2020年北京市密云区中考数学二模试卷 (含解析)

2020年北京市密云区中考数学二模试卷 (含解析)

2020 年北京市密云区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共 8小题，共 16.0分） 1. 2018年 10月 24日，被外媒冠以“中国奇迹”之称的“超级工程”港珠澳大桥，正式通车．港 珠澳大桥是新中国建设史上里程最长投资最多施工难度最大的跨海桥梁．其中最大沉管隧道排 水量超过 75000吨．75000用科学记数法表示为 A. .䁥 1 B. 䁥 1 C. 䁥. 1 D. 䁥. 1 2. 下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 A. B. C. D. . 如图，在编写数学谜题时，“”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为 .则列出方程正 确的是 A. 2 2 B. 2 1 2 C. 2 2 D. 2 1 2 . 如图对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列等式 A. 2 2 2 2 B. 2 2 C. 2 2 2 2 D. 2 2 . 数轴上表示 的点与表示 7的点之间的距离是 A. 3 B. 10 C. 7 D. 4 6. 如果2 2 1 ，那么代数式 2 2 的值是 A. 1 B. 1 2 C. 2 D. 2 䁥. 下列说法错误的是 A. 必然事件发生的概率是 1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 8. 如图，点 E，F，A，B在同一条直线上，ܤ ൌ 2，分别以 AB和 EF为边在直线的同侧 作正方形 ABCD和等腰直角三角形 EFG，将 ൌ䁨从图所示的位置出发沿直线 AB向右运动， 当点 E与点 B重合时，停止运动．设 ൌ䁨与正方形 ABED重叠部分的面积为 y，线段 AF的 长为 x，则下列函数图象能正确反映 y与 x的函数关系的是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 8小题，共 16.0分） 9. 分解因式：2 ______． 1. 在二次根式 2中，x的取值范围是 ． 11. 如图，菱形 ABCD的边长是 ，E是 AB的中点，且 ൌ 则，ܤ 菱形 ABCD的面积为________2.结果保留两位小数，参考数据： 12 .6 12. 如图，1，2，，是五边形 ABCDE的外角，且1 2 䁥，则ൌ的度数是______． 1. “如果 ᦙ ， ′ ，那么 ᦙ ”，能够说明该命题是假命题的一组 a，b的值依次为 _______________。 1. 如图，测量树高 假设树与地面ܤ BC垂直，点 B，C，D在同一条 直线上，在C点测得ܤ ，在D点测得ܤ 6，又 2，则树高 AB为______结果保留根号． 1. 如图，AB是的切线，切点为 B，AO交于点 C，过点 C 的切线交 AB于点 .若 ，ܤ2 1，则的半径为 ______ ． 16. 某学校把学生的纸笔测试、实践能力两项成绩分别按 6、的比例计入学期总成绩．小明 实践能力这一项成绩是 81分，若想学期总成绩不低于 90分，则纸笔测试的成绩至少是________ 分． 三、解答题（本大题共 12小题，共 68.0分） 1䁥. 计算： 1 2 2 6 8 2． 18. 解不等式组 1 ′ 2 ′ 1 ． 19. 如图，在▱ABCD中， 的平分线ܤ，1 AE交 DC于点 E， 连接 ൌ.若ܤ ൌ ．的度数ܤ求ൌ，ܤ 2. 若一元二次方程2 有实数根，求 k的取值范围． 21. 如图，四边形 ABCD是矩形，点 P是对角线 AC上一动点不与 A、C重合，连接 PB，过点 P 作 ൌ 交射线，ܤ DC于点 E，已知 ，sinܤ .6.设 AP的长为 x． 1当 1 时， ൌ ܤ _______ 2试探究： ൌ ܤ 否是定值若是，请求出这个值若不是，请说明理由 连接 BE，设 ൌ的面积为ܤ S，求 S的最小值． 当 ൌ是等腰三角形时.请求出 x的值 22. 在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 的图象与 x轴交于点 2，与反比例函数 的图象交于点 ．ܤ 1求一次函数与反比例函数的表达式； 2若点 P为 x轴上的点，且 的面积是ܤ 2，则点 P的坐标是______． 2. 如图，是 ܤ，的外接圆ܤ 9， 2，过 点 C作的切线，交 AB的延长线于点 D，求的度数． 2. 