2020-2021学年广东省江门市恩平市九年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021学年广东省江门市恩平市九年级（上）期中数学试卷 解析版

2020-2021学年广东省江门市恩平市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x2﹣1＝0的常数项是（　　）A．﹣1B．0C．3D．12．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（　　）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个实数根3．一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（　　）A．（x+1）2＝8B．（x+2）2＝11C．（x﹣1）2＝8D．（x﹣2）2＝114．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）A．4B．﹣4C．3D．﹣35．下列图案中不是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．6．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（　　）A．45°B．60°C．90°D．120°7．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+48．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）A．6B．5C．4D．39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（　　）A．40°B．50°C．70°D．80°10．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　）A．B．C．D．二、填空题（本小题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）将方程x（x﹣1）＝3x+1化为一元二次方程的一般形式　　．12．（4分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是　　． 13．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是　　．14．（4分）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为　　m．15．（4分）已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，则BC＝　　cm．16．（4分）如图，在⊙O中，∠BOC＝100°，则∠A的度数是　　．17．（4分）已知二次函数的y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有　　． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．19．（6分）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+12＝0的一根为x＝﹣3，求m的值以及方程的另一根．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．（1）∠DBE的度数．（2）求证：△BDE≌△BCE．22．（8分）已知抛物线y＝x2+4x﹣5；（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．23．（8分）随着经济的发展，李进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．李进2009年的月工资为2000元，在2011年时他的月工资增加到2420元．（1）求2009到2011年的月工资的平均增长率．（2）若他2012年的月工资按相同的平均增长率继续增长，李进2012年的月工资是多少元？五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝10，BC﹣AC＝2，求CE的长．25．（10分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 2020-2021学年广东省江门市恩平市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．方程3x2﹣1＝0的常数项是（　　）A．﹣1B．0C．3D．1【分析】找出方程的常数项即可．【解答】解：方程3x2﹣1＝0的常数项是﹣1．故选：A．2．一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（　　）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个实数根【分析】根据根的判别式△＝b2﹣4ac的符号来判定一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+3＝0的二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝3，∴△＝b2﹣4ac＝4﹣12＝﹣8＜0，∴原方程无实数根．故选：A．3．一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（　　）A．（x+1）2＝8B．（x+2）2＝11C．（x﹣1）2＝8D．（x﹣2）2＝11【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，即可确定出结果．【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（x﹣1）2＝8， 故选：C．4．一元二次方程x2+4x﹣3＝0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（　　）A．4B．﹣4C．3D．﹣3【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：x1•x2＝﹣3．故选：D．5．下列图案中不是中心对称图形的是（　　）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：A、B、C是中心对称图形，D不是中心对称图形，故选：D．6．如图，点D是等边△ABC内一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则∠DAE的度数是（　　）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】由旋转的定义可知∠BAC、∠DAE都是旋转角，可得答案．【解答】解：∵△ABD和△ACE重合，∴∠BAC、∠DAE都是旋转角，∵△ABC为等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，故选：B．7．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．【解答】解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．故选：A．8．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）A．6B．5C．4D．3【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC＝BC＝AB＝12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC＝＝5．故选：B． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A等于（　　）A．40°B．50°C．70°D．80°【分析】根据圆内接四边形的性质可直接得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠DCE＝50°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE＝50°．故选：B．10．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（　　）A．B．C．D．【分析】可根据a＞0时，﹣a＜0和a＜0时，﹣a＞0分别判定． 【解答】解：当a＞0时，﹣a＜0，二次函数开口向上，当b＞0时一次函数过一，二，四象限，当b＜0时一次函数过二，三，四象限；当a＜0时，﹣a＞0，二次函数开口向下，当b＞0时一次函数过一，二，三象限，当b＜0时一次函数过一，三，四象限．所以B正确．故选：B．二、填空题（本小题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）将方程x（x﹣1）＝3x+1化为一元二次方程的一般形式　x2﹣4x﹣1＝0　．【分析】把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）形式即可．【解答】解：x（x﹣1）＝3x+1，去括号、移项，得x2﹣x﹣3x﹣1＝0，合并同类项，得x2﹣4x﹣1＝0．故答案是：x2﹣4x﹣1＝0．12．（4分）点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是　（3，4）　．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．【解答】解：点P（﹣3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），故答案为：（3，4）．13．（4分）二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是　（3，﹣4）　．【分析】根据y＝2（x﹣3）2﹣4，可以得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵y＝2（x﹣3）2﹣4，∴二次函数y＝2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标是（3，﹣4），故答案为：（3，﹣4）．