北师大版八上第1章勾股定理测试卷（共3套含解析）

北师大版八上第1章勾股定理测试卷（共3套含解析）

第一章 勾股定理章末测试卷1‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)‎ ‎1．（2018•南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）‎ A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12‎ ‎2．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，则△ABC的面积为(　　)．‎ A．84 B．24‎ C．24或84 D．84或24‎ ‎3．如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB∶BC＝5∶3，则AC的长为(　　)．‎ A．6 B．8‎ C．10 D．12‎ ‎4．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（　　）‎ A．9 B．6 C．4 D．3‎ ‎5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，则AC的长为(　　)．‎ A．11 B．10 C．9 D．8‎ ‎ ‎ ‎6．若三角形三边长为a，b，c，且满足等式(a＋b)2－c2＝2ab，则此三角形是(　　)．‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 ‎7．一直角三角形两直角边分别为5,12，则这个直角三角形斜边上的高为(　　)．‎ A．6 B．8.5 C． D．‎ ‎8．底边上的高为3，且底边长为8的等腰三角形腰长为(　　)．‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎9.（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3‎ ‎，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4.分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于(　　)．‎ A．2π B．3π C．4π D．8π 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)‎ ‎11．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则其底边长为________．‎ ‎12．观察图形后填空．‎ 图(1)中正方形A的面积为__________；‎ 图(2)中斜边x＝________.‎ ‎ ‎ ‎13．四根小木棒的长分别为5 cm,8 cm,12 cm，13 cm，任选三根组成三角形，其中有________个直角三角形．‎ ‎14．东东想把一根70 cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为30 cm,40 cm,50 cm的木箱中，他能放进去吗？答：______.(填“能”或“不能”)‎ 三、解答题(本大题共6小题，共54分)‎ ‎15．(8分)如图，已知等边△ABC的边长为6 cm.‎ ‎(1)求AD的长度；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ ‎16．(8分)如图，在一块由边长为20 cm的方砖铺设的广场上，一只飞来的喜鹊落在A点处，该喜鹊吃完小朋友洒在B，C处的鸟食，最少需要走多远？‎ ‎17．(9分)如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4 m的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m，点E在CD上，CE＝2 m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度可以忽略不计，结果取整数)‎ ‎18．(9分)图(1)所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1.‎ ‎(1)求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条．‎ ‎(2)试比较立体图中∠ABC与平面展开图中∠A′B′C′的大小关系．‎ ‎19．(10分)如图，一架云梯长25 m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24 m.‎ ‎(1)这个梯子底端离墙有多少米？‎ ‎(2)如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4 m吗？‎ ‎20．(10分)有一块直角三角形状的绿地，量得两直角边长分别为6 m,8 m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．‎ 参考答案 ‎1答案：A　点拨：A、∵32+42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；‎ B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；‎ C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；‎ D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎2答案：C　点拨：△ABC为锐角三角形时，S△ABC＝×14×12＝84；△ABC为钝角三角形时，S△ABC＝×4×12＝24.‎ ‎3答案：B　点拨：设AB＝5x，则BC＝3x，由勾股定理可得AC＝4x，所以5x＋3x＋4x＝24，解得x＝2，所以AC＝8.‎ ‎4答案：D　点拨：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，‎ ‎∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，‎ ‎∴4×ab+（a﹣b）2＝25，‎ ‎∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，‎ ‎∴a﹣b＝3，‎ 故选：D．‎ ‎5答案：B　点拨：因为在Rt△ABD中，AD＝＝8，‎ 所以在Rt△ACD中，AC＝＝10.‎ ‎6答案：D　点拨：由(a＋b)2－c2＝2ab，得a2＋2ab＋b2－c2＝2ab，即a2＋b2＝c2.因此△ABC为直角三角形．‎ ‎7答案：D　点拨：由勾股定理得斜边长为13，‎ 所以5×12＝13h，得h＝.‎ ‎8答案：C　点拨：由等腰三角形的“三线合一”及勾股定理可得腰长为5.‎ ‎9答案：C　点拨：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝1.5π，所以AC＝，故选：C．‎ ‎10答案：A　点拨：因为S1＝，S2＝BC2，‎ 所以S1＋S2＝(AC2＋BC2)＝×16＝2π.‎ ‎11答案：6或或　点拨：当底边上的高为4时，底边的长为6；当腰上的高为4，且三角形为锐角三角形时，底边长为；当腰上的高为4，且三角形为钝角三角形时，底边的长为.‎ ‎12答案：36　13　点拨：由勾股定理易得．‎ ‎13答案：1　点拨：边长为5 cm,12 cm,13 cm时，可组成直角三角形．‎ ‎14答案：能　点拨：因为木箱的对角线长为＝ cm＞70 cm，所以能放进木棒去．