中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义26 视图与投影（教师版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义26 视图与投影（教师版）

专题 26 视图与投影 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影 线，投影所在的平面叫做投影面。  平行投影 概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。 特征： 1.等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 2.等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长 度. 平行投影变化规律: 1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方 向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由 长变短再变长. 2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 即： . 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.  中心投影 概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。 特征： 1.等高的物体垂直地面放置时，如图 1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物 体它的影子长. 2 等长的物体平行于地面放置时，如图 2 所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影 子越短，但不会比物体本身的长度还短. 考查题型（求点光源的位置） 点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个 点的位置. 中心投影与平行投影的区别与联系：  正投影 正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平 行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这 种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. 1.线段的正投影分为三种情况.如图所示. 1 线段 AB 平行于投影面 P 时，它的正投影是线段 A1B1，与线段 AB 的长相等；、 2 线段 AB 倾斜于投影面 P 时，它的正投影是线段 A2B2，长小于线段 AB 的长； 3 线段 AB 垂直于投影面 P 时，它的正投影是一个点. 2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示. ①当平面图形平行于投影面 Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图 形全等； ②当平面图形倾斜于投影面 Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类 似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面 Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. 3.立体图形的正投影. 物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图 形的最大截面全等. 【典型例题】 1．（2019·四川中考模拟）下列四幅图形中,表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例，依次分析各选 项即得结果． A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、影子的方向不相同，故本选项错误； D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误． 故选 A． 2．（2019·广西中考模拟）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A处径直走到 B处这一过程中，他在地 上的影子（ ） A．逐渐变短 B．先变短后变长 C．先变长后变短 D．逐渐变长 【答案】B 【详解】 晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 A处径直走到 B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长． 故选 B． 3．（2019·北京清华附中中考模拟）如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路 灯下（ ） A．小莉的影子比小玉的影子长 B．小莉的影子比小玉的影子短 C．小莉的影子与小玉的影子一样长 D．无法判断谁的影子长 【答案】D 【解析】 由一点所发出的光线形成的投影叫做中心投影,而中心投影的影子长短与距离光源的距离有关,由题意可得, 小莉和小玉在同一路灯下由于位置不同,影长也不相同,故无法判断谁的影子长,故选 D. 4．（2019·河北中考模拟）一个长方形的正投影不可能是（ ） A．正方形 B．矩形 C．线段 D．点 【答案】D 【详解】 解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故长方形的正 投影不可能是点，故选：D． 5．（2019·湖北中考模拟）如图，左面水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭头所示，它的正投影图 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：根据题意：水杯的杯口与投影面平行，即与光线垂直，则它的正投影图应是 D．故选 D． 6．（2018·广东中考模拟）下面四幅图是在同一天同一地点不同时刻太阳照射同一根旗杆的影像图，其中表 示太阳刚升起时的影像图是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：太阳东升西落，在不同的时刻， 同一物体的影子的方向和大小不同，太阳从东方刚升起时，影子应在西方． 故选 C． 考查题型一 中心投影的应用方法 1．（2018·河北中考模拟）如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( ) A．越长 B．越短 C．一样长 D．随时间变化而变化 【答案】B 【解析】 由图易得 AB＜CD，那么离路灯越近，它的影子越短， 故选 B． 2．（2020·银川外国语实验学校初三期末）如图，身高 1.6米的小明站在距路灯底部 O点 10米的点 A处， 他的身高（线段 AB）在路灯下的影子为线段 AM，已知路灯灯杆 OQ垂直于路面． （1）在 OQ上画出表示路灯灯泡位置的点 P； （2）小明沿 AO方向前进到点 C，请画出此时表示小明影子的线段 CN； （3）若 AM=2.5米，求路灯灯泡 P到地面的距离． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8米 【解析】  1 如图：  2 如图：  3 / /AB OPQ ， MABV ∽ MOP ， AB AM OP OM   ，即 1.6 2.5 10 2.5OP   ， 解得 8OP  ． 即路灯灯泡 P到地面的距离是 8米． 3．