在新的教学改革的推动下，某中学初三年级积极推进走班制教学．为了了解一段时间以来“至 善班”的学习效果，年级组织了多次定时测试，现随机选取甲、乙两个“至善班”，从中各抽 取 20名同学在某一次定时测试中的数学成绩，其结果记录如下： 收集数据： “至善班”甲班的 20名同学的数学成绩统计：满分为 100分，单位：分 86 90 60 76 92 83 56 76 85 70 96 96 90 68 78 80 68 96 85 81 “至善班”乙班的 20名同学的数学成绩统计：满分为 100分，单位：分 78 96 75 76 82 87 6 87 72 100 82 78 86 70 92 76 898䁥8 整理数据：成绩得分用 x表示 分析数据，并回答下列问题： 1完成下表： 平均数中位数 众数 甲班 8.6 82 _______ 乙班 8. _______78 2在“至善班”甲班的扇形图中，成绩在 䁥 ᦙ 8的扇形中，所对的圆心角的度数为 _________.估计全部“至善班”的 16人中，优秀数学成绩 8分人数为____人； 根据以上数据，你认为“至善班”______班填“甲”或“乙”所选取做样本的同学的学 习效果更好一些，你所做判断的理由是： ________________________________________； ________________________________________． 25. 小东根据学习函数的经验，对函数 121图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程， 请补充完整，并解决相关问题： 1函数 121的自变量 x的取值范围是______； 2如表是 y与 x的几组对应值． x 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 2 3 4 y 2 16 1 2 16 4 16 2 16 1 m 表中 m的值为______； 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出 函数 121的大致图象； 结合函数图象，请写出函数 121的一条性质：________________； 解决问题：如果函数 121与直线 的交点有 2个，那么 a的取值范围是______． 26. 如图，已知抛物线与 x轴交于点 与，ܤ、2 y轴交于点 8． 1求抛物线的解析式及其顶点 D的坐标； 2设直线 CD交 x轴于点 ൌ.在线段 OB的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P到直线 CD的 距离等于点 P到原点 O的距离？如果存在，求出点 P的坐标；如果不存在，请说明理由； 过点 B作 x轴的垂线，交直线 CD于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长 度？ 27. 如图 1，点 A是线段 BC上一点， ，ܤ ൌ都是等边三角形，BE交 AD于点 M，CD交 AE于 N． 1求证：ܤൌ ； 2求证： 䳌䁨是等边三角形； 将 ൌ绕点 A按顺时针方向旋转 9，其它条件不变，在图 2中补出符合要求的图形，并 判断12两小题结论是否仍然成立，并加以证明． 28. 在平面直角坐标系 xOy中，给出如下定义：若点 P在图形 M上，点 Q在图形 N上，如果 PQ 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N的“近距离”，记为 䳌䁨.特别地， 当图形 M与图形 N有公共点时，䳌䁨 .已知 ，ܤ， 2， 1点 A，点 ܤ ______，点 A，线段 ܤ ______； 2 半径为 r， 当 1时，求与线段 AB的“近距离” ，线段 ；ܤ 若 ܤ 1，则 ______． 为 x轴上一点，的半径为 1，点 B关于 x轴的对称点为点 的“近距ܤܤ与，ܤ 离” ܤܤ ᦙ 1，请直接写出圆心 D的横坐标 m的取值范围． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 1的形式，其中 1 ᦙ 1，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 科学记数法的表示形式为 1的形式，其中 1 ᦙ 1，n为整数．确定 n的值时，要看把原 数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值′ 1时，n 是正数；当原数的绝对值ᦙ 1时，n是负数． 解：用科学记数法表示 75000是 䁥. 1， 故选 C． 2.