中考数学专题复习练习：提公因式法

中考数学专题复习练习：提公因式法

典型例题一 例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式. A是整式乘积化成多项式；B只是符号变换；D中不是整式. 正确答案是C. ‎ 解答 C 说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.‎ 典型例题二 例02．在下面因式分解中，正确的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 分析 A式左边是3项，而右边展开后是两项，D式左边无公因式2，只能提取出，而不能提取出2，故排除A与D. ‎ 若将B式右端展开，含的项的系数为－1，而将其左边展开，该项的符号为正，可见B也是不正确的. ‎ 解答 C 说明 考查因式分解的定义.‎ 典型例题三 例03．在下面多项式中，能通过因式分解变形为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 分析 ‎ 解答 乘积与题目中的D式相同，故选D. ‎ 说明 此题可以把所给的几个多项式逐个分解因式，从而做出正确选择. 不过这样做可能要消耗比较多的时间，不妨变换角度加以思考. ‎ 也可以选用多项式乘法与因式分解的关系，把按多项式乘法法则展开，看得到的结果与题目所给4个多项式中的哪一个相同.‎ 典型例题四 例04．把分解因式. ‎ 分析 本题是一个五次三项式. 先观察各项是否有公因式：的公因式是（如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正）. 提公因式时，系数和字母应分别考虑. 公因式的系数应取各项系数的最大公约数，8，6，2的最大公约数是2，字母应取各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的. 最低次数是3；最低次数是1，所以该多项式应提取公因式.‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 本题考查提公因式法分解因式，要明确提公因式时应注意的事项.‎ 典型例题五 例05．分解因式：‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 观察到第一项的系数是负数，我们先把“－”号提出来，便于继续分解因式. ‎ 典型例题六 例06．分解因式：. ‎ 分析 观察题目结构特征：第一项系数是负数，且有因式，第二、三项有因式，这就启发我们只要把前面添上负号，就变成，这样三项中均有公因式了. ‎ 解答 ‎ ‎ ‎ 说明 对于与的符号有下面的关系：‎ 感兴趣的同学可以寻找其中的规律.‎ 典型例题七 例07．解方程：. ‎ 分析 方程左边的第一项有因式，第二项有因式. 所以我们应先提取公因式，再化简求解. ‎ 解答 原方程依次变形为：‎ 典型例题八 例08．不解方程组 求：的值. ‎ 分析 把所求的式子利用因式分解法转化为关于与的因式，再代入求解. ‎ 解答 ‎ ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴原式. ‎ 说明 在解题过程中，巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.‎ 判断下列几个变形是否为因式分解的结果？‎ ‎ （1）； （2）；‎ ‎ （3）； （4）‎ 解：（1）由因式分解的概念可知，因式分解是针对多项式进行的，而是单项式，其本身是数字与字母的乘积形式，故不存在的因式分解问题，所以不是因式分解。‎ ‎ （2）因式分解的结果是整式乘积的形式，而等号右边不满足，因此也不是因式分解。‎ ‎ （3）由于3是各式中的公因数，也应当提到括号外边，所以因式分解没有做完。‎ ‎ （4）在多项式中，第三项，可看成系数是1，即的形式，当被提出后，此项还应剩下1，而不是零，故因式分解也不对。‎ 点拨：（1）因式分解是针对多项式而言的，其分解结果必须是整式的乘积形式；‎ ‎ （2）一般地，提取公因式后，括号内的多项式必须满足：①再无公因式可提；②其项数和原多项式的项数相同。‎ 确定下列各题中的公因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ ‎ 分析：首先要判定各单项式的系数是否有公因数，若有，则把公因数作为公因式的系数；然后再观察各式的字母部分是否有相同字母的幂，把各式中相同字母的最低次幂的积，作为公因式的字母部分．‎ ‎ 解：（1）4是各单项式中系数的绝对值4，12和8的最大公约数，是各式中都含有的字母，且其幂的次数最低，所以是它的公因式．‎ ‎ （2）2是各式中系数的绝对值2，4的最大公约数，、分别是各式中以、‎ 为底的幂式的公因式，所以各式的公因式是．‎ ‎ 点拨：（1）各单项式的公因式可以这样组成：①公因式的系数，是各单项式中系数的绝对值的最大公约数；②公因式中的字母的幂，是各单项中都含有的字母的幂中次数最低的．‎ ‎ （2）公因式的系数可以是正的，也可以是负的，可根据需要选择．‎ 例1把下列各式分解因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ ‎ 分析：先找出多项式的公因式，把各项写成公因式与一个单项式的乘积的形式，再把公因式提到括号外面．‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎ 点拨：（1）当多项式的首项系数为负时，则取系数是负数的公因式；‎ ‎ （2）提出系数为负数的公因式时，需把留在括号内的多项式的各项都变号．‎ 例2 把下列各式分解因式：‎ ‎ （1）；‎ ‎ （2）‎ 分析：把，看成是一个整体来考虑．‎ 解：（1）‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ 点拨：（1）“把，看成是一个整体”，体现了换元思想的应用；‎ ‎ （2）公因式可以是单项式，可以是多项式，也可以是单项式与多项式的乘积，注意看清（2）题中公因式是由单项式和多项式的乘积构成，要一次提出，以免漏提。‎ 例3 把下列各式分解因式：‎ ‎ （1）； （2）‎ 分析：式中与，和互为相反数，于是有 ‎，，‎ 由此可将多项式转化成含有公因式的形式。‎ 解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ ‎；‎ 或者 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点拨：（1）对表面上没有公因式的多项式，利用其互为相反数的条件，转化成含有公因式的式子来完成因式分解是一项基本技巧。其一般原则是：①首项一般不化成含负号的形式；②对同时含有奇次项和偶次项的多项式，一般将偶次项的底数化为它的相反数的形式，这样可使多项式各项的符号不变。‎ ‎ （2）提公因式后，当括号中的某项为1时，不要漏掉此项。‎ 计算：‎ ‎ （1）；‎ ‎ （2） ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎ （2）‎ 点拨：用提公因式法可简化一些运算。‎ 选择题 ‎1．选择题 ‎（1）下列变形是因式分解的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）多项式的公因式是（）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（3）下列用提公因式法因式分解正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）将多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（5）下列多项式应提公因式的是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（6）下列等式成立的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（7）将多项式因式分解得（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（8）下列因式分解不正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．