼓励学生自觉地总结研究图形时所使用的方法，如度量与证明、分类与转化，以及类比 等。 ☆ 做一做 书本 P 107 做一做 是一个有实际背景的问题，解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用 反证法及分类的思想。 36、 讲解例题 例 17 如图，AB 是的直径，BD 是的弦，延长 BD 到 C，使 CA = AB。BD 与 CD 的大小有什么 关系？为什么？ 分析：此例是“直径所对的圆周角是直角”及等腰三角形“三线合一”定理的综合应用。  随堂练习 37、 书本 P 107 随堂练习 38、 《练习册》 P 49  小结 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。  作业 书本 P 104 习题 3.4 2  教学后记 第 4课时 §3.4 确定圆的条件 O DC B A 学生动手画图验证 C BA 知识目标：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程；了解不在同一条直线上 的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角 形的外接圆、三角形的外心等概念 能力目标：进一步体会解决数学问题的策略 德育目标：提高分类、归纳的数学能力 教学重点和难点 重点：了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆 难点：过不在同一条直线上的三个点作圆 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 在初一的时候，我们研究过，确定一条直线。经过一点可以作无数条直线，经过两点只 能作一条直线。那么经过一点能作几个圆？经过两点、三点，能确定几个圆呢？  师生共同研究形成概念 39、 平分一条弧 40、 确定圆的条件 ☆ 做一做 书本 P 109 做一做 由易到难让学生经历作圆的过程，从中探索确定圆的条件。作图前，要引导学生通过思 考明确这样的基本思想：作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆 就随之确定。 不在同一条直线上的三个点不能确定一个圆 要向学生明确为什么在同一条直线上的三个点不能确定一个圆。 41、 讲解例题 例 18 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆。 分析：要让学生动手操作。 要写作法 42、 外接圆与外心 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆； 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 锐角三角形：外心在圆内 直角三角形：外心在斜边的中点 钝角三角形：外心在圆外  随堂练习 43、 书本 P 114 1 44、 《练习册》 P 53  小结 确定圆的条件。  作业 作一个钝角三角形的外接圆。  教学后记 第 7课时 §3.6.1 直线和圆的位置关系 知识目标：经历探索直线与圆位置关系的过程；理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置 关系；了解切线的概念 能力目标：提高学生的读图能力 德育目标：运用辩证的观点看待问题 教学重点和难点 重点：理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系 难点：灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 上一阶段，我们研究过点与圆的位置关系。这节课，我们研究直线与圆的位置关系。  师生共同研究形成概念 45、 地平线与太阳的位置关系 首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系的现象，然后让学生动手操作。在这一过 程中引导学生归纳出直线与圆的几种位置关系。 46、 直线与圆的位置关系 ☆ 做一做 试按下列要求画直线 1）与⊙O有两个交点；2）与⊙O 有一个交点；3）与⊙O 没有交点。 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。 相交——直线与圆有两个交点； 相切——直线与圆有一个交点； 相离——直线与圆有零个交点。 直线和圆有惟一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个惟一的公共点叫做切点。 ☆ 想一想 书本 P 117 想一想 通过观察得出“圆心到直线的距离和半径的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对 应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化。这种等价关系是研究切线的理论基础。 OOO OOO 直线和圆相交 直线和圆相切 直线和圆相离 rd  rd  ； rd  割线 切线 ☆ 巩固练习 1、《练习册》 P 54 1、2、3； 2、随机找一些数据让学生判断直线和圆的位置关系。 47、 讲解例题 例 19 已知 Rt△ABC 的斜边 AB = 8cm，AC = 4 cm。（1）以点 C 为圆心作圆，当半径为多长 时，AB 与⊙C 相切？（2）以点 C 为圆心，分别以 2 cm 和 4 cm 的长为半径作两个 圆，这两个圆与 AB 分别有怎样的位置关系？ 分析：以直线与圆的位置为主线分析，可画圆演示。根据 d 与 r 的数量关系判断直线和 圆的位置关系，同时应用了三角函数的知识。  