人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）8锐角三角函数性质

人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）8锐角三角函数性质

锐角三角函数内容基本要求略高要求较高要求锐角三角函数了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题模块一　三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在中，a、b、c分别为、、的对边．（1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，即．（2）余弦：中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，即．（3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，即．注意：①正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义．②、、分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为与、与、与的乘积．③18 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．一、特殊角三角函数三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！三、锐角三角函数的取值范围在中，，，又，，，所以四、三角函数关系1．同角三角函数关系：，2．互余角三角函数关系：(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；(2)任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；(3)任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：．3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则(2)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则18 (3)A、B是锐角，若AB，则；若AB，则【例1】如图，在中，=，于，则==，==，=，=，==，==．【难度】1星【解析】利用三角函数定义【答案】【巩固】在中，，=，=9，则=．【难度】2星【解析】要求学生能够正确画出图形，找出相对应的边．因为，，所以．【答案】6【例2】如图，在中，，，，则下列结论正确的是（）．18 A．B．C．D．【难度】2星【解析】考查勾股定理和锐角三角函数的定义，由勾股定理得：．根据三角函数定义：，，，．【答案】D【巩固】（2011江苏连云港）如图，的顶点都在方格纸的格点上，则=______．【难度】2星【解析】正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的．过点作交的延长线于。此钝角三角形在网格图中，在中，的对边是２个单位长度，邻边是４个单位长度，根据勾股可得斜边是个单位长度，再根据正弦定义＝．【答案】18 【例1】（2011山东烟台）如果中，==，则下列最确切的结论是（）A．是直角三角形B．是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．是锐角三角形【难度】2星【解析】由特殊三角函数值易知：【答案】C【巩固】已知为锐角，且，则的度数是（）A．B．C．D．【难度】1星【解析】解法一：设．因为，所以，即=解法二：因为=，所以=【答案】A【巩固】在中，、都是锐角，且=，=，则是（）A．直角三角形　　B．钝角三角形　　C．锐角三角形　　D．不能确定【难度】2星【解析】由特殊三角函数值知＝，＝，根据三角形的内角和是得该三角形是钝角三角形。【答案】B18 【例1】中，分别是的对边。已知，，，则的值等于．【难度】3星【解析】注意到，所以为直角，所以，，即＝＝１【答案】１【例2】已知=，则=．【难度】2星【解析】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值【答案】【巩固】在中，若+=，则等于（）A．B．C．D．【难度】2星【解析】解法一：代特殊值法知：当时，满足+=，所以解法二：因为，所以，即，所以【答案】B【例3】若的补角是的3倍，则=．【难度】2星18 【解析】由题意得：，所以【答案】【巩固】的补角是120°，则______，______．【难度】2星【解析】略【答案】，【例1】为锐角，且满足，求的值．【难度】3星【解析】因为，，所以＝，＝＝．【答案】【巩固】若为直角三角形中的一个锐角，，则______．．【难度】3星【解析】因为，＝３，所以，即＝．因为，所以＝【答案】18 模块二　比较大小【例1】比较下列各式的大小．（1）和；（2）当是锐角时，和【难度】3星【解析】（1）解法一：因为，且，所以解法二：因为，且，所以（2）在中，a、b、c分别为、、的对边，所以，又因为，所以【答案】(1)(2)【巩固】(2011广东茂名)如图，已知：，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．【难度】2星【解析】解法一：利用锐角三角函数的性质解法二：代入特殊值法【答案】B18 模块三化简求值【例1】求下列各式的值：（1）；（2）【难度】2星【解析】(1)(2)【答案】（1）（2）【巩固】计算（1）；（2）【难度】2星【解析】（1）==（2）=【答案】（1）（2）018 【例1】已知，且为锐角，求的值．【难度】4星【解析】因为，且为锐角，不妨设，，所以（）由三角函数的定义知，，，，故原式．【答案】模块四三角函数与代数综合【例2】已知：，则之间的关系是（）A．B．C．D．【难度】4星【解析】因为，所以两式平方相加可得【答案】C模块五三角函数与几何综合【例3】（2011江苏南京）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于_________．18 【难度】2星【解析】根据圆的性质可知：是等边三角形，即，所以．【答案】【例1】如图，已知是半圆的直径，弦、相交于点，若=，那么等于（）A．B．C．D．【难度】3星【解析】根据圆的性质可知：【答案】B【例2】（2011安徽芜湖中考）如图，直径为10的经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为()．18 A．B．C．D．【难度】3星【解析】由题意很容易推断出：===5，所以．由圆的性质可知：，即【答案】C【例1】如图，在中，是边上的高，（1）求证：（2）若，，求的长．【难度】3星【解析】（1）在中，在，．因为，所以，即．（2）设，因为，，所以．由勾股定理得所以．18 【答案】8【巩固】如图，一块三角形土地，已知两边长与夹角，求这块土地的面积．（精确到1，参考数据：）【难度】3星【解析】如图，作边上的高，过作于，在中，所以．所以=（）．【答案】184【例1】如图，在中，，，沿的斜边上的中线将折叠，使点落在点处，若恰好与垂直，则的值为_________．18 【难度】3星【解析】因为是直角三角形斜边的中点，所以，．因为，所以．因为垂直平分线段，所以，又因为，所以【答案】课堂检测1．直角三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（）A．B．C．D．【难度】2星18 【解析】由于直角三角形在网格图中，则的邻边4个单位长度，对边是3个单位长度，根据勾股定理可得斜边是5个单位长度，再根据余弦定义可得，即选D【答案】D1．在中，若，则的度数是（）A．B．C．D．【难度】3星【解析】由题意得：，所以，所以【答案】C2．已知为锐角，且，则的取值范围是()A．B．C．D．【难度】3星【解析】锐角三角函数的性质、代入特殊值法【答案】C总结复习1．通过本堂课你学会了．18 2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：①．②．③．课后作业1．（2011安徽芜湖）计算：【难度】2星【解析】原式==【答案】2．（2011甘肃兰州）已知是锐角，且．计算的值．【难度】3星【解析】由得，原式【答案】33．已知，那么锐角的取值范围是（　　）A．　B．　C．　D．【难度】3星【解析】代入特殊值法18 【答案】A1．（2011贵州安顺）如图，点在上，是上的一条弦，则=．【难度】3星【解析】根据圆的性质，所以又已知，即又，所以【答案】2．如图所示，在中，，，点在上，，，求、的长．【难度】3星18 【解析】在中，，，所以．在中，，所以设，则，，所以，所以，．【答案】，18