选择题 ‎（1）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）下列因式分解结果正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）多项式分解因式等于（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（4）下列变形是因式分解的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（5）将分解因式，应提取公因式（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（6）多项式因式分解后含有的因式是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D） ‎ ‎（7）将多项式分解因式，正确的结果是（）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（8）代数式，，的公因式是（）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎3．选择题 ‎（1）代数式各项的因式是（）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（2）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D） ‎ ‎（3）下列各式分解因式正确的是（）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）C（2）C（3）C（4）A（5）A（6）D（7）B（8）C ‎2．（1）D（2）B（3）C（4）C（5）C（6）A（7）C（8）B ‎3．（1）C（2）C（3）D 填空题 ‎1．填空题 ‎（1）（_________）.‎ ‎（2）多项式的公因式是_________.‎ ‎（3）=__________（）‎ ‎（4）分解因式：__________‎ ‎（5）=_________（）‎ ‎（6）（________）‎ ‎（7）=________（），=________（）‎ ‎（8）=________（）（）‎ ‎（9）计算：=_________‎ ‎（10）（________）‎ ‎2．把下列各多项式的公因式写在后面的括号内 ‎（1）（）‎ ‎（2）（）‎ ‎（3）（）‎ ‎（4）（）‎ ‎（5）（）‎ ‎（6）（）‎ ‎（7）（）‎ ‎（8）（）‎ ‎（9）（）‎ ‎（10）（）‎ ‎3．填空题 ‎（1）（________）‎ ‎（2）（________）‎ ‎（3）代数式，，的公因式为________‎ ‎（4）________（）‎ ‎（5）________（）‎ ‎（6）（________）‎ ‎（7）________（）（）‎ ‎（8）_______‎ ‎（9）________（）‎ ‎（10）因式分解：_______‎ ‎4．填空题 ‎（1）（________）‎ ‎（2）________‎ ‎（3）（________）‎ ‎（4）（________）‎ ‎（5）的公因式为__________‎ ‎（6）_________（）‎ ‎（7）（_________）‎ ‎（8）计算__________‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）－，+（8）－（9）（10）‎ ‎2．（1）（2）（3）（4）或（5）或 （6）（7）（8）（9）（10）‎ ‎3．（1）（2）（3）（4）－（5）（6）（7）+（8）－（9）（10）‎ ‎4．（1）（2）－（3）（4）（5）（6） （7）（8）390‎ 解答题 ‎1．用提公因式法因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎2．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎（9） （10）‎ ‎3．求满足下列等式的的值 ‎（1） （2）‎ ‎4．因式分解 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ ‎5．因式分解 ‎（1）（2）‎ ‎（3）（4）‎ ‎（5）（6）‎ ‎（7）（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎6．计算题 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎7．求值 ‎，其中，，.‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）（3）（4）‎ ‎（5）（6）（7）‎ ‎（8）（9）（10）‎ ‎2．（1）（2）（3）（4） （5）（6）（7）（8）‎ ‎（9）（10）‎ ‎3．（1）0，2（2）2，‎ ‎4．（1）（2）（3）（4）‎ ‎（5）（6）（7）‎ ‎（8）‎ ‎5．（1）（2）（3）‎ ‎（4）（5）（6）‎ ‎（7）（8）（9）‎ ‎（10）‎ ‎6．（1）650（2）2002‎ ‎7．‎ 解答题 ‎1．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解，哪些是整式乘法？‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎2．因式分解 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎（7）‎ ‎（8）‎ ‎（9）‎ ‎（10）‎ ‎3．因式分解 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎（6）‎ ‎4．解答题 已知，为不相等的正数，比较与的大小.‎ ‎5．求值 已知，求多项式的值.‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）（2）（6）（7）（8）是因式分解；（3）（4）（5）是乘法运算 ‎2．（1）（2）（3）‎ ‎（4）（5）（6）（7）‎ ‎（8）（9）（10）‎ ‎3．（1）（2）（3）‎ ‎（4）（5）（6）‎ ‎4．[提示：用]‎ ‎5． ‎ 能力1：‎ 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 答案: C 一、选择题 ‎(1) 多项式提取公因式后的另一个因式是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎(2) 下列各式分解正确切是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎(3) 多项式的公因式是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎(4) 将分解因式等于（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）以上都不对 ‎(5) 下列因式分解的变形中，正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎(6) 多项式分解因式为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎(7) 多项式分解因式为（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ 二、将下列多项式分解因式：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ 答案:‎ 一 选择题: (1)C (2)D (3)C (4)A (5)A (6)C (7)C.‎ 二、（1） （2） ‎ ‎（3） ‎ ‎（4）‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1．简算下题：‎ ‎2．已知：，求：多项式的值。‎ 答案：‎ ‎1．900‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．－6‎ 解：∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