- 2021-11-10 发布 |
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文档介绍
刹车距离与二次函数教学设计
2.3《刹车距离与二次函数》教学设计 课时:1课时 一、教学目标: 1、经历二次函数和的图象的作法和性质的探索过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。 2、能作出二次函数和的图象,比较它们与的异同,理解a与c对二次函数图象的影响。 3、能说出二次函数和的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 4、在探究活动中,增强合作交流意识,积累利用图象研究函数性质的经验,体会二次函数是某些实际问题的数学模型,进一步发展观察、抽象概括能力,数形结合解决问题的能力。 二、教学重点、难点: 重点:能作出二次函数和的图象,能说出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 难点:归纳二次函数和的图象特征和性质,理解a与c对二次函数图象的影响。 三、教学方法 教法:引导发现教学法、直观教学法。 学法:动手操作、自主探索、合作交流。 四、课前准备 多媒体课件、坐标纸若干张 五、教学过程设计 活动一:情境导入,体验模型 (一)课题引入 1、引入:你知道两辆汽车在行驶过程中为什么要保持一定的距离吗?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关? 2、明晰:影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数。有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v (km/h)汽车的刹车距离s (m)可以由公式确定;雨天行驶时,这一公式为。 3、设问:在公式与中,s是v的二次函数吗?它们的图象是怎样的?如何作出它们的图象呢? 8 4、出示课题: 与是二次项系数不等于1的二次函数,本节课我们进一步研究这种二次函数的图象和性质——《刹车距离与二次函数》。 (二)经历作图 1、(1)提出问题1:在公式与中,v 可以取任意值吗?为什么?你怎样画出它们的图象呢? (2)完成下表: v(km/h) 0 20 40 60 80 100 120 (m) v(km/h) 0 20 40 60 80 100 120 (m) 2、学生活动:分组计算,交流结果。 3、师生明晰: (1)在公式与中,汽车都有其最高时速,因此不能任意取值,在通常情况下,v 在0~120内取值。 (2)用描点法作出函数的图象经历三个步骤:列表、描点、连线。 (3)以表格中自变量与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在平面直角坐标系中描点,连线,得到它们的图象是一段曲线段。 (4)幻灯片展示与图象。 (三)比较图象 1、提出问题2:和的图象有什么相同和不同? 2、学生活动:小组讨论,全班交流。 3、师生明晰: (1)相同点:都是一段曲线;都位于s轴的右侧;函数值都随v的值的增大而增大;等 (2)不同点:的图象位于 8 的图象的内侧;前者的函数值的增长速度比后者快等。 (四)解决问题 1、提出问题3:如果行车速度是60km/h,那么在雨天行驶和在晴天行驶相比,刹车距离相差多少米?你是怎么知道的? 2、学生活动:小组讨论,全班交流。 3、师生明晰: (1)观察表格中的对应值,当v=60km/h时,晴天s=36m,雨天s=72m,相差36m。或通过代入函数关系式中,计算可得相差36m。 (2)观察图象可得相差36m。(电脑动画演示由图象得出的结果) 学生经历探究二次函数与的图象作法及比较它们的图象特点的过程,初步感知a对二次函数图象的影响,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验,初步体会二次函数是某些实际问题的数学模型。 活动二:操作实践,探究新知 (一)做一做:作出二次函数的图象。 1、思考:二次函数中,自变量x可以取哪些值? (1)完成下表: x (2)在所给的坐标系中作出的图象。(坐标系中画有的图象) 2、学生活动:填表、作图。 3、全班交流:多媒体展示同一直角坐标系中与的图象。 (二)探究:二次函数的图象特征及性质。 1、提出问题4:二次函数的图象是什么形状?它与二次函数的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 2、学生活动:小组讨论,全班交流。 3、师生明晰: (1)相同点:二次函数 8 的图象是抛物线,开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标(0,0),它与二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标都相同。都是轴对称图形。都是当x<0时,y随x的值的增大而减小;当x>0时,y随x的值的增大而增大; (2)不同点:二次函数的图象在的图象的内侧,说明的函数值的增长速度较快。 (三)议一议:二次函数的图象特征及性质。 1、分步提出问题5: (1)二次函数的图象是什么形状?它与二次函数的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看。 (2)二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,再作图验证你的猜想。 (3)二次函数的图象是什么形状?它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么? 2、学生活动: (1)交流的图象特征。 (2)作出的图象,折叠验证其对称性,交流的图象特征。 (3)小组讨论二次函数的图象特征。 3、师生明晰: (1)多媒体展示,,,的图象。 (2)几何画板演示:a的变化对二次函数的图象开口方向及开口大小的影响。 (3)归结二次函数的图象特征及性质。 8 开口方向 对称轴 顶点坐标 变化趋势 a>0 向上 y轴 (0,0) 在y轴左侧,y随x的增大而减小,在y轴右侧,y随x的增大而增大。 a<0 向下 y轴 (0,0) 在y轴左侧,y随x的增大而增大,在y轴右侧,y随x的增大而减小。 此活动分三个环节进行,给学生充分探索和交流的时间和空间。 环节(一)让学生经历作图过程,会用描点法作出二次函数的图象。环节(二)学生经历探究的图象特征的过程,折叠验证的图象的轴对称性,在与的图象对比中,通过小组讨论交流,能较完整地描述二次函数的图象特征及性质,初步感知a对二次函数的图象的影响。 环节(三)以层层递进的问题,引导学生发现、抽象概括二次函数的图象特征和性质,并以几何画板课件的动态演示,使学生直观感知a的正负对开口方向的影响,|a|的大小对开口大小的影响,体会a对二次函数的图象的影响,进而由具体函数抽象概括出二次函数的图象和性质。 活动二过程的安排,符合从特殊到一般,从具体到抽象的认知过程。 活动三:验证猜想,发现规律 (一)探究:二次函数的图象特征及性质。 1、(1)作出二次函数的图象。 (2)提出问题6:二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? 2、学生活动: (1)在画有的图象的直角坐标系中完成作图。 (2)小组讨论交流二次函数的图象特征及性质。 3、师生明晰: 8 二次函数的图象的开口向上,关于y轴对称,顶点坐标(0,c)。的图象向上平移1个单位可与的图象重合。 (二)议一议:探究二次函数与二次函数的图象的关系。 1、分步提出问题7: (1)二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)二次函数的图象经过怎样的平移可得到的图象呢? 2、学生讨论,猜想(2)(3)结论。 3、全班交流。 (1)展示,,的图象。 (2)几何画板动态演示三个图象平移重叠的过程。 (3)归纳二次函数的图象经过怎样的平移可得到的图象的规律。 4、师生明晰: (1)二次函数的图象与二次函数开口方向、对称轴相同,顶点坐标不同。二次函数的图象的顶点坐标是(0,c)。 (2)二次函数的图象经过上下平移可得到的图象。 当c>0时,二次函数的图象向上平移c个单位,得到的图象。当c<0时,二次函数的图象向下平移|c|个单位,得到的图象。 活动三分两个环节给出,采用动手操作、小组合作交流,动画操作验证猜想的方式进行。学生作出的图象,说出其图象特征,同桌两人合作,通过平移发现与的图象能够重合的结论。在经历了具体函数的作图及关系比较的基础上,通过几何画板的动画演示,验证二次函数的图象经过上下平移可得到的图象事实。在此过程中,不仅要让学生观察图象,比较函数图象的 8 相同点和不同点,而且要引导学生从具体函数入手,对比分析表达式之间的关系,图象之间的关系,从中发现上下平移的规律,体会c对二次函数图象的影响。 活动三使学生亲历“做数学”的过程,在验证交流中自主探究和直观感知,逐步从感性认识上升到理性认识,最终实现从表达式上看出平移的方向和距离,理解a与c对二次函数图象的影响这一目标。 活动四:练习反馈,总结升华 (一)练习: 1、填空:二次函数的图象形状是 ,开口方向是 ,对称轴是 ,顶点坐标是 。 2、二次函数,, 的图象间有什么关系? (二)填表: 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 a>0 a<0 此活动以练习巩固新知,以填表方式总结一般规律,并利用此表格小结本节课。目的是帮助学生整理探究结果,从感性认识上升到理性思考。 课堂小结: 1、提出问题: (1)本节课在知识方面你有哪些收获? (2)这节课你积累了哪些数学活动经验? 2、学生交流。 3、师生明晰: (1)二次函数与的图象特征。 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 向上 y轴 (0,0) a<0 向下 y轴 (0,0) a>0 向上 y轴 (0,c) 8 a<0 向下 y轴 (0,c) 当c>0时,向上平移c个单位 当c<0时,向下平移|c|个单位 (2)二次函数的图象与的图象的关系。 通过小结,培养学生整理知识的能力,明确知识的形成过程,构建认知结构。在学生充分反思交流的基础上,我从知识内容、探究图象之间的关系的方法、函数关系式与图象之间的关系三个方面给予提升,使学生能感知、体会到二次函数,图象之间的内在联系。 布置作业 A类: P45课本习题2·3 第2题: 二次函数的图象与的图象有什么关系?二次函数的图象与的图象呢? B类:复习题P73第3题: 正方形的边长为x,面积为S,周长为C. (1)分别写出S,C与x 的关系式; (2)在同一直角坐标系中作出(1)中两个函数图象,比较它们的变化趋势; (3)你所作的函数的图象与函数的图象有何不同?为什么? 分层次设计作业是满足不同层次学生的需求,体现不同的人在数学上得到不同的发展的理念。 8查看更多