八年级下数学课件《一次函数与二元一次方程的关系》课件_冀教版

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八年级下数学课件《一次函数与二元一次方程的关系》课件_冀教版

第二十一章 一次函数 21.5 一次函数与二元一次 方程的关系 1 u一次函数与二元一次方程的关系 u一次函数与二元一次方程组的关系 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 如图所示,是某次100米训练赛中飞人博尔特与队 友所跑的路程s(米)和所用时间t(秒)的函数图像. 观察图 像,你能获取哪些信息? 1 一次函数与二元一次方程的关系 1. 二元一次方程y-x=1有多少个解?你能写出方程的 几组解吗? 2. 二元一次方程y-x=1可以写成一次函数吗? 3. 画出一次函数y=x+1的图像。 4. 把1题中方程的几组解为坐标的点在3题坐标系上描 出来,你发现了什么? 5. 一次函数y=x+1的图像上的点的坐标适合二元一次 方程y-x=1吗? 知1-导 知1-导 x y 0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 -1 6 7 y=x+1 知1-导 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数 图像上. 反过来,一次函数图像上的点的坐标都是相应的 二元一次方程的解. 例1 [中考·呼和浩特]如图所示的四条直线,其中直线 上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解 的是(  ) 知1-讲 C 知1-讲 对于二元一次方程x-2y=2,当x=0时,y =-1;当y=0时,x=2,故直线x-2y=2与 两坐标轴的交点坐标是(0,-1),(2,0).对 照四个选项中的直线,可知选C. 导引: 知1-讲 直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标即是二元一 次方程y=kx+b中,当y=0时x的值;直线y=kx+b 与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程y=kx+b中, 当x=0时y的值.解这类题,常运用数形结合思想. 1 把二元一次方程2x-3y=4改写成一次函数y=kx+b 的形式,并画出这个一次函数的图像. 知1-练 (来自教材) 图像如图所示. 2 4 .3 3y x= -解: (来自教材) 2 写出二元一次方程2x-y=1的三个解,以方程的解为 坐标在直角坐标系中画点,这些点是否都在一次函 数y=2x-1的图像上? 知1-练 2x-y=1的解有 画图略. 这些点均在一次函数y=2x-1的图像上. 1, 2, 3, 1, 3, 5. x x x y y y = = = = = = 解: 知1-练 (来自教材) 3 把二元一次方程2(x-3)+y=0改写成一次函数y=kx+b 的形式,并画出这个一次函数的图像. y=-2x+6.图像如图所示.解: 知1-练 4 以二元一次方程3x-4y=8的解为坐标的所有点组成 的图像也是一次函数y=____________的图像. 5 下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元 一次方程2x-y=2的解的是(  ) 3 24 x- B 6 若二元一次方程3x-2y=1所对应的直线是l,则下列 各点不在直线l上的是(  ) A.(1,1)  B.(-1,-1)  C.(-3,-5)  D. 知1-练 B 52 2 ,÷ç ÷ç ÷ç 2 一次函数与二元一次方程组的关系 知2-导 探究一次函数与二元一次方程组的关系 1. 解方程组 2. 在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和y=-x+1 的图像。 + =1 + =1 x y x y ìïïíï-ïî x y 0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5 1 2 3 4 5 -1 6 y=x+1y=-x+1 (0,1) x+y=1 -x+y=1 是否任意两个一 次函数的交点坐 标都是它们所对 应的二元一次方 程组的解? 知2-导 二元一次方程组的解是这两个方程所对应的一次 函数图像的交点坐标。 反之,两个一次函数图像的交点坐标是这两个一 次函数所对应的二元一次方程组的解。 想一想 若二元一次方程组无解,那么这两个方程所对应 的一次函数图像---------。 知2-导 知2-讲 例2 利用图像法解二元一次方程组:3 =2 + =2. x y x y ,ì -ïïíïïî 列表得: 过点(0,-2)和(1,1)画出直线l1,再过点(0,2)和 (1,1)画出直线l2,如图所示, 由图像知两条直线交点的坐标为 (1,1),∴原方程组的解为 x 0 1 y=3x-2 -2 1 y=2-x 2 2 =1 =1. x y ,ìïïíïïî 解: 知2-讲 用图像法解二元一次方程组的基本步骤: (1)将方程组中的两个方程转化成一次函数y=kx+b的 形式; (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像; (3)利用图像的直观性确定交点坐标. 1 已知一次函数y=ax+5和y=-x+b的图像交于点P(1,2). (1)直接写出方程组 的解. (2)求a,b的值. 知2-练 (来自教材) = 5 + = ax y y x b ,ì - -ïïíïïî (1) (2)将 代入 可得 所以a=-3,b=3. =1 =2. x y ,ìïïíïïî =1 =2. x y ,ìïïíïïî = 5 + = ax y y x b ,ì - -ïïíïïî 2= 5 2+1= a b ,ì - -ïïíïïî 解: 知2-练 (来自教材) 2 解方程组 并由此指出在同一直角坐标系 内,一次函数y=2x-2与y=-2x+6图像交点的坐标. 