答案：C 解析：解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误； 故选：C． 根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答． 本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180度后与原图形重合． 3.答案：D 解析：【试题解析】 解：设“”内数字为 x，根据题意可得： 2 1 2． 故选：D． 直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键． 4.答案：D 解析： 此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出小正方形边长是解题关键． 直接利用已知图形可得各部分的边长，进而得出其面积． 解：由图形表示各部分边长可得： 2 2． 故选：D． 5.答案：B 解析：解：数轴上表示 的点与表示 7的点之间的距离是䁥 1． 故选 B． 数轴上两点间的距离，即两点对应的数的差的绝对值． 此题考查了数轴上两点间的距离的求法． 6.答案：A 解析： 先将原式进行化简，然后将2 2的值整体代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值，运用整体代入法是解题的关键． 【详解】 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ， 2 2 1， 原式 1． 故选 A． 7.答案：C 解析：解：A、必然事件发生的概率是 1，正确； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选：C． 不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于 0并且小于 1． 本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围： 1，其中必然发生的事件的概率 1；不可能发生事件的概率 ；随机事件，发生 的概率大于 0并且小于 1.事件发生的可能性越大，概率越接近与 1，事件发生的可能性越小，概率 越接近于 0． 8.答案：D 解析： 本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后 利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．当运动开始和结束时的重叠 部分面积为 0，运动过程分类讨论：当 ᦙ ᦙ 2时，重合部分是梯形，表示出梯形的上，下底 及高即可得到 y与 x的关系；当 2 ᦙ 时，重合部分是等腰直角三角形，表示出两条直角边， 即可得到 y与 x的关系式，进而确定出函数图象． 解：当运动开始和结束时的重叠部分面积为 0， 如图 1，当 ᦙ ᦙ 2时， ， ൌ 2 ， ൌ䁨为等腰直角三角形， 䳌 ൌ 2 ， 1 2 䳌 䁨 1 2 2 2 1 2 2 2； 如图 2，当 2 ᦙ 时， ， ൌ 2， ൌܤ ， ൌ䁨为等腰直角三角形， 䳌ܤ ൌܤ ， 1 2 ൌܤ 䳌ܤ 1 2 1 2 2， 综上可得 D项图象符合， 故选 D． 9.答案： 2 2 解析：解：原式 2 2 2， 故答案为： 2 2 原式提取 n，再利用平方差公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10.答案： 2 解析： 考查了二次根式的意义和性质． 二次根式的被开方数是非负数，即 2 ． 解：根据题意，得 2 ， 解得， 2； 故答案是： 2． 11.答案：1.86 解析： 本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题.利用勾股定理求出 DE，根据菱形 ABCD的面积 ܤ ൌ计算即可． 解：四边形 ABCD是菱形， ܤ ， ൌ是 AB的中点， ൌ ൌܤ 2， ൌ ，ܤ ൌ 9． 在 ൌ中，ൌ 2 ൌ2 12 .6， 菱形 ABCD的面积 ܤ ൌ .6 1.86． 故答案为 1.86． 12.答案：1 解析：解：如图， 根据多边形外角和定理得到：1 2 6， 6 䁥 8， ൌ 18 18 8 1． 根据多边形的外角和定理即可求得与ൌ相邻的外角，从而求解． 本题主要考查了多边形的外角和定理． 13.答案： 1，2 解析： 本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设， “那么”后面解的部分是结论．