（2019·泰兴市洋思中学初三期中）如图，王华晚上由路灯 A下的 B处走到 C处时，测得影子 CD的长为 1米，继续往前走 3米到达 E处时，测得影子 EF的长为 2米，已知王华的身高是 1.5米． （1）求路灯 A的高度； （2）当王华再向前走 2米，到达 F处时，他的影长是多少？ 【答案】（1）路灯 A有 6米高（2）王华的影子长 8 3 米． 【解析】 试题分析：22. 解：（1）由题可知 AB//MC//NE， ∴ ，而MC=NE ∴ ∵CD=1米，EF=2 米，BF=BD+4，∴BD=4米，∴AB= =6米 所以路灯 A有 6米高 （2） 依题意，设影长为 x，则 解得 米 答：王华的影子长 8 3 米． 考查题型二 利用平行投影确定影子的长度 1．（2019·吉林中考模拟）如图，身高 1.6米的小丽在阳光下的影长为 2米，在同一时刻，一棵大树的影长 为 8米，则这棵树的高度为_____米． 【答案】6.4 【详解】 解：由题可知： 1.6 2 8  树高 , 解得：树高=6.4米. 2．（2018·四川中考模拟）如图，AB和 DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5米，某一时刻 AB在阳光下 的投影 BC＝3米，在测量 AB的投影时，同时测量出 DE在阳光下的投影长为 6米，则 DE的长为_____． 【答案】10cm 【详解】 解：如图， 在测量 AB的投影时，同时测量出 DE在阳光下的投影长为 6m， ∵△ABC∽△DEF，AB=5m，BC=3m，EF=6m ∴ AB BC = DE EF ∴ 5 3 = 6 DE ∴DE=10（m） 故答案为 10m． 3．（2015·甘肃中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高 10米的旗杆 AB和一根高度未知 的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻， 在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子 EF的长度为 2米，落在地面上的影子 BF的长为 10米，而电线杆 落在围墙上的影子 GH的长度为 3米，落在地面上的影子 DH的长为 5米，依据这些数据，该小组的同学计 算出了电线杆的高度． (1)该小组的同学在这里利用的是 投影的有关知识进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程． 【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为 7米． 【详解】 （1）平行； （2）连接 AM、CG，过点 E作 EN⊥AB于点 N，过点 G作 GM⊥CD于点M， 则 BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5 所以 AN=10-2=8， 由平行投影可知： 即 解得 CD=7 所以电线杆的高度为 7m． 考查题型三 利用相似问题解决投影问题 1．（2019·长沙市长郡双语实验中学中考模拟）如图，路灯距离地面 8米，身高 1.6米的小明站在距离灯的 底部（点 O）20米的 A处，则小明的影子 AM长为 米． 【答案】5。 【解析】 根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知 AB AM OC OA AM   ，即 1.6 AM 8 20 AM   ，解得 AM=5。 ∴小明的影长为 5米。 2．（2015·河南中考模拟）墙壁 CD上 D处有一盏灯(如图)，小明站在 A处测得他的影长与身长相等，都为 1.6m，他向墙壁走 1m到 B处时发现影子刚好落在 A点，则灯泡与地面的距离 CD＝____． 【答案】 64 15 m 【详解】 如图： 根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m， ∵BG∥AF∥CD， ∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD， ∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD， 设 BC=xm，CD=ym，则 CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m， ∴ 1.6 1.6 2.6x y   , 1 1.6 1x y   解得：x= 5 3 , y= 64 15 , ∴CD= 64 15 m. ∴灯泡与地面的距离为 64 15 米， 故答案为 64 15 m. 3．（2018·贵州中考模拟）如图是圆桌正上方的灯泡 O发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形） 的示意图．已知桌面的直径为 1.2m，桌面距离地 面 1m，若灯泡 O距离地面 3m，则地面上阴影部分的面 积为_____m2． 【答案】0.81π 【解析】 如图设 C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD， ∴△OBC∽△OAD ∴而 OD=3，CD=1， ∴OC=OD-CD=3-1=2，BC= 1 2 ×1.2=0.6， ∴ 0.6 2 3AD  ∴AD=0.9 ， S=π×0.92=0.81πm2，这样地面上阴影部分的面积为 0.81πm2． 知识点二 三视图 三视图的概念： 视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. 正面、水平面和侧面概念：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的 面叫做水平面，右边的面叫做侧面. 三视图概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做 主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的 视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. 三视图之间的关系 1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1) 所示. 2.大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐， 左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示. 画几何体三视图的基本方法： 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 1.确定主视图的位置，画出主视图； 2.在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 3.在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 由三视图想象几何体的形状 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左 侧面，然后综合起来考虑整体图形. 利用三视图计算几何体面积 利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。 考查题型四 确定几何体的三视图 1．（2019·浙江中考模拟）如图所示的工件的主视图是( ) A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形。 故选 B。 2．（2019·天津中考模拟）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 该空心圆柱体的俯视图是： 故选 D． 3．（2017·陕西中考模拟）如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 解：由三视图可得， 故选 C． 