刹车距离与二次函数教学设计

刹车距离与二次函数教学设计

‎2.3《刹车距离与二次函数》教学设计 课时：1课时 一、教学目标：‎ ‎1、经历二次函数和的图象的作法和性质的探索过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。‎ ‎2、能作出二次函数和的图象，比较它们与的异同，理解a与c对二次函数图象的影响。‎ ‎3、能说出二次函数和的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。‎ ‎4、在探究活动中，增强合作交流意识，积累利用图象研究函数性质的经验，体会二次函数是某些实际问题的数学模型，进一步发展观察、抽象概括能力，数形结合解决问题的能力。‎ 二、教学重点、难点：‎ 重点：能作出二次函数和的图象，能说出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。‎ 难点：归纳二次函数和的图象特征和性质，理解a与c对二次函数图象的影响。‎ 三、教学方法 教法：引导发现教学法、直观教学法。‎ 学法：动手操作、自主探索、合作交流。‎ 四、课前准备 多媒体课件、坐标纸若干张 五、教学过程设计 活动一：情境导入，体验模型 ‎（一）课题引入 ‎1、引入：你知道两辆汽车在行驶过程中为什么要保持一定的距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离（称为刹车距离）与什么因素有关？‎ ‎2、明晰：影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v (km/h)汽车的刹车距离s (m)可以由公式确定；雨天行驶时，这一公式为。‎ ‎3、设问：在公式与中，s是v的二次函数吗？它们的图象是怎样的？如何作出它们的图象呢？‎ 8‎ ‎4、出示课题：‎ 与是二次项系数不等于1的二次函数，本节课我们进一步研究这种二次函数的图象和性质——《刹车距离与二次函数》。‎ ‎（二）经历作图 ‎1、（1）提出问题1：在公式与中，v 可以取任意值吗？为什么？你怎样画出它们的图象呢？‎ ‎（2）完成下表：‎ v（km/h）‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎(m)‎ v（km/h）‎ ‎0‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎ (m)‎ ‎2、学生活动：分组计算，交流结果。‎ ‎3、师生明晰：‎ ‎（1）在公式与中，汽车都有其最高时速，因此不能任意取值，在通常情况下，v 在0～120内取值。‎ ‎（2）用描点法作出函数的图象经历三个步骤：列表、描点、连线。‎ ‎（3）以表格中自变量与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描点，连线，得到它们的图象是一段曲线段。‎ ‎（4）幻灯片展示与图象。‎ ‎（三）比较图象 ‎1、提出问题2：和的图象有什么相同和不同？‎ ‎2、学生活动：小组讨论，全班交流。‎ ‎3、师生明晰：‎ ‎（1）相同点：都是一段曲线；都位于s轴的右侧；函数值都随v的值的增大而增大；等 ‎（2）不同点：的图象位于 8‎ 的图象的内侧；前者的函数值的增长速度比后者快等。‎ ‎（四）解决问题 ‎1、提出问题3：如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？‎ ‎2、学生活动：小组讨论，全班交流。‎ ‎3、师生明晰：‎ ‎（1）观察表格中的对应值，当v=60km/h时，晴天s=36m，雨天s=72m，相差36m。或通过代入函数关系式中，计算可得相差36m。‎ ‎（2）观察图象可得相差36m。（电脑动画演示由图象得出的结果）‎ 学生经历探究二次函数与的图象作法及比较它们的图象特点的过程，初步感知a对二次函数图象的影响，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验，初步体会二次函数是某些实际问题的数学模型。‎ 活动二：操作实践，探究新知 ‎（一）做一做：作出二次函数的图象。‎ ‎1、思考：二次函数中，自变量x可以取哪些值？‎ ‎（1）完成下表：‎ ‎ x ‎（2）在所给的坐标系中作出的图象。（坐标系中画有的图象）‎ ‎2、学生活动：填表、作图。‎ ‎3、全班交流：多媒体展示同一直角坐标系中与的图象。‎ ‎（二）探究：二次函数的图象特征及性质。‎ ‎1、提出问题4：二次函数的图象是什么形状？它与二次函数的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？‎ ‎2、学生活动：小组讨论，全班交流。‎ ‎3、师生明晰：‎ ‎（1）相同点：二次函数 8‎ 的图象是抛物线，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，0），它与二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标都相同。都是轴对称图形。都是当x<0时，y随x的值的增大而减小；当x>0时，y随x的值的增大而增大；‎ ‎（2）不同点：二次函数的图象在的图象的内侧，说明的函数值的增长速度较快。‎ ‎（三）议一议：二次函数的图象特征及性质。‎ ‎1、分步提出问题5：‎ ‎（1）二次函数的图象是什么形状？它与二次函数的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？作图看一看。‎ ‎（2）二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，再作图验证你的猜想。‎ ‎（3）二次函数的图象是什么形状？它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？