- 2021-11-06 发布 |
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文档介绍
精选北师大版九年级数学上册教学第二十一章 一元二次方程 小结与复习
小结与复习 第二十一章 一元二次方程 学练优九年级数学上(BS) 教学课件 一、一元二次方程的基本概念 1.定义: 只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的 方程叫做一元二次方程. 2.一般形式: ax2 + bx +c=0 (a,b,c为常数,a≠0) 要点梳理 3.项数和系数: ax2 + bx +c=0 (a,b,c为常数,a≠0) 一次项: ax2 一次项系数:a 二次项: bx 二次项系数:b 常数项:c 4.注意事项: (1)含有一个未知数; (2)未知数的最高次数为2; (3)二次项系数不为0; (4)整式方程. 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0) (x+m)2=n(n ≥ 0) ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) (x + n)=0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤: 审 设 列 解 检 答 (1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系. (2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法. (3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系.列方程这一环节最重 要,决定着能否顺利解决实际问题. (4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性. (5)作答:即写出答语,遵循问什么答什么的原则写清答语. 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程, 则m的取值范围是( ) A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义,即方程中必须保证有二 次项(二次项系数不为0),因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A. A 1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ,一次 项系数是 ,常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定 会使方程左右两边相等,故只要把x=0代入就可以得到以m为 未知数的方程m2-1=0,解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的 解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一 个根为0,则m= . 【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方 程,所以1不符合,应引起注意. -1 针对训练 2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2,则p的值 为 .-1 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1;(a-b)2与 (a+b)2 要准确区分;(2)求三角形的周长,不能盲目地将三边 长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方; (2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根,再根据三角形的三边关 系定理,得到符合题意的边,进而求得三角形周长. 考点三 一元二次方程的解法 例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( ) A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2 ﹣13x+36=0的根,则该三角形的周长为( ) A.13 B. 15 C.18 D.13或18 A A 3.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( ) A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 A 针对训练 4.用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0 (要求写出必要解题步骤). 1 -4 -1.a b c,公式 : ,法 22 - 4 = -4 -4 1 -1 =20 0.b ac 2 -4 204 2 5.2 2 1 b b acx a 方程有两个不相等的实数根 1 22 5, 2 5.x x 4.用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0 (要求写出必要解题步骤). 2 4 1.x x移 得配 法 项: ,方 2 2 24 2 1 2 .x x配方,得 22 5x 2= 5x由 此 可 得 , 1 22 5, 2 5.x x 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等 的实数根,则m的取值范围是( ) A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<04 3m A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式, 这样能帮助我们正确确定a,b,c的值. 解析 根据方程根的情况可知,此方程的根的判别式 >0,即 42-4×1×(-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.4 3m Δ 5.下列所给方程中,没有实数根的是( ) A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 6.(开放题)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个 不相等的实数根,则m的值可能是 (写出一个即 可). D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n, 则m2-mn+n2= .25 解析 根据根与系数的关系可知,m+n=4,mn=-3. m2-mn+n2 =m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 【重要变形】 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x ① 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x ② 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x ③ 针对训练 7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22 的值等于( ) A. 7 B. -2 C. D.3 2 3 2 A 考点六 一元二次方程的应用 例6 某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成 本为每件20元,调查发现当销售价为24元,平均每天 能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少 售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元,则每天的销售量为 多少? (2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于 每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润, 销售价应当为多少元? 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题,其基本本数量关系用表析分如 下:设公司每天的销售价为x元. 单件利润 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 涨价销售 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 其等量关系是:总利润=单件利润×销售量. 解:(1)32-(x-24) ×2=80-2x; (2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根. 128 例7 菜农小王种植的某种蔬菜,计划以每千克5元的价格 对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植,造成该种蔬 菜滞销.小王为了加快销售,减少损失,对价格经过两次 下调后,以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每 次下调的百分率是多少? 解:设平均每次下调的百分率是x,根据题意得 5(1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去), x2=0.2=20%. 答:平均每次下调的百分率是20%. 平均变化率问题 例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召,我 市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空 地,建成一个矩形的花园,要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道,剩余的地方种植花草,如图所示, 要是种植花草的面积为532m2,,那么小道的宽度应为多 少米?(所有小道的进出口的宽度相等,且每段小道为 平行四边形) 解:设小道进出口的宽为xcm (30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34(舍去) 答:小道进出口的宽度应为1米. 解决有关面积问题时,除了对所学图形面积公式熟悉外,还要 会将不规则图形分割或组合成规则图形,并找出各部分图形面积之 间的关系,再列方程求解. (注意:这里的横坚斜小路的的宽度都相等) 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念:①整式方程; ②一元; ③二次. 一般形式:ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方 程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca 因式分解法 根 的 判 别 式 及 根与系数的关系 根的判别式: Δ=b2-4ac 根与系数的关系 1 2 1 2 bx x a cx x a 一元二次方 程 的 应 用 营 销 问 题 、 平 均 变 化 率 问 题 几何问题、数字问题 课堂小结 1.1 菱形的性质与判定(2) 3cm 60° C C B D A O 1.已知菱形的周长是12cm,那么它的边长 是____. 2.如下图:菱形ABCD中∠BAD=60°, 则∠ABD=________. 3、菱形的两条对角线长 分别为6cm和8cm,则菱形 的边长是( ) A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm 1、菱形的定义: 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形有哪些性质: 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直,并且每 条对角线平分一组对角 3、菱形面积公式是: 菱形的面积等于两条对角线 乘积的一半 根据菱形的定义,有一组邻边相 等的平行四边形是菱形.除此之 外,你认为还有什么条件可以 判断一个平行四边形是菱形? 先想一想,再与同伴交流. 如图,平行四边形 ABCD的 两条对角线AC、BD垂直相交 于点O。四边形ABCD是菱形吗? 为什么? A B C D O □ 探究学习 感悟新知 判别方法:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D O □ 符号语言: ∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 木工师傅在做菱形的窗格时,总是保证 四条边框一样长,你能说出其中的道理吗? 与同伴交流。 探究学习 感悟新知 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 我思,我进步 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 证明:∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是菱形. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形. C B D A 菱形的判别方法(判定): 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 探究学习 感悟新知 例1 已知,AD是△ABC的角平分 线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB 交AC于点F. 求证:四边形AEDF是菱形. 证明:∵DE∥AC,DF∥AB, ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵DE∥AC, ∴平行四边形AEDF是菱形. ∴∠2=∠3. ∵∠2=∠1, ∴AE=ED. ∴∠1=∠3. 3 1 2E F D A B C ◇ A B C D F E O 例2 已知:如图,在□ABCD中,点O是对角线 AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC交于 点E、F. 求证:四边形AECF是菱形. 例题解析 应用新知 如何利用折纸、剪切的方法,既 快又准确地剪出一个菱形的纸片? 小颖是这样做的: 将一张长方形的纸对折、再对折,在有折痕的两 边上各取一点连接成线(图中的虚线)沿此线剪下, 打开即可. 做一做 小颖是这样做的: 如图,已知四边形ABCD是平行四边形, DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并 且DE=DF. 求证:(1)△ADE≌ △CDF; (2)四边形ABCD是菱形. 1.我学会了什么? 2.我是怎么学的? 3.我学得怎样? 1.(2016•舟山)已知:如图,在□ABCD中, O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交 AD,BC于E,F两点,连结BE,DF. (1)求证:△DOE≌ △BOF; (2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFED 为菱形?请说明理由. 2.(2016年,南京)如图,在△ABC中,D、E 分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交 BC于点F. (1)求证:四边形DBFE是平行四边形; (2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBEF 是菱形?为什么?查看更多