4．（2019·辽宁中考模拟）如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和俯视图 【答案】B 【解析】 主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左侧面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形， 结合图形即可作出判断． 解：根据图形，可得：平移过程中不变的是的左视图，变化的是主视图和俯视图． 故选 B． 5．（2019·福建中考真题）如图是由一个长方体和一个球组成的几何体，它的主视图是( ). A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：几何体的主视图为： ， 故选：C． 考查题型五 由三视图还原几何体的方法 1．（2017·湖北中考模拟）主视图、左视图、俯视图分别为下列三个图形的物体是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：通过给出的主视图，只有 A选项符合条件. 故选 A. 2．（2019·湖南中考模拟）一个几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 详解：A选项的主视图为矩形和三角形的结合，俯视图为圆，故错误；B、主视图和俯视图都是正方形，故 错误；C、主视图为两个矩形，俯视图为三角形，故正确；D、主视图和俯视图都是三角形，故错误；则本 题选 C． 3．（2014·北京中考模拟）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．三棱柱 【答案】A 【解析】 由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．故选 A． 4．（2018·天津市扶轮中学中考模拟）如图，是由几个相同的小正方体组成的一个几何体的三视图，这个几 何体可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察俯视图可知几何体的底面是由 2×2=4个小正方体构成，选项 B不符合，观察主视图可知几何 体有两列，左边一列只有一层，右边一列有三层，选项 D不符合，观察左视图，可知几何体有两列，左边 一列有 3层，右边一列有 2层，选项 C不符合，故只有选项 A符合，故选 A. 考察题型六 由三视图确定小正方体的个数的方法 1．（2016·黑龙江中考模拟）如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小 正方体的个数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】 试题分析：由主视图与左视图可以在俯视图上标注数字为： 主视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，1； 左视图有两列，每列的方块数分别是：1，2； 俯视图有三列，每列的方块数分别是：2，1，2； 因此总个数为 1+2+1+1+1=6 个， 故选 B． 2．（2017·湖北中考模拟）如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则这几个几何体的小立方 块的个数是（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【详解】 由题意可得该几何体共有两行三列，底层应该有 3＋1＝4个小正方体，第二层应该有 1个小正方体，共有 5 个小正方体. 故选 B. 3．（2013·黑龙江中考真题）由一些大小相同的小正方形搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭 成该几何体的小正方形的个数最少是( ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 由题中所给出的左视图知物体共两层，每一层都是两个小正方体；从俯视图可以可以看出最底层的个数 所以图中的小正方体最少 2+4=6。故选 C。 5．（2018·甘肃中考模拟）一个几何体是由若干个棱长为 3cm的小正方体搭成的，从正面、左面、上面看到 的几何体的形状图如图所示： （1）在“从上面看”的图中标出各个位置上小正方体的个数； （2）求该几何体的体积． 【答案】（1）见解析；（2）270cm3 【详解】 （1）如图所示： （2）该几何体的体积为 33×（2+3+2+1+1+1）=27×10=270（cm3）． 考查题型七 根据三视图求几何体的体积或表面积的方法 1．（2019·山东中考模拟）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（ ） A．10π B．15π C．20π D．30π 【答案】B 【解析】 由三视图可知此几何体为圆锥，∴圆锥的底面半径为 3，母线长为 5， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长=圆锥的侧面展开扇形的弧长=2πr=2π×3=6π， ∴圆锥的侧面积= 1 2 lr= 1 2 ×6π×5=15π，故选 B 2．（2019·安徽中考模拟）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（ ） A．12π B．6π C．12 π D． 6 π 【答案】B 【详解】 解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是 2÷2=1，高是 3． 所以该几何体的侧面积为 2π×1×3=6π． 故选：B． 3．（2019·黑龙江中考真题）—个“粮仓”的三视图如图所示（单位：m），则它的体积是（ ） A．21πm3 B．30πm3 C．45πm3 D．63πm3 【答案】C 【详解】 解：观察发现该几何体为圆锥和圆柱的结合体， 其体积为：32π×4+ 1 3 ×32π×3=45πm3， 故选：C． 4．（2014·河北中考模拟）某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视 图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．（单位：毫米） 【答案】 20000 ． 【解析】 由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径 2R为 100毫米，高 H为 150毫米，∵每个密 封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的表面积， ∴S 表面积= 22 2R RH  = 22 50 2 50 150     =20000 (毫米 2)，故制作每个密封罐所需钢板的面积 为20000 毫米 2． 5．（2019·黑龙江中考模拟）一个几何体的三视图如图所示. (1)写出这个几何体的名称. (2)求这个几何体侧面展开图的周长和面积. 【答案】(1) 圆锥；（2）20+12π，60π. 【详解】 (1)由三视图可知，主视图以及左视图都是三角形，俯视图为圆形， ∴该几何体为圆锥 (2)由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为 12，半径为 6，高为 8， 则母线长为 2 26 8 10  . 所以侧面展开图的周长为 2π·6+20=20+12π 面积为 1 2 (2π×6)×10=60π 6．（2019·湖北中考模拟）如图所示的是某个几何体从三种不同方向所看到的图形． （1）说出这个几何体的名称； （2）根据图中有关数据，求这个几何体的表面积． 【答案】（1）三棱柱；（2）192 【详解】 解：（1）根据三视图可得：这个立体图形是三棱柱； （2）表面积为： 1 2 ×3×4×2+15×3+15×4+15×5＝192．