‎ ‎2、学生活动：‎ ‎（1）交流的图象特征。‎ ‎（2）作出的图象，折叠验证其对称性，交流的图象特征。‎ ‎（3）小组讨论二次函数的图象特征。‎ ‎3、师生明晰：‎ ‎（1）多媒体展示，，，的图象。‎ ‎ ‎ ‎（2）几何画板演示：a的变化对二次函数的图象开口方向及开口大小的影响。‎ ‎（3）归结二次函数的图象特征及性质。‎ 8‎ 开口方向 对称轴 顶点坐标 变化趋势 a>0‎ 向上 y轴 ‎(0，0)‎ 在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大。‎ a<0‎ 向下 y轴 ‎(0，0)‎ 在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小。‎ 此活动分三个环节进行，给学生充分探索和交流的时间和空间。‎ 环节（一）让学生经历作图过程，会用描点法作出二次函数的图象。环节（二）学生经历探究的图象特征的过程，折叠验证的图象的轴对称性，在与的图象对比中，通过小组讨论交流，能较完整地描述二次函数的图象特征及性质，初步感知a对二次函数的图象的影响。‎ 环节（三）以层层递进的问题，引导学生发现、抽象概括二次函数的图象特征和性质，并以几何画板课件的动态演示，使学生直观感知a的正负对开口方向的影响，|a|的大小对开口大小的影响，体会a对二次函数的图象的影响，进而由具体函数抽象概括出二次函数的图象和性质。‎ 活动二过程的安排，符合从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。‎ 活动三：验证猜想，发现规律 ‎（一）探究：二次函数的图象特征及性质。‎ ‎1、（1）作出二次函数的图象。‎ ‎（2）提出问题6：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？‎ ‎2、学生活动：‎ ‎（1）在画有的图象的直角坐标系中完成作图。‎ ‎（2）小组讨论交流二次函数的图象特征及性质。‎ ‎3、师生明晰：‎ 8‎ 二次函数的图象的开口向上，关于y轴对称，顶点坐标（0，c）。的图象向上平移1个单位可与的图象重合。‎ ‎（二）议一议：探究二次函数与二次函数的图象的关系。‎ ‎1、分步提出问题7：‎ ‎（1）二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？‎ ‎（2）二次函数的图象经过怎样的平移可得到的图象呢？‎ ‎2、学生讨论，猜想（2）（3）结论。‎ ‎3、全班交流。‎ ‎（1）展示，，的图象。‎ ‎（2）几何画板动态演示三个图象平移重叠的过程。‎ ‎（3）归纳二次函数的图象经过怎样的平移可得到的图象的规律。‎ ‎4、师生明晰：‎ ‎（1）二次函数的图象与二次函数开口方向、对称轴相同，顶点坐标不同。二次函数的图象的顶点坐标是（0，c）。‎ ‎（2）二次函数的图象经过上下平移可得到的图象。‎ 当c>0时，二次函数的图象向上平移c个单位，得到的图象。当c<0时，二次函数的图象向下平移|c|个单位，得到的图象。‎ 活动三分两个环节给出，采用动手操作、小组合作交流，动画操作验证猜想的方式进行。学生作出的图象，说出其图象特征，同桌两人合作，通过平移发现与的图象能够重合的结论。在经历了具体函数的作图及关系比较的基础上，通过几何画板的动画演示，验证二次函数的图象经过上下平移可得到的图象事实。在此过程中，不仅要让学生观察图象，比较函数图象的 8‎ 相同点和不同点，而且要引导学生从具体函数入手，对比分析表达式之间的关系，图象之间的关系，从中发现上下平移的规律，体会c对二次函数图象的影响。‎ 活动三使学生亲历“做数学”的过程，在验证交流中自主探究和直观感知，逐步从感性认识上升到理性认识，最终实现从表达式上看出平移的方向和距离，理解a与c对二次函数图象的影响这一目标。‎ 活动四：练习反馈，总结升华 ‎（一）练习：‎ ‎1、填空：二次函数的图象形状是 ，开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。‎ ‎2、二次函数，， 的图象间有什么关系？‎ ‎（二）填表：‎ 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0‎ a<0‎ a>0‎ a<0‎ 此活动以练习巩固新知，以填表方式总结一般规律，并利用此表格小结本节课。目的是帮助学生整理探究结果，从感性认识上升到理性思考。‎ 课堂小结：‎ ‎1、提出问题：‎ ‎（1）本节课在知识方面你有哪些收获？‎ ‎（2）这节课你积累了哪些数学活动经验？‎ ‎2、学生交流。‎ ‎3、师生明晰：‎ ‎（1）二次函数与的图象特征。‎ 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0‎ 向上 y轴 ‎（0，0）‎ a<0‎ 向下 y轴 ‎（0，0）‎ a>0‎ 向上 y轴 ‎（0，c）‎ 8‎ a<0‎ 向下 y轴 ‎（0，c）‎ 当c>0时，向上平移c个单位 当c<0时，向下平移|c|个单位 ‎（2）二次函数的图象与的图象的关系。‎ ‎ ‎ 通过小结，培养学生整理知识的能力，明确知识的形成过程，构建认知结构。在学生充分反思交流的基础上，我从知识内容、探究图象之间的关系的方法、函数关系式与图象之间的关系三个方面给予提升，使学生能感知、体会到二次函数，图象之间的内在联系。‎ 布置作业 A类： P45课本习题2·3 第2题：‎ 二次函数的图象与的图象有什么关系？二次函数的图象与的图象呢？‎ B类：复习题P73第3题：‎ 正方形的边长为x，面积为S，周长为C.‎ ‎（1）分别写出S，C与x 的关系式；‎ ‎（2）在同一直角坐标系中作出（1）中两个函数图象，比较它们的变化趋势；‎ ‎（3）你所作的函数的图象与函数的图象有何不同？为什么？‎ 分层次设计作业是满足不同层次学生的需求，体现不同的人在数学上得到不同的发展的理念。‎ 8‎