‎ ‎15解：(1)∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴BD＝3(cm)．‎ 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝(cm)．‎ ‎(2)S△ABC＝×BC×AD ‎＝×6×‎ ‎＝(cm2)．‎ ‎16解：AB是4×3方格的对角线．‎ 由勾股定理得：‎ AB＝20×＝20×5＝100(cm)．‎ BC是5×12方格的对角线，‎ 由勾股定理得 BC＝20×＝20×13＝260(cm)．‎ 因此最短距离为100＋260＝360(cm)．‎ ‎17解：把半圆柱体展开后，可得下图．‎ 由题意可知AD＝πr＝4π(cm)，‎ DE＝20－2＝18(cm)．‎ 在Rt△ADE中，AE＝‎ ‎＝≈22(m)．‎ ‎18解：(1)由勾股定理可得最长线段的长为.‎ 能画4条，如图所示．‎ ‎(2)∠ABC与∠A′B′C′相等．‎ ‎∵在立体图中，易得∠ABC＝90°，‎ 又在平面展开图中，对于△A′B′D和△B′C′E有 ‎∴△A′B′D≌△B′C′E(SAS)．‎ ‎∴∠DA′B′＝∠EB′C′.‎ ‎∵∠DA′B′＋∠A′B′E＝90°，‎ ‎∴∠A′B′D＋∠EB′C′＝90°，‎ 即∠A′B′C′＝90°.∴∠ABC＝∠A′B′C′.‎ ‎19解：(1)由题意，设云梯为AB，墙根为C，则AB＝25 m，AC＝24 m，‎ 于是BC＝＝7 m.‎ 故梯子底端离墙有7 m.‎ ‎(2)设下滑后云梯为A′B′，则A′C＝24－4＝20(m)．‎ 在Rt△A′CB′中，‎ B′C＝＝＝15(m)．‎ ‎∵15－7＝8 m，‎ ‎∴梯子不是向后滑动4 m，而是向后滑动了8 m.‎ ‎20解：依题意，设在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，‎ 由勾股定理得AB＝＝10(m)．‎ ‎(1)如图①，当AD＝AB＝10 m时，CD＝＝6(m)．‎ 图①‎ ‎∴C△ABD＝10＋10＋12＝32(m)．‎ ‎(2)当AB＝BD＝10 m时，CD＝10－6＝4(m)，‎ 图②‎ ‎∴AD＝＝(m)．‎ ‎∴C△ABD＝＋10＋10＝(20＋)(m)．‎ ‎(3)当AD＝BD时，设AD＝BD＝x m，‎ CD＝(6－x) m，‎ 在Rt△ACD中，CD2＋AC2＝AD2，‎ 即(6－x)2＋82＝x2，‎ 解得x＝.‎ 此时C△ABD＝×2＋10＝(m)．‎ 第一章 勾股定理章末测试卷2‎ 一、选择题（每题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）‎ A．12 B．13 C．144 D．194‎ ‎2．（3分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（　　）组．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）‎ A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形 B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°‎ C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形 ‎4．（3分）下列数据中是勾股数的有（　　）组 ‎（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎5．（3分）已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎6．（3分）若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为（　　）‎ A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm ‎7．（3分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）‎ A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 ‎8．（3分）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　）‎ A．6 B．8 C． D．‎ ‎9．（3分）下列三角形一定不是直角三角形的是（　　）‎ A．三角形的三边长分别为5，12，13‎ B．三角形的三个内角比为1：2：3‎ C．三角形的三边长之比为1：2：3‎ D．三角形的两内角互余 ‎10．（3分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（　　）‎ A．600米 B．800米 C．1000米 D．1300米 ‎11．（3分）下面说法正确的是（　　）‎ A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2‎ B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5‎ C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10‎ D．直角三角形中，斜边最长 ‎12．（3分）在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（　　）‎ A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对 二、填空题（每空3分，共12分）‎ ‎13．（3分）一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是　　m．‎ ‎14．（3分）如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=　　．‎ ‎15．（3分）一根电线杆在一次台风中于地面3‎ 米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之前高　　米．‎ ‎16．（3分）如果直角三角形的三条边分别为4、5、a，那么a2的值等于　　．‎ 三、解答题（共52分）‎ ‎17．（8分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？‎ ‎18．（8分）求下列图形中阴影部分的面积．‎ ‎（1）如图1，AB=8，AC=6；‎ ‎（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．‎ ‎19．（8分）某校校庆，在校门AB的上方A处到教学楼C的楼顶E处拉彩带，已知AB高5m，EC高29m，校门口到大楼之间的距离BC为10m，求彩带AE的长是多少？‎ ‎　‎ ‎20．（10分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？‎ ‎21．（10分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．‎ ‎22．（8分）如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？‎ 参考答案 一、选择题（每题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）‎ A．12 B．13 C．144 D．194‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【专题】换元法．‎ ‎【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方，用勾股定理即可解答．