14．（4分）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA ＝10m，则中间柱CD的高度为　2　m．【分析】先由垂径定理，可得AD＝6m，再由勾股定理求得OD的长，然后求得中间柱CD的高度．【解答】解：∵CD是中间柱，∴，∴OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×12＝6（m），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝8（m），∴CD＝OC﹣OD＝10﹣8＝2（m）．故答案为：2．15．（4分）已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，则BC＝　4　cm．【分析】根据圆周角定理，可得出∠C＝90°；在Rt△ABC中，已知了特殊角∠A的度数和AB的长，易求得BC的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°；在Rt△ACB中，∠A＝30°，AB＝8cm；因此BC＝AB＝4cm．16．（4分）如图，在⊙O中，∠BOC＝100°，则∠A的度数是　50°　．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠BOC＝100°，∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∴∠A＝∠BOC＝50°．故答案为：50°．17．（4分）已知二次函数的y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中正确的结论有　①③　．【分析】①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0，﹣＝1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③﹣＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x ＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式．【解答】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝1＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误；③∵﹣＝1，∴2a+b＝0，故③正确；④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c，x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值，∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），故④错误．故答案为①③．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．（6分）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．【分析】利用因式分解法解方程．【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，x﹣6＝0或x+2＝0，所以x1＝6，x2＝﹣2． 19．（6分）已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且该抛物线经过点A（3，3），求该抛物线解析式．【分析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式y＝a（x﹣2）2+1，然后根据该抛物线过点（3，3），即可求得a的值，本题得以解决．【解答】解：设该抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+1，3＝a（3﹣2）2+1，解得，a＝2，即该抛物线解析式是y＝2（x﹣2）2+1．20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+12＝0的一根为x＝﹣3，求m的值以及方程的另一根．【分析】先把方程的根代入方程，可以求出字母系数m值，然后根据根与系数的关系由两根之积可以求出另一个根．【解答】解：把x＝﹣3代入方程有：9+3m+12＝0∴m＝﹣7．设方程的另一个根是x2，则：﹣3x2＝12∴x2＝﹣4．故m的值是﹣7，另一个根是﹣4．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到，且AB⊥BC，连接DE．（1）∠DBE的度数． （2）求证：△BDE≌△BCE．【分析】（1）根据旋转的性质可得DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°，然后根据垂直可得出∠DBE＝∠CBE＝30°，（2）由（1）中的条件可根据SAS证明△BDE≌△BCE．【解答】解：（1）∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠DBE＝∠CBE＝30°，（2）证明：在△BDE和△BCE中，∵，∴△BDE≌△BCE（SAS）．22．（8分）已知抛物线y＝x2+4x﹣5；（1）求出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．【分析】（1）将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）令x＝0求出相应的y的值，再令y＝0求出相应的x的值，即可得到该抛物线与x轴、y轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣9）；（2）∵抛物线y＝x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1），∴当x＝0时，y＝﹣5，当y＝0时，x＝﹣5或x＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．23．（8分）随着经济的发展，李进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．李进2009年的月工资为2000元，在2011年时他的月工资增加到2420元．（1）求2009到2011年的月工资的平均增长率．（2）若他2012年的月工资按相同的平均增长率继续增长，李进2012年的月工资是多少元？【分析】（1）关系式为：李进2009年的月工资×（1+平均增长率）2＝李进2011年的月工资，把相关数值代入求得年平均增长率．（2）利用上题求得的增长率，用2420（1+20%）计算李进2012年的月工资即可．【解答】解：（1）设李进2009到2011年的月工资的平均增长率为x，则，2000（1+x）2＝2420解这个方程得：x1＝﹣2.1，x2＝0.1，∵x1＝﹣2.1与题意不合，舍去．答：工资的增长率为10%．（2）李进2012年的月工资为2420×（1+10%）＝2662元．答：李进2012年的月工资为2662元．（6分）五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长 DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝10，BC﹣AC＝2，求CE的长．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，可得AC⊥BD，又由DC＝CB，即可证得AD＝AB，然后由等边对等角，证得：∠B＝∠D；（2）首先设BC＝x，由AB＝10，BC﹣AC＝2，可得方程x2+（x﹣2）2＝102，继而求得BC的值，又由∠B＝∠D，∠B＝∠E，则可得CE＝CD＝BC＝8．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，∵BC﹣AC＝2，∴AC＝x﹣2，∵AC2+BC2＝AB2，∴x2+（x﹣2）2＝102，解得：x1＝8，x2＝﹣6（舍去）， ∴BC＝8，∵∠B＝∠D，∠B＝∠E，∴∠D＝∠E，∴CE＝CD＝BC＝8．25．（10分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，3），根据M、C的坐标可求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①当CP＝PM时，P位于CM的垂直平分线上．求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P 作PQ⊥y轴于Q，如果设PM＝CP＝x，那么直角三角形CPQ中CP＝x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ＝3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标．②当CM＝MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标（要注意分上下两点）．③当CM＝CP时，因为C的坐标为（0，3），那么直线y＝3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；（3）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积＝三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF＝BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴解得：∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为x＝＝﹣1， ∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S四边形BOCE＝BF•EF+（OC+EF）•OF＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝＝﹣+∴当a＝﹣时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（﹣，）．