随堂练习 48、 书本 P 120 随堂练习 1 49、 《练习册》 P 54 7、9  小结 直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。  作业 书本 P 120 习题 3.7 1  教学后记 第 8课时 D C B A §3.6.2 直线和圆的位置关系 知识目标：探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆 上一点画圆的切线 能力目标：提高学生的读图能力 德育目标：运用辩证的观点看待问题 教学重点和难点 重点：切线的性质 难点：灵活运用切线的性质解决实际问题 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 复习直线与圆的位置关系及切线的性质。  师生共同研究形成概念 50、 探索圆的切线的性质 ☆ 议一议 书本 P 114 议一议 由直线和圆的三种位置关系逐步转向对切线的进一步研究。 圆的切线垂直于过切点的直径 在⊙O 中，AB 切⊙O 于点 C， ∴ OC⊥AB 知切线，连半径，得垂直；知直径，得直角。 51、 反证法 只要求学生了解，并且知道第一步是要假设结论不成立。 52、 讲解例题 例 20 如图，CA 为⊙O 的切线，A 为切点，点 B 在⊙O上，如果∠CAB = 55°，求∠AOB 的 度数。 ☆ 巩固练习 P55 1 例 21 如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D。 求证：AC 平分∠DAB。 C B A O D C BA O C BA O C BA O  随堂练习 53、 书本 P 120 随堂练习 2 54、 《练习册》 P 55 2、3、4、5 55、 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，过点 B 的切线交 AD 的延长线于 C， 求证： 。 56、 如图，AB 是⊙O 的直径，CE 是切线，切点为 C，BE⊥CE 于 E，交⊙O 于 D， 求证：AC = CD。 57、 如图，PA 切⊙O 于点 A，PB 切⊙O 于点 B，∠APB = 90°，OP = 4，求⊙O 的 半径。  小结 切线的性质。  作业 如图的两个圆是以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 是小圆的切线，C 为切点。求证：C 是 AB 的中点。  教学后记 ADCDBD 2 E D C B A O D C BA O O A B P 第 9课时 §3.6.3 直线和圆的位置关系 知识目标：能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线 能力目标：提高学生动手操作的能力 德育目标：辩证地看待问题的能力 教学重点和难点 重点：判定一条直线是否为圆的切线 难点：判定一条直线是否为圆的切线 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，圆的切线垂直于过切点的直径。  师生共同研究形成概念 58、 切线的判定 通过旋转实验的办法，探索切线的判定条件。 经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 在⊙O 中， ∵ AB⊥CD，且点 A 在⊙O 上 ∴ CD 是⊙O 的切线 59、 切线判定的应用 ☆ 做一做 书本 P 121 做一做 这是切线判定定理的一个直接应用，由于学生只学过用尺规作线段的垂直平分线，而没 有学过用尺规一般地作垂线，因此，这里不要求所有学生都用尺规作图，允许用三角尺作垂 线。 60、 讲解例题 例 22 如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACB = 45°，BA = BC，求证：BC 是⊙O 的切线。 分析：此例是巩固学生对圆的切线判定的理解。可让手让学生自己做。 61、 讲解例题 例 23 如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，BD = OB，∠CAB = 30°，求证： O A B C D C A B O D C A BO DA 是⊙O 的切线。  随堂练习 62、 书本 P 123 随堂练习 1 63、 《练习册》 P 56 4、5、7 64、 《练习册》 P 57 2、3  小结 经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。  作业 书本 P 123 习题 3.8 1  教学后记 第 10课时 §3.6.4 直线和圆的位置关系 知识目标：知道三角形的内心是三个角的平分线的交点，会作出三角形的内心，能借助三角 形的内心解决实际问题 能力目标：提高学生动手操作的能力 德育目标：辩证地看待问题的能力 教学重点和难点 重点：借助三角形的内心解决实际问题 难点：借助三角形的内心解决实际问题 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系；圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径 的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。  师生共同研究形成概念 65、 复习三角形的外接圆、外心 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆； 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 锐角三角形：外心在圆内；直角三角形：外心在斜边的中点；钝角三角形：外心在圆外 66、 讲解例题 例 24 如图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆，使其与各边都相切？ 