‎ ‎【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25，‎ 根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面积是144．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（　　）组．‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】勾股定理的逆定理． ‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．‎ ‎【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）‎ A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形 B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°‎ C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形 ‎【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．‎ ‎【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；‎ B、解得应为∠B=90度，故错误；‎ C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；‎ D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的判定．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）下列数据中是勾股数的有（　　）组 ‎（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】勾股数． ‎ ‎【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股数，因为32+52≠72；‎ ‎（2）5，15，17 不是勾股数，因为52+152≠172；‎ ‎（3）1.5，2，2.5不是勾股数，因为1.5，2，2.5不是正整数；‎ ‎（4）7，24，25 是勾股数，因为72+242=252，且7、24、25是正整数；‎ ‎（5）10，24，26是勾股数，因为102+242=262，且10，24，26是正整数．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了勾股数的概念：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…‎ ‎　‎ ‎5．（3分）已知直角三角形的两直角边之比是3：4，周长是36，则斜边是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k，列出方程求出k，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为3k，4k，则斜边为5k．‎ 由题意3k+4k+5k=36，‎ 解得k=3，‎ 所以斜边为5k=15．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查勾股定理、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活于勾股定理解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若等腰三角形的腰长为10cm，底边长为16cm，那么底边上的高为（　　）‎ A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm ‎【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． ‎ ‎【分析】可以先作出BC边上的高AD，根据等腰三角爱哦形的性质可得BD 的长，在Rt△ADB中，利用勾股定理就可以求出高AD．‎ ‎【解答】解：作AD⊥BC于D，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴BD=BC=8cm，‎ ‎∴AD==6cm，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，关键是掌握勾股定理和等腰三角形三线合一的性质．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（　　）‎ A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 ‎【考点】勾股定理的逆定理． ‎ ‎【分析】对等式进行整理，再判断其形状．‎ ‎【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（　　）‎ A．6 B．8 C． D．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．‎ ‎【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷‎ ‎13=．‎ 故选D．‎ ‎【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）下列三角形一定不是直角三角形的是（　　）‎ A．三角形的三边长分别为5，12，13‎ B．三角形的三个内角比为1：2：3‎ C．三角形的三边长之比为1：2：3‎ D．三角形的两内角互余 ‎【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的定义一一判断即可．‎ ‎【解答】解：A、正确．∵52+122=132，∴三角形为直角三角形．‎ B、正确．∵三角形的三个内角比为1：2：3，∴三个内角分别为30°，60°，90°，∴三角形是直角三角形．‎ C、错误．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形．‎ D、正确．∵三角形的两内角互余，∴第三个角是90°，∴三角形是直角三角形．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（　　）‎ A．600米 B．800米 C．1000米 D．1300米 ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎∵小明用10分到家，小华用24分到家，‎ ‎∴OA=10×50=500（米），OB=24×50=1200（米），‎ ‎∴AB==1300（米）．‎ 答：小明和小华家的距离为1300米．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）下面说法正确的是（　　）‎ A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2‎ B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5‎ C．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10‎ D．直角三角形中，斜边最长 ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】利用直角三角形勾股定理进行解题．