2021高考数学一轮复习专练11函数与方程含解析理新人教版
专练11 函数与方程
命题范围：方程的根与函数的零点问题．
[基础强化]
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )
A．－1和 B．1和－
C.和 D．－和－
2．方程log4x＋x＝7的根所在区间是( )
A．(1,2) B．(3,4)
C．(5,6) D．(6,7)
3．[2020·山东莱芜测试]函数f(x)＝的所有零点之和为( )
A．7 B．5
C．4 D．3
4．设函数f(x)＝x－lnx，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
5．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点位于( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
6．[2020·衡阳八中测试]方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
7．函数f(x)＝x－x的零点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
8．[2020·山西康杰中学测试]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3, －1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
9．已知函数f(x)＝(k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k满足( )
A．k≤2 B．－1
0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
15．[2020·衡水一中测试]已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
16．已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．
专练11 函数与方程
1．B 由题意得x2－ax＋b＝0有两根2,3.
∴得
由bx2－ax－1＝0，得6x2－5x－1＝0，
得x＝－或x＝1.
2．C 令f(x)＝log4x＋x－7，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且函数在(0，＋∞)上连续．因为f(5)<0，f(6)>0，所以f(5)f(6)<0，所以函数f(x)＝log4x＋x－7的零点所在的区间为(5,6)，即方程log4x＋x＝7的根所在区间是(5,6)．故选C.
3．A 由得x1＝－3，由得x2＝10，∴函数f(x)的所有零点之和为10－3＝7.
4．D ∵f＝＋1>0，
f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，
∴f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
5．B ∵f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝ln2＋4－6<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(x)的零点位于(2,3)．
6．C 令f(x)＝log3x＋x－3，显然f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)即方程的解所在的区间为(2,3)．
7．B ∵函数f(x)＝x－x为单调增函数，且f(0)＝－1<0，f(1)＝>0, ∴f(x)在(0,1)内有一个零点．
8．D 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2－3x，
∴g(x)＝
由
得x＝1或x＝3；
由得x＝－2－，故选D.
9．D 由于|f(x)|≥0，故必须－k≥0，即k≤0，显然k＝0时两个函数图象只有一个公共点，所以k<0，f(x)＝kx＋2恒过点(0,2)，要使y＝|f(x)|与y＝－k的图象有三个公共点(如图所示)，只要－k≥2，即k≤－2即可．故选D.
10.
解析：当a＝0时，函数f(x)＝1在(－1,1)上没有零点，所以a≠0.所以函数f(x)是单调函数，要满足题意，只需f(－1)f(1)<0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，所以(a－1)(3a－1)<0，解得1且loga(1＋2)<1，loga(3＋2)>1，解得a∈(3,5)．
13．D 易知函数f(x)＝ex－1＋x－2的零点为x＝1，则α＝1，设函数g(x)＝x2－ax－a＋3的一个零点为β，若函数f(x)和g(x)互为“零点相邻函数”，根据定义，得|1－
β|≤1，解得0≤β≤2.作出函数g(x)＝x2－ax－a＋3的图象(图略)，因为g(－1)＝4，要使函数g(x)在区间[0,2]内存在零点，则即解得2≤a≤3.故选D.
14．C 本题主要考查函数的零点，考查数形结合思想及函数与方程思想，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理．
由题意可得，当x≥0时，f(x)－ax－b＝x3－(a＋1)x2－b，令f(x)－ax－b＝0，则b＝x3－(a＋1)x2＝x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的x∈R，f(x)－ax－b＝0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x≥0时，b＝x2[2x－3(a＋1)]必须有2个零点，所以>0，解得a>－1.所以b<0.故选C.
15．(0,1)
解析：函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，等价于y＝f(x)与y＝m有三个交点，画出y＝f(x)的图象，其中抛物线的顶点为(－1,1)，由图可知，当04.②两个零点为1,4，由图可知，此时1<λ≤3.
综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4，＋∞)．