分析：这里作圆的关键是确定圆心的位置。 67、 三角形的内切圆、内心 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 交点，这个点叫做三角形的内心。 68、 三角形外、内心对比 外心 内心 构成 三边垂直平分线的交点 三条角平分线的交点 特点 到三个顶点的距离相等 到三边的距离相等 位置 可在圆内、圆上、圆外 圆内 69、 讲解例题 A B CD EF I A B CD 例 25 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心。 例 26 如图 1，I 是△ABC 的内心，∠BIC = 130°，∠1 = 20°，求∠A 的大小。 例 27 如图 2，D 是△ABC 的内心，且∠A = 50°，求∠BDC 的度数。 例 28 如图 3，△ABC 中，E 是内心，∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于 D。求证：DE = DB。 例 29 如图 4，点 O 是△ABC 的内心，以 O 为圆心的圆和△ABC 的三边相交于 D、E、F、G、 H、I，求证：DE = FG = HI。  随堂练习 70、 书本 P 123 随堂练习 2 71、 《练习册》 P 56 1、2、3、6 72、 《练习册》 P 57 1、5 73、 如图，在 Rt△ABC 中，∠A BC= 50°，∠ACB = 75°，点 I 是内心，求∠BIC 的 度数。 74、 如图，点 I 是△ABC 的内心，AI 交 BC 边于点 D，交△ABC 的外接圆于点 E。求 证： DEAEIE 2 。  小结 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的 交点，这个点叫做三角形的内心。  作业 书本 P 124 习题 3.8 2  教学后记 D C A B A B C I A B C 1 I A B C D E A B C D O E F I G H E D C B A I 第 11课时 §3.6 圆和圆的位置关系 知识目标：经历探索两个圆之间位置关系的过程；了解圆与圆之间的几种位置关系；了解两 圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系 能力目标： 德育目标： 教学重点和难点 重点：圆与圆之间的几种位置关系 难点：两圆外切、内切与两圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 1）复习点与圆的位置关系；2）复习直线与圆的位置关系。  师生共同研究形成概念 75、 书本引例 ☆ 想一想 P 125 平移两个圆 利用平移实验直观地探索圆和圆的位置关系。 76、 圆与圆的位置关系 每一种位置关系都可以先让学生想想应该用什么名称表达。在讲解两圆外切、内切与两 圆圆心距 d、半径 R 和 r 的数量关系的联系时，可先让学生探索，老师不要生硬地把答案说 出来 外离 外切 相交 内切 内含 两圆没有交点 两圆只有一个交点 两圆有两个交点 两圆只有一个交点 两圆没有 交点 rRd  rRd  rRd  ☆ 巩固练习 若两圆没有交点，则这两个圆的位置关系是 ； 若两圆有一个交点，则这两个圆的位置关系是 ； 若两圆有两个交点，则这两个圆的位置关系是 ； ☆ 想一想 书本 P 126 想一想 2O1O2O1O2O1O2O1O 2O1O 通过实际例子让学生理解圆与圆的位置关系。 77、 圆与圆相切的性质 ☆ 想一想 书本 P 127 想一想 旨在引导学生思考两圆相切的性质：如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点，这一 性质是下面议一议的基础。学生容易看出两圆相切图形的轴对称性及对称轴，但要说明切点 在连心线上则有一定困难。 如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点 78、 讲解例题 例 30 已知⊙ 1O 、⊙ 2O 相交于点 A、B，∠A 1O B = 120°，∠A 2O B = 60°， 1O 2O = 6cm。 求：（1）∠ 1O A 2O 的度数；2）⊙ 1O 的半径 1r 和⊙ 2O 的半径 2r 。 79、 讲解例题 例 31 两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图所示，分隔两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成 一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小。  随堂练习 80、 书本 P 128 随堂练习 81、 《练习册》 P 59  小结 圆与圆的位置关系；圆心距与两圆半径和两圆的关系。  作业 书本 P 130 习题 3.9 1  教学后记 O T P O' N Q 1O 2O B A 第 12课时 §3.7 弧长及扇形的面积 知识目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；了解弧长计算公式及扇形面 积计算公式、并会应用公式解决问题 能力目标：提高分析问题、解决问题的能力 德育目标：辩证地看待问题 教学重点和难点 重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式 难点：弧长计算公式及扇形面积计算公式 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 在小学时，我们学习过圆的周长公式及面积的公式： rc 2 、 2rS  。