‎ ‎【解答】解：A，B：直角三角形直角是哪个，未知，故不能得出a2+b2=c2，c=5‎ C：斜边长为5；‎ D：由勾股定理知显然正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】考查了直角三角形相关知识以及勾股定理的应用．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列关系成立的是（　　）‎ A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不对 ‎【考点】勾股定理的逆定理． ‎ ‎【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到三角形的形状，则不难求得其各角的关系．‎ ‎【解答】解：因为122+92=152，所以三角形是直角三角形，则∠B+∠C=∠A．故选B．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理逆定理的应用．‎ ‎　‎ 二、填空题（每空3分，共12分）‎ ‎13．（3分）一长为13m的木梯，架在高为12m的墙上，这时梯脚与墙的距离是　5　m．‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】根据题意可知，梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．‎ ‎【解答】解：∵梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，‎ ‎∴梯脚与墙角的距离==5（m）．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=　7　．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】连续运用勾股定理即可解答．‎ ‎【解答】解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD=‎ ‎∴OD2=7．‎ ‎【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）一根电线杆在一次台风中于地面3米处折断倒下，杆顶端落在离杆底端4米处，电线杆在折断之前高　8　米．‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由勾股定理得斜边为=5米，‎ 则原来的高度为3+5=8米．‎ 即电线杆在折断之前高8米．‎ 故答案为8．‎ ‎【点评】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．此题也可以直接用算术的算法求解．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如果直角三角形的三条边分别为4、5、a，那么a2的值等于　9或41　．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】此题有两种情况，一是当这个直角三角形的斜边的长为5时；二是当这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，由勾股定理分别求出此时的a2值即可．‎ ‎【解答】解：当这个直角三角形的斜边的长为5时，‎ a2=52﹣42=9；‎ 当这个直角三角形两条直角边的长分别为4和5时，‎ a2=52+42=41．‎ 故a的值为9或41．‎ 故答案为：9或41．‎ ‎【点评】本题考查勾股定理的知识，解答此题的关键是直角三角形的斜边没有确定，所以要进行分类讨论，注意不要漏解，难度一般．‎ ‎　‎ 三、解答题（共52分）‎ ‎17．（8分）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．‎ ‎【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480m，‎ 答：该河流的宽度为480m．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）求下列图形中阴影部分的面积．‎ ‎（1）如图1，AB=8，AC=6；‎ ‎（2）如图2，AB=13，AD=14，CD=2．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】（1）首先利用勾股定理计算出BC的长，进而得到圆的半径BO长，再利用半圆的面积减去直角三角形面积即可；‎ ‎（2）首先计算出AC的长，再利用勾股定理计算出BC的长，然后利用矩形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB=8，AC=6，‎ ‎∴BC===10，‎ ‎∴BO=5，‎ ‎∵S△ABC=AB×AC=×8×6=24，‎ S半圆=π×52=，‎ ‎∴S阴影=﹣24；‎ ‎（2）∵AD=14，CD=2，‎ ‎∴AC=12，‎ ‎∵AB=13，‎ ‎∴CB===5，‎ ‎∴S阴影=2×5=10．‎ ‎【点评】此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）某校校庆，在校门AB的上方A处到教学楼C的楼顶E处拉彩带，已知AB高5m，EC高29m，校门口到大楼之间的距离BC为10m，求彩带AE的长是多少？‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【专题】探究型．‎ ‎【分析】过点A作AF⊥CE于点F，由AB=5m，EC=29m可求出EF的长，再由BC=10m可知AE=BC=10m，在Rt△AEF中利用勾股定理即可求出AE的长．‎ ‎【解答】解：过点A作AF⊥CE于点F，‎ ‎∵AB⊥BC，EC⊥BC，‎ ‎∴四边形ABCF是矩形，‎ ‎∵AB=5m，EC=29m，‎ ‎∴EF29﹣5=24m，‎ ‎∵BC=10m，‎ ‎∴AE=BC=10m，‎ 在Rt△AEF中，‎ ‎∵AF=10m，EF=24m，‎ ‎∴AE===26m．‎ 答：彩带AE的长是23米．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？‎ ‎【考点】勾股定理的逆定理． ‎ ‎【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC 均为直角三角形，进而可求解其面积．‎ ‎【解答】解：∵42+32=52，52+122=132，‎ 即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°，‎ 同理，∠ACD=90°‎ ‎∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD ‎=×3×4+×5×12‎ ‎=6+30‎ ‎=36．‎ ‎【点评】熟练掌握勾股定理逆定理的运用，会求解三角形的面积问题．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，求线段CN长．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）． ‎ ‎【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．‎ ‎【解答】解：设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，‎ 而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，‎ 即（8﹣x）2=16+x2，‎ 整理得16x=48，‎ 解得：x=3．‎ 即线段CN长为3．‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了翻折变换的性质，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？‎ ‎【考点】轴对称-最短路线问题． ‎ ‎【专题】计算题；作图题．‎ ‎【分析】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，‎ 则可得：DK=A′C=AC=10千米，‎ ‎∴BK=BD+DK=40千米，‎ ‎∴AM+BM=A′B==50千米，‎ 总费用为50×3=150万元．‎ ‎【点评】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．‎ ‎　‎ 第一章 勾股定理章末测试卷3‎ 一、选择题（每题4分，共28分）‎ ‎1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）‎ A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8‎ ‎3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）‎ A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 ‎5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）‎ A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3‎ C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5‎ ‎6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）‎ A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm ‎7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 二、填空：（每空4分，共计28分）‎ ‎8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　　．‎ ‎9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　　，c=　　．‎ ‎10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　　cm2．‎ ‎11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　　（填“能”、或“不能”）‎ ‎12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　　．‎ ‎13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　　．‎ ‎14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　　cm（杯壁厚度不计）．‎ 三、解答题：（每题11分，共计44分）‎ ‎15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）‎ ‎16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？‎ ‎17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）求四边形ABCD的面积．‎ ‎18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？‎ 四、附加题 ‎19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．‎ ‎20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．‎ ‎（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；‎ ‎（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．‎ 参考答案 一、选择题（每题4分，共28分）‎ ‎1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】直接根据勾股定理求解即可．‎ ‎【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，‎ ‎∴弦为＝5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．‎ ‎2．（4分）（2017•兴安盟）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）‎ A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8‎ ‎【考点】KS：勾股定理的逆定理． ‎ ‎【专题】55：几何图形．‎ ‎【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．‎ ‎【解答】解：A、∵6+8＝14，∴不能组成三角形；‎ B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能组成锐角三角形；‎ C、∵＝10是直角三角形，∴不能组成锐角三角形；‎ D、∵＝10＞8，6+8＞8，∴能组成锐角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜边是解题的关键．‎ ‎3．（4分）如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】算术平方根． ‎ ‎【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．‎ ‎【解答】解：由勾股定理，得AC=，‎ 乘方，得（）2=2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（　　）‎ A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．‎ ‎【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）‎ A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3‎ C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5‎ ‎【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． ‎ ‎【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形内角和定理得出B是直角三角形；即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52，‎ ‎∴这个三角形是直角三角形，A是直角三角形；‎ ‎∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，‎ ‎∴∠C=90°，B是直角三角形；‎ ‎∵a2：b2：c2=1：2：3，‎ ‎∴a2+b2=c2，‎ ‎∴三角形是直角三角形，C是直角三角形；‎ ‎∵a2：b2：c2=3：4：5，‎ ‎∴a2+b2≠c2，‎ ‎∴三角形不是直角三角形；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，通过计算得出结果是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为（　　）‎ A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm ‎【考点】勾股定理；等腰三角形的性质． ‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 由题意得：AB=AC=10cm，BC=16cm，‎ 作AD⊥BC于点D，则有DB=BC=8cm，‎ 在Rt△ABD中，AD==6cm．