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、 论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．列举一组数满足 ᦙ ， ′ ，不满足 ᦙ 即可． 解：当 1， 2时，满足 ᦙ ， ′ ，不满足 ᦙ ， 所以说明该命题是假命题的一组 a，b的值依次为 1，2． 故答案为 1，2． 14.答案：1 解析： 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 AD的长是解题关键．直接利用三角形的外角的性 质得出的度数，再利用等腰三角形的性质得出 AD的长，进而利用锐角三角函数关系得出答案． 解：如图所示： 在 C点测得ܤ ，D点测得ܤ 6， ， 2， 故 ݅6 ܤ ܤ 2 2 ， 解得：ܤ 1 ， 故答案为：1 ． 15.答案： 解析：解：连接 OB， ，CD都是的切线、ܤ ܤ 9，且 ܤ 1， ܤ2 2， ܤ 2 1 ， 在 中，可求得 ， 设半径为 r，则 ， 在 中，由勾股定理可得：2ܤ 2ܤ ，2ܤ 即 2 2 2，解得 ， 故答案为： ． 连接OB，则可知 ܤ 1，则 2，在 中可求得 ，设半径为 r，则 ， 在 中由勾股定理可得ܤ 2 2ܤ 代入求，2ܤ r即可． 本题主要考查切线的性质，掌握连接圆心和切点是常用的辅助线是解题的关键，注意方程思想的应 用． 16.答案：96 解析： 本题主要考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，理解加权 平均数的计算方法是解决本题的关键． 学期总成绩不低于 90分，即学期的总成绩 9分．设纸笔测试的成绩为 x分，根据题意可以得到 一个不等式，从而求出纸笔测试成绩的最小值． 解：设纸笔测试的成绩为 x分， 则 81 6 9， 解得： 96． 故答案为 96． 17.答案：解：原式 2 2 2 ． 解析：直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和立方根的性质、绝对值的性质分别化简 得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 18.答案：解： 1 ′ 2 ′ 1 ， 解不等式得到： ᦙ 1； 解不等式得到： ′ ； 所以，不等式组的解集是 ᦙ ᦙ 1． 解析：分别解出两不等式的解集，再求其公共解． 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小， 小大大小中间找，大大小小解不了． 19.答案：解：四边形 ABCD是平行四边形， ܤ ，䁥䁥ܤ，1 ܤ 18 8， ൌ平分ܤ， ൌܤ 1 2 8 ， ൌ ，ܤ ൌܤ 1 2 18 䁥， ൌܤ ܤ ൌܤ 1 䁥 ． 解析：本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识.关键是 掌握平行四边形对边平行，对角相等.由平行四边形的性质得出ܤ 䁥䁥，得出ܤ，1 ܤ 18 8，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出ܤൌ 䁥，即可得出 ൌܤ的度数． 20.答案：解：一元二次方程2 有实数根， 12 ， 1 ． 解析：根据的意义得到 12 ，然后解不等式即可． 本题考查了一元二次方程 2 的根的判别式 2 ：当′ ，方程有两个 不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当ᦙ ，方程没有实数根． 21.答案：解：1 2结论： ൌ ܤ 的值为定值． 理由：由 ，可得 䳌 ，䳌 䳌ܤ， ，䁨 ， ∼䳌ܤ 䁨ൌ， ൌ ܤ 䁨 䳌ܤ ； 在 ，䳌中ܤ 2ܤ 䳌2ܤ 䳌2 2 2 2 2 16， ൌ ܤ ， ൌ ，ܤ 1 2 ܤ ൌ 8 2ܤ 8 2 2 16 8 16 2 2 ， ᦙ ᦙ ， 16 时，S有最小值 2 ； 当点 E在边 CD上时，如图， 则ൌ ′ 9，所以只能 ൌ ൌ， ൌ ൌ， 四边形 ABCD是矩形， ܤ 9， ൌ ，ܤ ൌܤ 9， ൌܤ ൌ ܤ ൌ， 即ܤ ，ܤ ܤ ，ܤ 过点 B作 ܤ 于点 F，则 ， cosܤ ܤ ܤ ， ， 9 ， 9 ， 18 䁥 ， 当点 E在 C的右侧时，如图， 则ൌ ′ 9，所以只能 ൌ，设 PE交 BC于点 G，则ൌ ൌ， 䁨ܤ ൌ䁨 䁨ܤ，9 ൌ䁨， ∼䁨ܤ ൌ䁨， 䁨ܤ ൌ䁨， 䁨ܤ ൌ， ܤ 䁨ܤ ܤ，9 ൌ 9， ܤ ，ܤ ܤ ， 综上所述，x的值为 䁥 或 4． 