中考数学专题复习练习:二次根式教材分析

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中考数学专题复习练习:二次根式教材分析

‎ ‎ 第二十一章《二次根式》教材分析 ‎ 二次根式 一、知识网络归纳:‎ 最简二次根式 概 念 ‎*同类二次根式 ‎*有理化因式 性 质 二次根式 加减法:合并同类二次根式 乘法:‎ 混合运算 运 算 除法:‎ 应用 二、本章地位与作用 ‎ ‎ 承上启下的作用,与前面学过的实数、整式两章有非常紧密的联系,二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充;二次根式的概念、性质、化简与运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的基础.‎ 三、中考考试要求及本章内容在近年中考中所占分值:‎ 基 本 要 求 略 高 要 求 二次根式及其性质 了解二次根式的概念,会确定二次根式有意义的条件 会利用二次根式的性质进行化简;能根据二次根式的性质对代数式做简单变形,在特定条件下确定字母的值 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加减乘除运算法则 会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(不要求分母有理化)‎ 四、关注几个问题 ‎1.(1)教材中有代数式的概念,但没有同类二次根式的概念和分母有理化的概念; ‎ ‎(2)教材中去掉了对的化简;‎ ‎(3)教材中去掉了复杂的混合运算;‎ ‎(4)教材中没有二次根式比大小的问题.‎ ‎2.教学难度的降低 教材中删去了复杂的混合运算和的化简,从而降低了教学难度,将难点放在正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。‎ 五、教学建议 ‎(一)加强与实际的联系,突出二次根式的数学本质 例1.①在交通事故的处理中,交通警察往往用公式来判断该车是否超速,其中 表示车速(单位km/s),表示刹车后车轮划过的距离(单位:),表示摩擦系数;某日,在一段限速60km/s的公路上,发生了一起两车追尾的事故,警察赶到后,经过测量,得出其中一辆车的,,请问该车超速了吗?(,该车超速)‎ ‎ ‎ ‎ ②某人用一架不等臂天平称一块铁的质量,把铁块放在天平左盘时,称得它的质 量为300克;把铁块放在天平右盘时,称得它的质量为90 克,利用所学知识,求这块铁的实际质量.(约520克)‎ ‎ ③我们人体含有多少脂肪才算适当?据科学研究表明,可以利用身体的体重(,单位:千克)和身高(,单位:米)来计算身体脂耪水平,也称为身体质量指数(BMI).计算公式是BMI=,而且男性的BMI指数范围是24~27,如果一位男生体重是70千克,身体脂肪属于正常,那么请你估计他的身高大约在哪个范围内?(精确到0.01米)()‎ ‎ ④有一块如图所示的大理石板,请你把它切成三块,然后拼成一个 正方形的桌面.‎ ‎ ⑤如图,将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm ‎ 和10cm的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长 度是    cm.‎ ‎ (二)加强知识间的纵向联系,充分理解概念与性质 ‎1.关于二次根式的概念,要注意以下几点:‎ ‎ (1)从形式上看,二次根式是以根号“”表示的代数式,这里的开方运算是最后一步运算.如等不是二次根式,而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算;‎ ‎ (2)当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时,虽然最后运算不是开方而是乘法,但为了方便起见,我们把它看作一个整体仍叫做二次根式,而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数;‎ ‎ (3)二次根式的被开方数,可以是某个确定的非负实数,也可以是某个代数式表示的数,但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数;‎ ‎ (4)象“”等虽然可以进行开方运算,但它们仍属于二次根式。‎ ‎2.二次根式的主要性质:‎ ‎(1); (2); (3);‎ ‎ ‎ ‎(4) 积的算术平方根的性质:;‎ ‎(5) 商的算术平方根的性质:;(6)若,则.