初中数学中考总复习课件PPT：16直角三角形

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第 16 课时　直角三角形 考点梳理 自主测试 考点一 　 直角三角形的性质 1 . 直角三角形的两锐角 互余 . 2 . 直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的 一半 . 3 . 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 . 4 . 勾股定理 :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 考点二 　 直角三角形的判定 1 . 有一个角等于 90° 的三角形是直角三角形 . 2 . 有两角 互余 的三角形是直角三角形 . 3 . 如果三角形一边上的中线等于这边的 一半 ,则该三角形是直角三角形 . 4 . 勾股定理的逆定理 :如果三角形一条边的平方等于另外两条边的 平方和 ,那么这个三角形是直角三角形 . 考 点 梳理 自主测试 1 . 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长 , 不能构成直角三角形的是 ( 　　 ) A.3,4,5 B.6,8,10 D.5,12,13 答案 : C 2 . 将一副直角三角板如图摆放 , 点 C 在 EF 上 , AC 经过点 D. 已知 ∠ A= ∠ EDF= 90°, AB=AC , ∠ E= 30°, ∠ BCE= 40°, 则 ∠ CDF 的度数为 ( 　　 ) A.30° B.40° C.25° D.35° 答案 : C 考 点 梳理 自主测试 3 . 如图,在 △ ABC 中, AB=AC= 8, AD 是底边上的高, E 为 AC 中点,则 DE= 　　　　　 .    答案: 4 4 . 已知直角三角形两边的长分别是3和4,则第三边的长为 　　　　 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 　 勾股定理 【例 1 】 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC= 6 cm, BC= 8 cm,现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,求 CD 的长 . 解: 设 CD 长为 x cm, 由折叠得 △ ACD ≌ △ AED. ∴ AE=AC= 6 cm, ∠ AED= ∠ C= 90°, DE=CD=x cm . 在 Rt △ ABC 中 , AC= 6 cm, BC= 8 cm, ∴ EB=AB-AE= 10 - 6 = 4(cm), BD=BC-CD= (8 -x )cm . 在 Rt △ DEB 中 , 由勾股定理得 DE 2 +BE 2 =DB 2 . ∴ x 2 + 4 2 = (8 -x ) 2 , 解得 : x= 3 . ∴ CD 的长为 3 cm . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 变式训练 有一块直角三角形的绿地 , 量得两直角边的长分别为 6 m,8 m, 现在要将绿地扩充成等腰三角形 , 且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形 , 求扩充后等腰三角形绿地的周长 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 2 　 勾股定理的逆定理 【例 2 】 如图,在四边形 ABCD 中, ∠ A= 90°, AB= 3, AD= 4, CD= 13 , CB= 12 ,求四边形 ABCD 的面积 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 3 　 勾股定理的实际应用 【例 3 】 如图,铁路上 A , B 两站(视为直线上两点)相距14 km, C , D 为两村庄(可看为两个点), DA ⊥ AB 于点 A , CB ⊥ AB 于点 B ,已知 DA= 8 km, CB= 6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站 E ,使 C , D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在距 A 站多少千米处 ? 分析: 因为 DA ⊥ AB 于点 A , CB ⊥ AB 于点 B , 在 AB 上找一点可构成两个直角三角形 , 我们可想到通过勾股定理列方程进行求解. 解: 设 E 站应建在距 A 站 x km 处 . 根据勾股定理有 8 2 +x 2 = 6 2 + (14 -x ) 2 , 解得: x= 6 . 所以 E 站应建在距 A 站 6 km 处 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 4 　 直角三角形性质的综合应用 【例 4 】 已知,在 △ ABC 中, AB=AC ,过点 A 的直线 α 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 θ ,直线 α 交 BC 边于点 P (点 P 不与点 B 、点 C 重合), △ BMN 的边 MN 始终在直线 α 上(点 M 在点 N 的上方),且 BM=BN ,连接 CN. (1)当 ∠ BAC= ∠ MBN= 90°时, ① 如图a,当 θ = 45°时, ∠ ANC 的度数为 　　　　　 ;   ② 如图b,当 θ ≠45°时, ① 中的结论是否发生变化?说明理由 . (2)如图c,当 ∠ BAC= ∠ MBN ≠90°时,请直接写出 ∠ ANC 与 ∠ BAC 之间的数量关系,不必证明 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 分析 : 在 (1) 中 , ① 由 AB=AC , ∠ BAC= ∠ MBN= 90°, θ= 45°, 可得 AN 垂直平分 BC , 同理可得 BC 垂直平分 AN , 因此 AC=CN , 所以有 ∠ ANC=θ= 45°; ② 求角的度数 , 一般要想办法把它放到直角三角形中进行 , 因此可分别过 B , C 两点作 MN 的垂线 , 用三角形全等作为桥梁找到解决问题所需要的边角关系 ;(2) 根据 ② 的思路得出结论 . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 解 : (1) ① 45°; ② 不变 . 理由 : 过 B , C 分别作 BD ⊥ AP 于点 D , CE ⊥ AP 于点 E. ∵ ∠ BAC= 90°, ∴ ∠ BAD+ ∠ EAC= 90° . ∵ BD ⊥ AE , ∴ ∠ ADB= 90°, ∴ ∠ ABD+ ∠ BAD= 90°, ∴ ∠ ABD= ∠ EAC. 又 AB=AC , ∠ ADB= ∠ CEA= 90°, ∴ △ ABD ≌ △ CAE , ∴ AD=CE , BD=AE. ∵ BD 是等腰直角三角形 NBM 斜边上的高 , ∴ BD=DN , ∠ BND= 45°, ∴ DN=BD=AE , ∴ DN-DE=AE-DE , 即 NE=AD=EC. ∵ ∠ NEC= 90°, ∴ ∠ ANC= 45° . 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4