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理的知识，关键是掌握等腰三角形底边上的高平分底边，及利用勾股定理直角三角形的边长．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）‎ A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 ‎【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理． ‎ ‎【专题】网格型．‎ ‎【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．‎ ‎【解答】解：∵正方形小方格边长为1，‎ ‎∴BC==2，‎ AC==，‎ AB==，‎ 在△ABC中，‎ ‎∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，‎ ‎∴BC2+AC2=AB2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．‎ ‎　‎ 二、填空：（每空4分，共计28分）‎ ‎8．（4分）已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为　7或25　．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ 当3、4都为直角边时，第三边长的平方=32+42=25；‎ 当3为直角边，4为斜边时，第三边长的平方=42﹣32=7．‎ 故答案为：7或25．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）求如图中直角三角形中未知的长度：b=　12　，c=　10　．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】根据勾股定理进行计算即可．‎ ‎【解答】解：b==12；‎ c==10，‎ 故答案为：12；10．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为　49　cm2．‎ ‎【考点】勾股定理． ‎ ‎【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．‎ ‎【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，‎ 故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．‎ 故答案为：49cm2．‎ ‎【点评】熟练运用勾股定理进行面积的转换．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）小明把一根70cm长的木棒放到一个长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放进去吗？答：　能　（填“能”、或“不能”）‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】能，在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可．‎ ‎【解答】解：能，理由如下：‎ 可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，‎ 根据题意，得x2=502+402+302=5000，‎ ‎702=4900，‎ 因为4900＜5000，‎ 所以能放进去．‎ 故答案为能．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为　2或2　．‎ ‎【考点】KQ：勾股定理． ‎ ‎【专题】552：三角形．‎ ‎【分析】分两种情况：‎ ‎①当△ABC是锐角三角形，如图1，‎ ‎②当△ABC是钝角三角形，如图2，‎ 分别根据勾股定理计算AC和BC即可．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①当△ABC是锐角三角形，如图1，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠CDA＝90°，‎ ‎∵CD＝，AD＝1，‎ ‎∴AC＝2，‎ ‎∵AB＝2AC，‎ ‎∴AB＝4，‎ ‎∴BD＝4﹣1＝3，‎ ‎∴BC＝＝＝2；‎ ‎②当△ABC是钝角三角形，如图2，‎ 同理得：AC＝2，AB＝4，‎ ‎∴BC＝＝＝2；‎ 综上所述，BC的长为2或2．‎ 故答案为：2或2．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾 股定理计算线段的长，要熟练掌握．‎ ‎13．（4分）（2018•福建）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝　﹣1　．‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【专题】11：计算题．‎ ‎【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，‎ 在Rt△ABC中，∠B＝45°，‎ ‎∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，‎ ‎∵两个同样大小的含45°角的三角尺，‎ ‎∴AD＝BC＝2，‎ 在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝‎ ‎∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．‎ ‎14．（4分）（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为　20　cm（杯壁厚度不计）．‎ ‎【考点】KV：平面展开﹣最短路径问题． ‎ ‎【专题】27：图表型．‎ ‎【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．‎ ‎【解答】解：如图：‎ 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，‎ 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．‎ 故答案为20．‎ ‎【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．‎ 三、解答题：（每题11分，共计44分）‎ ‎15．（11分）一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处，求树折断之前的高度？（自己画图并解答）‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 因为AB=9米，AC=12米，‎ 根据勾股定理得BC==15米，‎ 于是折断前树的高度是15+9=24米．