七年级数学下册第12章证明12-1证明课件苏科版

七年级数学下册第12章证明12-1证明课件苏科版

第十二章证明12.1证明 教学新知证明：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明．定理：经过证明的真命题称为定理． 1.经历探索些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定个数学结论的正确性的过程，举反例说明结论的错误性，初步感受说理的必要性.。知识要点2.尝试用说理的方法解决问题，在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力。 图12.2-8知识梳理知识点梳理知识点：事件的判断.【例】如图12.2-8，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看作球形）？能伸进一根小手指吗？能放进一只拳头吗？ 知识梳理【讲解】解：设地球赤道的周长为c,半径为,铁丝的半径为，则==≈0.16（m）显然，这样的间隙不仅可以伸进一根小手指，而且也能放进一只拳头.【方法小结】不能仅凭表面直觉去判断，计算是检验数学结论常用的方法.【小练习】如图12.2-9，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？ 知识梳理图12.2-9【参考答案】直觉上判断第二个大圆内的两个小圆的周长之和大一些.我们可以通过计算来证明.设原来大圆的半径为R，则第一个大圆内的每个小圆的半径为，则第一个大圆内的十个小圆的周长之和为10×2×=2；第二个大圆内的两个小圆的周长之和为2×2×=2；所以它们的周长一样长. 知识梳理知识点梳理知识点1：证明与定理.【例】如图12.2-20，已知AB∥EF，CD∥EF，AB⊥BC，说明CD与BC的位置关系．图12.2-20 知识梳理【讲解】∵AB∥EF，CD∥EF（已知），∴AB∥CD，∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB⊥BC（已知），∴∠ABC=90°（垂直的定义）．∴∠BCD=180°-90°=90°（等式的性质），∴CD⊥BC（垂直的定义）．【方法小结】根据已知条件，再结合要证明的，由果索因，综合推理.【小练习】 知识梳理1．在小括号里填写证明理由：已知：如图12.2-21，点A、O、B在一直线上，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求证：OM⊥ON．图12.2-21 知识梳理证明：∵OM平分∠AOC（）∴∠1=∠AOC（）∵ON平分∠BOC（）∴∠2=∠BOC（）∴∠1+∠2=∠AOC+∠BOC=∠MON（）∵A、O、B在一直线上（）已知角平分线定义已知角平分线定义等式性质已知 知识梳理∴∠AOB=180°（）∴∠1+∠2=×180°=90°（）∴OM⊥ON（）平角定义等量代换垂直定义2．如图12.2-22：已知BC平分∠ACD，且∠1=∠2，求证：AB∥CD．图12.2-22 知识梳理【参考答案】证明：∵BC平分∠ACD（已知），∴∠1=∠BCD（角平分线定义），∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠BCD（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．知识点梳理知识点1：三角形内角和定理的应用.【例】如图12.2-40，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，求证：∠BOC=90°−∠A． 知识梳理【讲解】∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线（已知），∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB（角平分线定义），又在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换），又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BOC=∠A+90°（等式性质）．图12.2-40 知识梳理【方法小结】紧扣三角形内角和等于180°，并能把∠OBC与∠OCB的和视为整体处理．【小练习】已知：如图12.2-41，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．【参考答案】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠BEF+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 图12.2-41知识梳理又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P（已知），∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DEF（角平分线定义），∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°（等式性质）．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°（三角形内角和等于180°），∴∠P=90°（等式性质）． 图12.2-42知识梳理知识点2：三角形内角和定理的推论【例】已知：如图12.2-42，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD，试说明∠M=（∠B+∠D）． 知识梳理【讲解】证明：∵AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD（已知），∴∠BAM=∠MAD，∠MCB=∠MCD（角平分线定义），∵∠ANC=∠B+∠BAM=∠M+∠MCB、∠AEC=∠MCD+∠D=∠MAD+∠M（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和），∴∠M=∠B+∠BAM-∠MCB①，∠M=∠MCD+∠D-∠MAD②（等式性质），∴①+②得：2∠M=∠B+∠D（等式性质），∴∠M=（∠B+∠D）（等式性质）． 知识梳理【方法小结】运用三角形内角和定理的推论来转化。【小练习】已知如图12.2-43，在△ABC中，CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线．求证：∠A=2∠H．图12.2-43 知识梳理【参考答案】证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角（已知），∴∠ACD=∠ABC+∠A（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠2是△BCD的一个外角（已知），∴∠2=∠1+∠H（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵CH是外角∠ACD的平分线，BH是∠ABC的平分线（已知）∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD（角平分线性质）∴∠A=∠ACD-∠ABC=2（∠2-∠1）（等式的性质）而∠H=∠2-∠1（等式的性质） 知识梳理中考在线考点：简单的证明、推理.【例】（2015台州）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是（）A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲粗，则乙对D 知识梳理【讲解】假设甲说的对，则参加两种比赛的人次大于28，因为共有20位同学，因此两项都参加的人数大于8人次，故乙说的错误；假设乙说的对，则参加两种比赛的人次小于25，因为共有20位同学，因此只参加一项的人数不大于12人，故甲说法错误；故选：D．【方法小结】分两种情况分别进行分析/推理与论证.【实战演练】1.（2014河北）如图12.2-44，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）。B 知识梳理A．20°B．30°C．70°D．80°2.