‎ ‎3.注意与的逆用.‎ ‎4.注意本章知识与已学过知识的综合.‎ 例2.在实数范围内分解因式:‎ ‎ (1) (2) (3) ‎ o ‎(4) (5) (6)‎ 例3.右图是直线:(、是常数)的图象,‎ 化简:‎ 例4.如果把表示成,,表示成,‎ 求:的值.‎ ‎ 例5.如图,数轴上A、B两点表示的数分别为1和,点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎ (三)注意对教材中的小贴士的处理:‎ ‎1. 最简二次根式的概念中,学生对于“开得尽方的因数或因式”不容易理解, 教材在 p.11及p.13两次出现同一个小贴士解释开得尽方的因数或因式:可以开方后移到根 号外的因数或因式.‎ ‎ 2. 小贴士中有对于运算结果有明确的规定:教材p.13: “在二次根式的运算中,最后结果一般要求分母中不含二次根式”.‎ ‎3. 对于二次根式的运算, 教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系:‎ ‎ ‎ ‎ 教材p.17: “在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立”;‎ ‎ 教材p.20: “在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”. ‎ ‎(四)加强运算能力,培养学生的观察能力、灵活的运算能力及估算能力 ‎1.二次根式的乘除运算:二次根式相乘除,把被开方数相乘除,根指数不变.‎ ‎(1)加大学生的探索空间,由特殊到一般,理解二次根式乘除运算法则的合理性;‎ ‎ (2)根据教学内容逐步明确运算结果的要求,不断归纳运算结果应满足的两个要求:‎ ‎ ①应为最简二次根式(包括两个条件)或有理式;‎ ‎ ②分母中不含根号.‎ ‎(3)注意让学生知道每一步运算的算理;‎ ‎(4)注意公式的推广: ‎ ‎ .‎ ‎2.二次根式的加减运算:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式 ‎ ‎ 进行合并.‎ ‎(1)用实例引入,体现研究二次根式 ‎ (2)可补充同类二次根式的概念.‎ ‎ (3)二次根式的加减运算需要先化为最简二次根式,再类比整式加减运算中的合并同类 ‎ 项,明确二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式.‎ ‎3.二次根式的混合运算 ‎(1) 明确整式的运算顺序、运算法则、公式和运算律在二次根式的运算中同样适用, 教学中要注意本章内容与“整式”中相关内容的联系,使学生的学习形成正迁移.在讲述实例时与整式的相关运算类比:‎ 例6.先将化简,然后自选一个合适的值代入求值.‎ 例7.如果,那么=_____.‎ 例8.(08,宁波)若实数满足,则的值是 .‎ ‎(2)控制运算的难度.‎ ‎ ‎ ‎4. 掌控学生易错的环节,及时分析错因,不断巩固提高.‎ ‎ 例.下列根式化简是否正确?如果不正确,请你把正确的答案写下来:‎ ‎ (1) (2)‎ ‎ (3) (4)‎ ‎※5.分母有理化:将分母中的根号化去,分数值不变,叫做分母有理化.‎ ‎(1)常用的二次根式的有理化因式:‎ ‎ ①与互为有理化因式;‎ ‎ ②与、与互为有理化因式;‎ ‎ ③与、与互为有理化因式.‎ ‎(2) 在进行分母有理化时,应先将二次根式尽量化简;在找有理化因式时,找分母最简有理化因式;计算或化简的结果应化为最简形式。‎ ‎6.教会学生运算的技巧.‎ ‎ 例9. 计算:① ; ② ;‎ ‎ ③ .‎ ‎ 例10. 化简:‎ ‎ 例11.化简 ‎7.精讲多练,为后续学习打基础,二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础。‎ ‎(五)重视二次根式的化简 ‎1.二次根式的化简是本章的主要内容之一,掌握化简的方法需要进行一定的训练;‎ ‎ ‎ ‎2. 二次根式的化简求值问题, 要考虑字母取值的化简, 二次根式的化简, 二次根式的 ‎ ‎ 适当变形, 整体代入等多方面因素, 要先观察算式,选择合适的方法使运算简化.‎ ‎ 例12. ①已知: , , 求x2 - xy + y2 的值 ‎ ②已知: , 求: (1) 的值; (2) 的值 ‎ ③已知: x + y = -3, xy = 2, 求的值 ‎ ④已知 , 求的值. ‎ ‎ ⑤已知++= , 求x、y、z的值.‎ ‎ ⑥已知x= , y= , 求的值. ‎ ‎ ⑦已知 , 求的值. ‎ ‎(六)适当补充二次根式比大小的内容:‎ ‎1. 