中考数学专题复习练习:三角形的内切圆

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中考数学专题复习练习:三角形的内切圆

例 如图,△ABC的内心为I,外心为O,且∠BIC=115°,求∠BOC的度数.‎ 解:∵I为△ABC的内心,‎ ‎∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB.‎ ‎∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°.‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=130°. ∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=50°.‎ 又O是△ABC的外心,∴∠BOC=2∠A=100°‎ 说明:(1)此题为基本题型;(2)此题可得:∠BIC=90°+∠A;∠BOC=4∠BIC-360°.‎ 例 已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,求直角三角形内切圆的半径的长.‎ 分析:利用分割三角形,通过面积建立含内切圆半径的方程求解.‎ 解:由勾股定理得:‎ 连结OA、OB、OC,设⊙O的半径为r,则:‎ ‎,又.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 答:直角三角形内切圆的半径为1.‎ 说明:(1)此题为基本题目;(2)三角形内切圆性质的应用,通过面积求线段的长度.‎ 例 (陕西省,2001)如图,点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于D,交△ABC的外接圆于点E.‎ ‎ (1)求证:IE=BE;‎ ‎ (2)若IE=4,AE=8,求DE的长.‎ 证明:(1)连结BI,‎ ‎∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=(∠BAC+∠ABC),‎ ‎ ∠IBE=∠IBC+∠EBC=∠ABC+∠EAC=(∠ABC+∠BAC),‎ ‎∴∠BIE=∠IBE ‎∴IE=BE 解:(2)∵I是△ABC的内心,∴∠BAE=∠CAE,‎ 又∵∠DBE=∠CAE,‎ ‎∴∠BAE=∠DBE,又∵∠E为公共角,‎ ‎∴△ABE∽△BDE,∴,∴‎ ‎∴,∴.‎ 说明:(1)本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等;(2)本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合;(3)本题为中档题.‎ 典型例题四 已知:如图,设为,,以为直径作⊙交与,设是的中点,连结、,求证:.‎ ‎ 证明 连结.‎ ‎ 为⊙的直径,在⊙上,‎ ‎ ,,‎ ‎ 又是的中点,,‎ ‎ ,‎ ‎ .‎ ‎ ,是半径的外端点,‎ ‎ 是⊙的切线,‎ ‎ .‎ ‎ 又,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎.‎ 说明:本题证到时,也可说明是⊙的切线,尽而说明.‎ 典型例题五 例 已知:如图,在的外接圆中,D是的中点,AD交BC于点E, 的平分线交AD于点F.(1)若以每两个相似三角形为一组,试问图中有几组相似三角形,并且逐一写出;(2)求证: ‎ 解 (1)有三组相似三角形:与;与;与.‎ ‎(2)∵D是中点,∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∽‎ 说明:本题考查三角形内心的性质,解题关键是熟练运用三角形内心的性质.易错点是找不到证明的解题思路.‎ 典型例题六 例 如图,等腰梯形ABCD中,.⊙与⊙分别为和的内切圆,它们的半径分别为,则的值是( ).‎ A. B. C. D.‎ 解 过D作于E,于F.‎ ‎∵梯形ABCD为等腰梯形,.‎ 同理,(cm).∴∴选A.‎ 说明:本题考查三角形内切圆半径的求法,解题关键作辅助线,求出三角形的边长和高线长.易错点是企图求出的而使思路受阻.‎ 典型例题七 例 (山西省,1998) 如图,已知I为的内心,射线AI交的外接圆于D,交BC边于点E.(1)求证:;(2)设外接圆半径当点A在优弧上运动时,求函数与自变量x间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.‎ 证明 (1)连结BI.∵I是的内心,‎ ‎∴‎ 又 ‎∴即 ‎ 解 (2)在和中,‎ ‎∴∽.∴‎ 又 ‎∴自变量x的取值范围是 说明: 本题考查三角形内心的性质.解题关键是作辅助线并灵活运用三角形内心的性质,易错点是忽视自变量的取值范围或求错自变量的取值范围.‎ 选择题 ‎1、下列图形中,一定有内切圆的四边形是( )‎ ‎(A)梯形 (B)菱形 (C)矩形 (D)平行四边形 ‎2、 菱形ABCD中,周长为40,∠ABC=120°,则内切圆的半径为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎3、如图,⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=( )‎ ‎(A)70° (B)110° (C)120° (D)130°‎ ‎4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为( )‎ ‎(A)1∶∶ (B)1∶2∶ (C)1∶∶2 (D)1∶2∶3‎ ‎5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是( )‎ ‎(A)矩形 (B)菱形 (C)正方形 (D)平行四边形 参考答案:BDBDC 填空题 ‎1. 等边三角形的边长为4,则外接圆的半径为________,内切圆半径为______,内切圆半径:高:外接圆半径=__________.‎ ‎2. 中,内切圆与,,相切于,,,若,则 ‎,,.‎ ‎3. 的,,是的内心,则.‎ ‎4. 内切圆的半径为的等边三角形的面积为_________‎ ‎5. 在中,若,,,则内切圆的直径为________.‎ ‎6.若的边上的高为,长为,直线交、分别为、,以为直径的半圆与切于,若此半圆的面积是,则.‎ ‎7. 在中,为内心,若,则.‎ ‎8. 已知:等边三角形的边长为4,则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积是________.‎ 答案:‎ ‎1. ,, 2. ,, 3. 4. 5. 6. 10 7.‎ ‎ 8. .‎ 解答题 ‎1. 画一个边长为3cm的等边三角形,在画出它的内切圆.‎ ‎2.(山西省,1998)如图,已知点I为△ABC的内心,射线AI交△ABC的外接圆于点D,交BC边于点E.‎ ‎(1)求证:ID=BD;‎ ‎(2)设△ABC外接圆半径R=3,ID=2,AD=x,DE=y,当点A在优弧上运动时,求函数y与自变量x间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.‎ ‎3.已知点为的内心,如果,求的度数。‎ ‎4.已知:⊙的半径为,求它的外切等边三角形的周长和面积。‎ ‎5.如图,的内切圆⊙切斜边于点,切于点,的延长线交于点,求证:‎ ‎6.如图,在中,,是内心,的延长线交的外接圆于,求证:(1),(2)‎ 答案:‎ 1. 略 2. 提示:(1)与典型例题2一样;(2)由,∴,∵BD
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