解析： 【试题解析】 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义的知识，熟练掌握这些知识是 解决本题的关键． 1由矩形的性质结合 sinܤ 可知 ，由勾股定理可求出 ܤ ；过点 P作 CD的 垂线交 AB、CD于点 M、N，可证出 䁨ൌ∽ 䳌，推出ܤ ， 即 ൌ ܤ ； 2设 ，可得 䳌 ，䳌 䳌ܤ， ，䁨 ，根据 ∼䳌ܤ 䁨ൌ， 即可求出 ൌ ܤ ； 在 䳌中，根据勾股定理得到ܤ 2ܤ 䳌2ܤ 䳌2 2 2 2 2 16，再 由 ൌ ܤ ，得到 ൌ 根据三角形的面积得到，ܤ 8 16 2 2 ，即可求出 S的最小值； 分情况讨论：当点 E在边 CD上时和当点 E在 C的右侧时，分别求出，即可解答． 解：1 四边形 ABCD是矩形， ܤ，9 ，䁥䁥ܤ， ܤ ， sinܤ sin ， ， ， 在 中，由勾股定理得， 2 2 2 2 ， ܤ ； 当 1时，如图，作 䳌 于ܤ M交 CD于 N． 过点 P作 CD的垂线分别交 AB、CD于点 M、N，则ܤ 9， 四边形 ABCD是矩形， ܤ ܤ ，䁥䁥ܤ，9 四边形 BCNM是矩形， 䳌ܤ 䳌ܤ，9 䁨， 䁨ൌ ൌܤ，9 9， 䁨ൌ ൌ䁨 9，䳌ܤ 䁨ൌ 9， ൌ䁨 䳌ܤ， 䁨ൌ∽ ，䳌ܤ ， 即 ൌ ܤ ； 故答案为 ； 2见答案； 见答案； 见答案． 22.答案：解：1 一次函数 的图象与 x轴交于点 2， 2 ， 2， 2， 当 时， 1， 代入，1ܤ 中，得到 ， 反比例函数的解析式为 ； 2 2或6． 解析：解：1 一次函数 的图象与 x轴交于点 2， 2 ， 2， 2， 当 时， 1， 代入，1ܤ 中，得到 ， 反比例函数的解析式为 ． 2 的面积是ܤ 2， 1 2 1 2， ， 2或6． 1利用待定系数法即可解决问题； 2利用三角形的面积公式求出 PA的长即可解决问题； 本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型． 23.答案： 解析： 考查切线的性质，圆周角定理，比较简单，熟记圆周角定理是解题的关键． 首先连接 OC，由 2，可求得ܤ的度数，由 CD是的切线，可得 OC CD，继而求得 答案． 解：连接 OC， 圆 O是 ，的外接圆ܤ ，是直径ܤ 是圆 O的切线， ， 24.答案：解：196；79； 2䁥2；880； 甲； 甲班分数的中位数较高，说明甲班整体水平较好； 甲班分数的平均数较高，说明甲班平均水平较好． 解析： 本题考查扇形统计图，样本估计总体的思想，中位数，众数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知 识，属于中考常考题型． 1根据众数，中位数的定义即可解决问题； 2根据圆心角 6 百分比，计算即可，利用样本估计总体的思想解决问题； 根据优秀率，中位数，平均数的大小即可判断． 解：1将甲班成绩重新整理如下： 56 60 68 68 70 76 76 78 80 81 83 85 85 86 90 90 92 96 96 96， 其中 96出现次数做多， 众数 96分； 将乙班成绩重新整理如下： 54 60 70 72 75 76 76 78 78 78 80 82 82 86 87 87 92 96 98 100， 其中中位数 䁥88 2 䁥9分， 故答案为 96；79； 2成绩在 䁥 ᦙ 8的扇形中，所对的圆心角的度数为 6 2 䁥2， 估计全部“至善班”的 1600人中优秀人数为 16 22 88人． 故答案为 䁥2；880； 甲所选取做样本的同学的学习效果更好一些，判断的理由是：甲班分数的中位数较高，说明甲 班整体水平较好；甲班分数的平均数较高，说明甲班平均水平较好． 故答案为甲；甲班分数的中位数较高，说明甲班整体水平较好；甲班分数的平均数较高，说明 甲班平均水平较好． 25.答案：解：1全体实数； 2 2 ； 图象位于第一、二象限，当 1时，函数有最大值 4，当 ᦙ 1时，y随 x的增大而增 大，当 ′ 1时，y随 x的增大而减小，图象与 x轴没有交点．任选其一即可 ᦙ ᦙ ． 解析： 解：1函数 121的自变量 x的取值范围是：全体实数， 故答案为：全体实数； 2把 代入 121得， 121 2 ， 2 ， 故答案为 2 ； 见答案 图象位于第一、二象限，当 1时，函数有最大值 4，当 ᦙ 1时，y随 x的增大而增 大，当 ′ 1时，y随 x的增大而减小，图象与 x轴没有交点． 故答案为：图象位于第一、二象限，当 1时，函数有最大值 4，当 ᦙ 1时，y随 x的 增大而增大，当 ′ 1时，y随 x的增大而减小，图象与 x轴没有交点．任选其一即可 由图象，得 ᦙ ᦙ ． 故答案为 ᦙ ᦙ ． 