（2014•永州）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按1～5题的顺序排列）是_____________________．BABBA 知识梳理题号答案选手12345得分小聪BAABA40小玲BABAA40小红ABBBA303.(2014年湖北随州)将一副直角三角板如图12.2-45放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为度．75 知识梳理图12.2-454.(2014年福建厦门）A，B，C，D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队 知识梳理（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A队没有全胜，那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．【参考答案】A队的积分至少要7分才能保证一定出线。 课堂练习1.今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，().A．赚了B．亏了C．不赚不亏D．无法确定B2.如图12.2-46,在△ABC中,∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）A．40°B．45°C．50°D．55°A 课堂练习图12.2-463.（2013•泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　）A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形D 课堂练习4．你认为图12.2-12中，大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想．图12.2-12【参考答案】周长相等。 课堂练习5.两个连续奇数的平方差能被8整除吗？请说明你的理由．【参考答案】两个连续奇数的平方差能被8整除．理由：设这两个连续奇数分别为：（2n+1）与（2n-1），∵（2n+1）2-（2n-1）2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n×2=8n．∴两个连续奇数的平方差能被8整除．6.如图12.2-24，若∠3=∠4，你能说明AD∥BC，AB∥DC吗？小亮回答：都行，∵∠3=∠4，∴AD∥BC，AB∥DC． 课堂练习图12.2-24小亮错在哪里，请指出错因，并改正．【参考答案】1.解：∵∠3=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），由于没有其它条件不能识别AD∥BC 课堂练习7．根据提示，同桌合作，完成括号内的依据.如图12.2-25，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．图12.2-25 课堂练习证明：BE∥DF．理由如下：∵∠A=∠C=90°（），∴∠ABC+∠ADC=180°（）．∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC（）．∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等量代换）．又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），已知四边形的内角和等于360°角平分线的定义 课堂练习∴∠3=∠AEB（等量代换）．∴（同位角相等，两直线平行）．BE∥DF8.如图12.2-49，已知AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED.图12.2-49 课堂练习【参考答案】（方法不惟一）如图12.2-50，过E点作EF∥AB，（已作），∴∠1=∠B，（两直线平行，内错角相等），又∵AB∥CD，（已知），∴EF∥CD，∴∠2=∠D，∴∠B+∠D=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D．（等量代换）图12.2-50 课后习题1.图12.2-13中，有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心0按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45.，第1次旋转后得到图(1)，第2次旋转后得到图(2)，…，则第10次旋转后得到的图形与图(1)～(4)中相同的是()．图12.2-13B 课后习题2.对于图12.2-27中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（　　）A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠3=∠4D.∠1+∠4=180°图12.2-27D 课后习题3.（2012•长春）如图12.2-51，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（　　）图12.2-51A．42°B．45°C．48°D．58°C 课后习题4.观察后测量图12.2-14中a，b，c，d四条直线，。图12.2-14a∥c 课后习题5.如图12.2-28，AB∥CD，∠B=∠C，求证：AC∥BD．图12.2-28证明：∵AB∥CD（），∴∠A+∠C=180°（），已知两直线平行，同旁内角互补 课后习题又∵∠B=∠C（　　　　），∴∠A+∠B=180°（　　　　），∴AC∥BD（）．已知等量代换同旁内角互补，两直线平行6.如图12.2-31，AB∥CD，直线MN分别叫AB，CD于点E、F．EG平分∠AEF，EG⊥FG于点G，若∠BEM＝50°，则∠CFG＝°．图12.2-3165 课后习题7.如图12.2-53,∠1是Rt△ABC的一个外角,直线DE∥BC,分别交边AB、AC于点D、E,∠1=120°,则∠2的度数是．图12.2-5330° 课后习题8.若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）28和76是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（k为非负整数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？为什么？ 课后习题【参考答案】（1）是,∵28=82-62，76=202-182.（2）是,∵（2k+2）2-（2k）2=8k+4=4（2k+1），∴由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数9.如图12.2-17,请你观察，黑白方格间的横线平行吗？先猜想，然后利用合适的方法验证你的猜想.图12.2-17 课后习题【参考答案】通过观察黑白方格间的横线不平行，用三角板和直尺验证后发现他们是平行的.10.已知：如图12.2-32，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30°，∠1=60°．求证：AB∥CD．【参考答案】证明：∵GH⊥CD（已知）∴∠CHG=90°（垂直定义）．又∵∠2=30°（已知），∴∠3=60°．∴∠4=60°（对顶角相等）．又∵∠1=60°（已知），∴∠1=∠4．∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 课后习题图12.2-3211.已知，如图12.2-55,在△ABC中，∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．求证：∠DAE=（∠B－∠C） 课后习题图12.2-55【参考答案】由图知，∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质），∵AD是BC边上的高（已知），∴∠ADB=90°（三角形高的定义），∵∠BAD＋∠B＋∠ADB=180°（三角形内角和等于180°），∴∠BAD=180°－∠B－∠ADB=90°-∠B（等 课后习题式性质），∵AE平分∠BAC（已知），∴∠BAE=∠BAC（角平分线定义），∵∠DAE=∠BAE-∠BAD（角的和差定义），∴∠DAE=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=90°-∠B-∠C-90°+∠B=（∠B-∠C）（等式性质）