精选北师大版九年级数学上册教学第二十一章 一元二次方程 小结与复习

精选北师大版九年级数学上册教学第二十一章 一元二次方程 小结与复习

小结与复习 第二十一章 一元二次方程 学练优九年级数学上(BS) 教学课件 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 要点梳理 3.项数和系数： ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0) 一次项： ax2 一次项系数：a 二次项： bx 二次项系数：b 常数项：c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为2； (3)二次项系数不为0； (4)整式方程． 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语． 考点一 一元二次方程的定义 例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程， 则m的取值范围是（ ） A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二 次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A. A 1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次 项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定 会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为 未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的 解题方法我们称之为“有根必代”. 例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一 个根为0,则m= . 【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方 程，所以1不符合，应引起注意. -1 针对训练 2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 .-1 【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（a-b)2与 （a+b)2 要准确区分；（2）求三角形的周长，不能盲目地将三边 长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （2）先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关 系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长． 考点三 一元二次方程的解法 例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ） A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2 ﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　） 　A．13 B． 15 C．18 D．13或18 A A 3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24 A 针对训练 4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）. 1 -4 -1.a b c，公式 ： ，法       22 - 4 = -4 -4 1 -1 =20 0.b ac      2 -4 204 2 5.2 2 1 b b acx a 方程有两个不相等的实数根        1 22 5, 2 5.x x    4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）. 2 4 1.x x移 得配 法 项： ，方   2 2 24 2 1 2 .x x配方,得       22 5x   2= 5x由 此 可 得 ，  1 22 5, 2 5.x x    考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等 的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<04 3m   A 【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式， 这样能帮助我们正确确定a,b,c的值. 解析 根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式 >0,即 42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.4 3m   Δ 5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 6.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个 不相等的实数根，则m的值可能是　　（写出一个即 可）． D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n， 则m2－mn＋n2＝ ．25 解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2 ＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 【重要变形】 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x   ① 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x   ② 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x    ③ 针对训练 7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D.3 2 3 2  A 考点六 一元二次方程的应用 例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成 本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天 能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少 售出4件. (1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为 多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于 每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润， 销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如 下：设公司每天的销售价为x元. 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 其等量关系是：总利润=单件利润×销售量. 解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根. 128 例7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克5元的价格 对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬 菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次 下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每 次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意得 5（1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去）, x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是20%. 平均变化率问题 例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空 地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示， 要是种植花草的面积为532m2,，那么小道的宽度应为多 少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为 平行四边形） 解：设小道进出口的宽为xcm （30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为1米. 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要 会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之 间的关系，再列方程求解. （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方 程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca      因式分解法 根 的 判 别 式 及 根与系数的关系 根的判别式： Δ=b2-4ac 根与系数的关系 1 2 1 2 bx x a cx x a     一元二次方 程 的 应 用 营 销 问 题 、 平 均 变 化 率 问 题 几何问题、数字问题 课堂小结 1.1 菱形的性质与判定(2) 3cm 60° C C B D A O 1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长 是____. 2.如下图：菱形ABCD中∠BAD＝60°， 则∠ABD＝________. 3、菱形的两条对角线长 分别为6cm和8cm，则菱形 的边长是（ ） A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm 1、菱形的定义: 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形有哪些性质： 菱形的四条边都相等 菱形的对角线互相垂直,并且每 条对角线平分一组对角 3、菱形面积公式是： 菱形的面积等于两条对角线 乘积的一半 根据菱形的定义,有一组邻边相 等的平行四边形是菱形.除此之 外，你认为还有什么条件可以 判断一个平行四边形是菱形？ 先想一想，再与同伴交流. 如图，平行四边形 ABCD的 两条对角线AC、BD垂直相交 于点O。四边形ABCD是菱形吗？ 为什么？ A B C D O □ 探究学习 感悟新知 判别方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D O □ 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形 （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证 四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ 与同伴交流。 探究学习 感悟新知 定理:四条边都相等的四边形是菱形. 我思,我进步 已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA. 证明:∵AB=BC=CD=DA, ∴AB=CD,BC=DA. ∴四边形ABCD是平行四边形. 求证:四边形ABCD是菱形. ∵AB=AD, ∴四边形ABCD是菱形. C B D A 菱形的判别方法（判定）: 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四条边都相等的四边形是菱形. 探究学习 感悟新知 例1 已知，AD是△ABC的角平分 线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB 交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形. 证明:∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形. ∵DE∥AC, ∴平行四边形AEDF是菱形. ∴∠2=∠3. ∵∠2=∠1, ∴AE=ED. ∴∠1=∠3. 3 1 2E F D A B C ◇ A B C D F E O 例2 已知:如图,在□ABCD中,点O是对角线 AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC交于 点E、F. 求证：四边形AECF是菱形. 例题解析 应用新知 如何利用折纸、剪切的方法，既 快又准确地剪出一个菱形的纸片？ 小颖是这样做的： 将一张长方形的纸对折、再对折，在有折痕的两 边上各取一点连接成线(图中的虚线)沿此线剪下， 打开即可. 做一做 小颖是这样做的： 如图，已知四边形ABCD是平行四边形， DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并 且DE=DF． 求证：（1）△ADE≌ △CDF； （2）四边形ABCD是菱形． 1.我学会了什么？ 2.我是怎么学的？ 3.我学得怎样？ 1．（2016•舟山）已知：如图，在□ABCD中， O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交 AD，BC于E，F两点，连结BE，DF． （1）求证：△DOE≌ △BOF； （2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFED 为菱形？请说明理由． 2．（2016年，南京）如图，在△ABC中，D、E 分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交 BC于点F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF 是菱形？为什么？