2 =2 +2 =6 x y y x , , ì -ïïíïïî 解方程组得 由此得两函数图像交点的坐标为(2,2). =2 =2. x y ,ìïïíïïî 解: 3 已知一次函数y1=2x-1和y2=-x-1的图像如图 所示,根据图像填空.当x_______时,y1=y2;当 x________时,y1<y2;方程组 的解是 ________. 知2-练 =0 =2 1 = 1 y x y x ,ì -ïïíï - -ïî <0 =0 = 1 x y ,ìïïíï -ïî 知2-练 4 如图,过点Q(0,3.5)的一次函数的图像与正比例函 数y=2x的图像相交于点P,能表示这个一次函数图 像的方程是(  ) A.3x-2y+3.5=0 B.3x-2y-3.5=0 C.3x-2y+7=0 D.3x+2y-7=0 D 5 若二元一次方程y=2x+a与y=-x+b对应的直线 都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于点B,C, 则△ABC的面积是(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 知2-练 C 知2-练 6 用图像法解方程组 正确的是(  )C 2 =4 2 =4 x y x y , , ì -ïïíï +ïî 7 如图,函数y=2x和y=ax+4的图像相交于点A(m, 3),则不等式2x≥ax+4的解集为(  ) A.x≤3 B.x≥3 C.x≤ D.x≥ 知2-练 D 3 2 3 2 知2-练 8 用一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图像如图所示, 则下列结论:①k<0;②a>0;③x<3时,y1<y2; ④方程组 的解是 其中正确的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 1 2 y kx b y x a ,= + = + , ìïïíïïî 3 1 x y . ,ìï = í = ï ïïî 知2-讲 例3 已知一次函数y=ax+2与y=kx+b的图像交于点 A,如图所示,且方程组 的解为 点B的坐标为(0,-1),请你确定这两个一次函 数的表达式. 2y ax y kx b ,= + = + , ìïïíïïî 2x y , , = =1 ìïïíïïî 要确定这两个一次函数的表 达式,需确定交点A的坐标, 而交点A的坐标即为已知方程 组的解.因此用待定系数法可求得k,b,a的 值,进而确定两个一次函数的表达式. 导引: 知2-讲 因为方程组 的解为 所以交点A的坐标为(2,1), 所以2a+2=1,解得a=- . 又因为函数y=kx+b的图像过交点A(2,1)和点B (0,-1), 所以 解得 所以这两个一次函数的表达式分别为y=- x+2, y=x-1. =2 =1. x y ,ìïïíïïî 2y ax y kx b = + , = + , ìïïíïïî 1 2 2 1 1 k b b = , , ì +ïïíï =-ïî 1 1. k b = ,ìïïíï =-ïî 1 2 解: 知2-讲 “交点”是解决问题的关键,从“形”的角度讲, 它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值 也相等的点;从“数”的角度讲,它是两个函数表达 式的公共解,即二元一次方程组的解. 1 已知关于x,y的方程组 的解为 (1)写出一次函数y=-x+1和的图像交点P的坐标. (2)若这两个函数的图像与x轴分别交于点A,B, 求S △ABP 知2-练 (来自教材) + =1 +3 =8 x y ax y ,ìïïíïïî = 1 =2. x y ,ì -ïïíïïî 知2-练 (来自教材) (1) P(-1,2). (2)一次函数y=-x+1的图像与x轴的交点坐标为(1, 0),将(-1,2)代入y=- x + ,可得2=- ×(-1)+ ,解得a=-2.一次函数y= x+ 的图像与x轴的交点坐标为(-4,0).所以AB=5. 所以S△ABP= ×5×2=5. 3 a 8 3 3 a 8 3 2 3 8 3 1 2 解: 1. 二元一次方程组无解⇔一次函数的图像平行(无交 点); 二元一次方程组有一组解⇔一次函数的图像相交(有 一个交点) ; 二元一次方程组有无数组解⇔一次函数的图像重合 (有无数个交点). 1 2. 一次函数与二元一次方程之间的区别和联系: 区别:(1)二元一次方程有两个未知数,而一次函数 有两个变量;(2)二元一次方程是用一个等式表示两 个未知数的关系,而一次函数既可以用一个等式表 示两个变量之间的关系,又可以用表格或图像来表 示两个变量之间的关系. 联系:在平面直角坐标系中分别描出以二元一次方 程的解为坐标的点,这些点都在相应的一次函数的 图像上. 用图像法解方程组 易错点:审题不仔细,没有按照要求解题 由x+2y=4,可得y=- x+2. 由x-y=1,可得y=x-1. 在同一直角坐标系内作出一次函数y=- x+2的图像 l1和y=x-1的图像l2,如图所示,通过观察可得l1和l2 的交点坐标为(2,1). 所以原方程组的解为 2 易错小结 2 4 1. x y x y + = ,① - = ② ìïïíïïî 1 2 1 2 2 1. x y = , = ìïïíïïî 解: 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题!
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