本题考查了函数的性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键． 1根据分母不为零分式有意义，可得答案； 2根据自变量与函数值得对应关系，可得答案； 根据描点法画函数图象，可得答案； 根据图象的变化趋势，可得答案； 根据图象，可得答案． 26.答案：解：1设抛物线解析式为 2 ． 把 8代入，得 1． 2 2 8 12 9， 顶点 19； 2假设满足条件的点 P存在．依题意设 2． 由 8，19求得直线 CD的解析式为 8， 它与 x轴的夹角为 ． 设 OB的中垂线交 CD于 H，则 21． 则 1 ，点 P到 CD的距离为 2 2 2 2 1 ． 又 2 22 2 . 2 2 2 1 ． 平方并整理得：2 2 92 ，解之得 1 8 ． 存在满足条件的点 P，P的坐标为2 1 8 . 由上求得 ൌ 8，12． 若抛物线向上平移，可设解析式为 2 2 8 ′ ． 当 8时， 䁥2 ． 当 时， ． 䁥2 或 12． ᦙ 䁥2. 若抛物线向下平移，可设解析式为 2 2 8 ′ ． 由 2 2 8 8 ， 有 2 ． 1 ， 1 ． 向上最多可平移 72个单位长，向下最多可平移 1 个单位长． 解析：1由抛物线过 A、B、C三点可求出抛物线表达式； 2假设存在，设出 P点，解出直线 CD的解析式，根据点 P到 CD的距离等于 PO可解出 P点坐标； 应分两种情况：抛物线向上或下平移，设出解析式，代入点求出平移的单位长度． 27.答案：1证明： ൌ， ，是等边三角形ܤ ൌ，ܤ ，ൌ ܤ，6 6， ܤ ൌ ൌ ൌ， 即：ܤൌ ， ≌ ൌܤ， ൌܤ ； 2证明： ≌ ൌܤ， ．䳌ܤ 䁨 18 ܤ ൌ 18 6 6 6， 䳌ܤ 䁨， 又 ܤ ， ≌䳌ܤ 䁨， 䳌 䁨， 䳌䁨为等腰三角形． 又 䳌䁨 6， 䳌䁨为等边三角形． 解：补图如下： ൌܤ 仍成立； 䳌䁨为等边三角形不成立； 证明： ൌ， ，是等边三角形ܤ ൌ，ܤ ，ൌ ܤ，6 6， ܤ ܤ ൌ ，ܤ 即：ܤൌ ， ≌ ൌܤ． ൌܤ ൌܤ， ， ܤ 9 䳌䁨 ′ 9， 䳌䁨 6， 䳌䁨不可能是等边三角形， 1的结论成立，2的结论不成立． 解析：本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点， 利用全等三角形得出角和边相等是解题的关键，属于较难题． 1可通过全等三角形来得出简单的线段相等，证明 ൌܤ ，只要求出 ≌ ൌܤ即可； 2我们不难发现䳌䁨 18 6 6 6，因此只要我们再证得两条边相等即可得出 䳌䁨是等边三角形，由1的全等三角形可以证明 ≌䳌ܤ 䁨，可得出 䳌 䁨，于是我们 再根据䳌䁨 6，便可得出三角形 AMN是等边三角形的结论． 判定结论1是否正确，也是通过证明 ≌ ൌܤ来求得，得到 ൌܤ ，所以结论1中的 ൌܤ 仍正确．将 ൌ绕点 A按顺时针方向旋转 9，则ܤ 9，䳌䁨 ′ 9，因此三 角形 AMN绝对不可能是等边三角形． 28.答案：1 2 ； 22 2 1， 1或 ； 且点，ܤ B关于 x轴的对称点为点 ，ܤ 点 ܤ ܤ ܤ ， 若在ܤܤ内部，如图，过点 D作 ，ܤ ܤ ， 2， ܤܤ ᦙ 1， ᦙ 2 ᦙ 2 2 点 ，点 ᦙ 2 2 ᦙ 2 2 若在ܤܤ外部， ܤܤ ᦙ 1， ᦙ 2 点 ，点 ᦙ 2 ′ 6 综上所述： 6 ᦙ ᦙ 2 2 解析： 解：1 ，ܤ， 点 A，点 ܤ 2 2 2 ，ܤ 2， 直线 BC解析式为： 2 点 A，线段 ܤ 故答案为： 2， 2如图，过点 O作 ൌ 于点ܤ E， ，ܤ， ܤ ， ܤ 2， ܤ 1 2 ܤ ൌ 1 2 ܤ ൌ 2 2 ，线段 ܤ 2 2 1 ܤ 1， 与 ，各边都不相交ܤ 若 在外，如图，过点ܤ O作 于点ܤ F， ，ܤ 2， ܤ ， 2 ܤ 2ܤ 2 2 ܤ 1 2 ܤ 1 2 ܤ ܤ 1， 1 1 若 ，在内ܤ ܤ 1， 䳌ܤ 1 ܤ 䳌ܤ 故答案为： 1或 ； 见答案． 1图形 M，N的“近距离”的定义可求解； 2过点 O作 ൌ 于点ܤ E，由三角形面积公式可求 OE的长，即可求解； 分 ，在外ܤ 在内两种情况讨论，当ܤ 在外时，由三角形面积公式ܤ 可求OF的长，由 ܤ 1的值，可求 r的值；， ，在内时ܤ ܤ 1 䳌，可求ܤ r的值； 由题意可求ܤ ，分在ܤܤ内部，在ܤܤ外部两种情况讨论，由题意列出 不等式，即可求解． 本题属于圆的综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，一次函数的应用，图形 M， N间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压 轴题．