引导学生总结常用的比较大小的方法 ‎ 两个实数a,b比较大小,一般有“比”与“较”两种方法:‎ ‎①将两个实数相除(比):若,当b>0时,则a>b;当b<0时,则a0时,则ab.‎ ‎②将两个实数相减(较):若a-b>0,则a>b;‎ ‎ 若a-b=0,则a=b;‎ ‎ 若a-b<0,则a0,b>0)‎ ‎(七)思想方法总结 ‎(1)“特殊到一般”与“一般到特殊”; (2)类比思想; (3)转化思想.‎ 七、相关练习:‎ ‎(一).二次根式的概念和性质 ‎1. 下列各式中,哪些是二次根式?哪些不是二次根式?为什么?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?‎ ‎ (1) ; (2); (3) ; (4); (5);‎ ‎ (6); (7)- (8)-; (9).‎ ‎3. 当时,.‎ ‎ ‎ ‎4. 在、、、、、中,最简二次根式有_______.‎ ‎5. 在实数范围内分解因式:=_____________;‎ ‎*6.把根号外的因式移到根号内:=____________.()‎ ‎7.若x、y为实数,y=++3.求yx的值.‎ ‎8.已知++=0.求a、b、c的值.‎ ‎9.根据下列条件,求字母x的取值范围:‎ ‎(1)=1-x; (2)=1.‎ ‎10.已知为三角形的三边,则= ‎ ‎11.比较大小(1); (2)‎ ‎12.( 08,济宁)若,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎※13.已知a<0,化简二次根式的正确结果是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.若最简二次根式与最简二次根式可以合并,则的取值为____.‎ ‎15.已知都为正整数,且,则的值为_______.‎ ‎(二)二次根式的运算 ‎1.计算:(1). (2)+(-1)3-2× ‎ (3). (4).‎ ‎ ‎ ‎ (5). (6). ‎ ‎(7). (8). ‎ ‎(9).-―+(a>0,b>0) (10)‎ ‎※(11). ※(12). ‎ ‎2.计算:(1); (2); ‎ ‎ (3); (4); (5); ‎ ‎ (6) ; (7) ; (8)‎ ‎3.计算:(1) (2) ‎ ‎(3) (4) *(5)‎ ‎4.解方程(组):① ② ‎ ‎5. 若的整数部分是a,小数部分是b,则 ‎ ‎6.在数轴上与表示的点的距离最近的整数点所表示的数是___________‎ ‎7.若一个正方体的长为,宽为,高为,则它的体积为 .‎ ‎ ‎ ‎※8.的关系是 ‎ ‎9.甲、乙两人对题目“化简并求值:,其中”有不同的解答,‎ 甲的解答:,乙的解答:‎ ‎,谁的解答是错了?为什么?‎ ‎※10. 先观察下列分母有理化:,‎ 从计算结果中找出规律,再利用这一规律计算下列式子的值:‎ ‎11. 观察下列各式的特点:‎ ‎,,,……‎ ‎(1)请根据以上规律填空 ‎ ‎(2)请根据以上规律写出第个不等式,并证明你的结论.‎ ‎※(3)计算下列算式:‎ ‎(三)二次根式的化简求值 ‎1.若,求的值.‎ ‎2.若求的值.‎ ‎3.已知,求的值.‎ ‎ ‎ ‎4.已知,,求(1)的近似值; ‎ ‎(2)的近似值; (3) 的近似值.(精确到0.01)‎ ‎5.已知,,求的值.‎ ‎6.已知:,求(1)的值; *(2)的值.‎ ‎7.已知:,求的值.‎ ‎8.已知:,求的值.‎ ‎(四)二次根式的应用 ‎1.设等腰三角形的腰长为a,底边长为b,底边上的高为h.‎ ‎(1)如果a=2,b=,求h;A B C D E F G H J I (2)如果b=,h=2,求a.()‎ ‎2.ABCD是边长为1的正方形,以对角线AC为边作第2个正 方形ACEF, 再以对角线AE为边作第3个正方形, 如此下去…‎ ‎(1)记正方形ABCD的边长a1=1,按上述方法所做的正方形 的边长依次为a2,a3,a4,…an请求出a2,a3,a4的长;‎ ‎(2)根据以上规律写出an表达式.‎ ‎3.先阅读下列的解答过程,然后作答:‎ 有这样一类题目:将化简,若你能找到两个数和,使且,则可变为,即变成开方,从而使得化简。‎ 例如: ==,‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 请仿照上例解下列问题:(1); (2)‎
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