‎ ‎【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（11分）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？‎ ‎【考点】勾股定理的应用． ‎ ‎【分析】根据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km，‎ ‎∠ACB=90°，‎ 则AB==5km．‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、灵活运用勾股定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（11分）如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°；‎ ‎（1）求BD的长；‎ ‎（2）求四边形ABCD的面积．‎ ‎【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理． ‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的长度；‎ ‎（2）利用勾股定理的逆定理判断出△BDC为直角三角形，根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠A=90°，‎ ‎∴△ABD为直角三角形，‎ 则BD2=AB2+AD2=25，‎ 解得：BD=5．‎ ‎（2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，‎ ‎∴BD2+CD2=BC2，‎ ‎∴BD⊥CD，‎ 故S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不规则图形的面积时，我们可以利用分解法，将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积之和．‎ ‎　‎ ‎18．（11分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AB=6cm，BC=8cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使点C落在点E处，求三角形BDF的面积是多少？‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）． ‎ ‎【专题】应用题；操作型．‎ ‎【分析】由折叠的性质得到三角形BDC与三角形BDE全等，进而得到对应边相等，对应角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换及等角对等边得到FD=FB，设FD=FB=xcm，则AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出FD的长，进而求出三角形BDF面积．‎ ‎【解答】解：由折叠可得：△BDC≌△BDE，‎ ‎∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠DBC，‎ ‎∴∠ADB=∠EBD，‎ ‎∴FD=FB，‎ 设FD=FB=xcm，则有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm，‎ 在Rt△ABF中，根据勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62，‎ 解得：x=，即FD=cm，‎ 则S△BDF=FD•AB=cm2．‎ ‎【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：折叠的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ 四、附加题 ‎19．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．‎ ‎【考点】勾股定理的应用；三角形的面积；勾股定理的逆定理． ‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．‎ ‎【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC中，‎ AC2=CD2+AD2=122+92=225，‎ ‎∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521，‎ AC2+BC2=152+362=1521，‎ ‎∴AB2=AC2+BC2，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣AD•CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216．‎ 答：这块地的面积是216平方米．‎ ‎【点评】解答此题的关键是通过作辅助线使图形转化成特殊的三角形，可使复杂的求解过程变得简单．‎ ‎　‎ ‎20．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．‎ ‎（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；‎ ‎（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形． ‎ ‎【分析】（1）延长ED至点G，使得EG=DE，连接FG，CG，易证EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根据勾股定理即可解题；‎ ‎（2）连接AD，易证∠ADE=∠CDF，即可证明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四边形AEDF=S△ABC，再根据△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF，即可解题．‎ ‎【解答】（1）证明：延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，‎ ‎∵DE=DG，DF⊥DE，‎ ‎∴DF垂直平分DE，‎ ‎∴EF=FG，‎ ‎∵D是BC中点，‎ ‎∴BD=CD，‎ 在△BDE和△CDG中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDE≌△CDG（SAS），‎ ‎∴BE=CG，∠DCG=∠DBE，‎ ‎∵∠ACB+∠DBE=90°，‎ ‎∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，‎ ‎∵CG2+CF2=FG2，‎ ‎∴BE2+CF2=EF2；‎ ‎（2）解：连接AD，‎ ‎∵AB=AC，D是BC中点，‎ ‎∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，‎ ‎∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠CDF，‎ 在△ADE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CDF（ASA），‎ ‎∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17，‎ ‎∴S四边形AEDF=S△ABC，‎ ‎∴S△AEF=×5×12=30，‎ ‎∴△DEF的面积=S△ABC﹣S△AEF=．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解题的关键．‎