这节课，我 们在原有的基础上，学习弧长公式及扇形的面积公式。  师生共同研究形成概念 82、 弧长公式 ☆ 想一想 书本 P 132 输送带 通过具体实际情境，探索弧长的计算公式。 在讲解圆心角时，大家还记得我们是如何推导出圆心角的度数与所对的弧的度数相同 的？ 我们把顶点在圆心的周角等分成 360 份时，每一份的圆心角是 1°的角。我们把每一份 这样的弧叫做 1°的弧。所以，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 圆的弧长也是一样，把一个圆平均分成 360 份，那么圆弧的公式就是： RnRnl  180 2 360  只要知道圆弧的度数、半径、弧长的其中两个，那么我们就可以求得另一个未知的量。 83、 讲解例题 例 32 制作弯形管道时，需要决定按中心线计算“展直长度” 再下料。试计算图中所示的管道的展直长度，即 AB 一定要在理解的基础上记忆 ⌒ BA 110° 40mm l n R 的长。 分析：例题主要是让学生应用公式进行计算，在计算时，要注意公式中的字母的意义。 84、 扇形的面积公式 ☆ 想一想 书本 P 133 想一想 通过具体实际情境，探索扇形面积的计算公式。扇形面积公 式以圆面积公式为基础，在让学生思考此问题时，要注意两点： 一是最大活动区域的数学含义。二是圆心角是 360 度的扇形面积 等于圆面积，圆心角为 n 度的扇形面积等于圆面积的 360 分之 n。 2 360 RnS 扇形 例 33 扇形 AOB 的半径为 12cm，∠AOB = 120°，求 AB 的长（结果精确到 0.1cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到 0.1 2cm ）。 分析：例题主要是让学生应用公式进行计算，在计算时，要注意公式中的字母的意义。 85、 弧长公式与扇形面积公式之间的关系 lRRRnRnS 2 1 1802 1 360 2  扇形  随堂练习 86、 书本 P 134 随堂练习 1、2 87、 《练习册》 P 60 88、 填表： 弧长 l 扇形的面积 S 半径 R 弧的度数 n 4 150 8 240 6π 10 9π 120  小结 弧长公式与扇形的面积公式。  作业 书本 P 135 习题 3.10 1  教学后记 ⌒ 一定要在理解的基础上记忆 n R S l n R S 第 13课时 §3.8 圆锥的侧面积 知识目标：经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公 式解决问题 能力目标：提高分析问题、解决问题的能力 德育目标：辩证地看待问题 教学重点和难点 重点：圆锥侧面积计算公式 难点：圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题 教学过程设计  从学生原有的认知结构提出问题 89、 复习弧长公式： RnRnl  180 2 360  ；扇形的面积公式： 2 360 RnS 扇形 ； 弧长与扇形面积关系的公式： lRRRnRnS 2 1 1802 1 360 2  扇形 。 90、 扇形的半径为 50cm，弧长为 80 cm，则扇形的面积为 ，扇形 的圆心角的度数为 。  师生共同研究形成概念 91、 圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是矩形， 这个矩形的长是圆柱的底面圆的周长，宽是这个圆柱的高。 92、 圆锥的侧面展开图 1）圆锥的侧面展开图是什么图形？ 2）介绍圆锥的母线、底面半径、高、轴截面、锥角 3）如何计算圆锥的侧面积？ 首先让学生通过观察圆锥，认识到它的表面是由一个圆面和一个曲面围成的，然后再思 考圆锥的曲面展开在平面上，是什么样的图形。 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆 的周长 1） 巩固练习 1） 圆锥的底面半径为 3，则底面的周长为 ，侧面展开图的扇形的弧长 l n R S 为 。 2） 圆锥的底面半径为 3，高为 4，则母线长为 。 3） 圆锥的母线长为 4，侧面展开的扇形的弧线长为 12π，则底面圆的周长为 ， 底面半径为 ，圆锥的高为 。 4） 圆锥的底面半径为 6，母线长为 12，则锥角为 度。 93、 圆锥的侧面积和全面积 应要求学生理解圆锥侧面积公式的推导过程，在理解的基础上记忆。 圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，则这个扇形的半径为 l； 扇形的弧长是底面圆的周长，即 r2 ； 圆锥的侧面积为： rllrS   2 2 1 圆锥侧 ，即 母线长底面半径圆锥侧  S 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 94、 讲解例题 例 34 圆锥的母线与高的夹角为 30°，母线长为 6cm，求它的侧面积。 分析：借助直角三角形三十度角的性质，求得底面圆的周长。 95、 讲解例题 例 35 某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽。已知纸帽的底面周长为 58cm，高为 20cm， 要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？（结果精确到 0.1 2cm ） 分析：例题是利用圆锥侧面积公式进行计算。  随堂练习 96、 书本 P 137 随堂练习 97、 书本 P 138 习题 3.11 1、2、3 98、 《练习册》 P 62  小结 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的 周长。  教学后记