广东省梅州市兴宁市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

广东省梅州市兴宁市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

兴宁一中高二年级数学上期中段测试卷 ‎ 一、选择题（每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）‎ ‎1. 在空间，下列命题正确的是 A. 平行直线的平行投影重合 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：A选项直线可能平行；B选项平面可能相交；C选项两个平面可能相交；D选项正确.‎ 考点：空间直线与平面的位置关系.‎ ‎2.直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率与倾斜角的关系求解即可.‎ ‎【详解】由题的斜率,故倾斜角的正切值为-1,又,故 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了直线斜率为直线倾斜角的正切值,属于基础题型.‎ ‎3.如图，正方体中，两条异面直线与所成的角是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接与,则为所求.再根据判断即可.‎ ‎【详解】连接与,因为,则为异面直线与所成的角.又为正三角形,故异面直线与所成的角是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了异面直线的角度问题,利用平行转移到同一三角形即可.属于基础题型.‎ ‎4.如图，是一个几何体的三视图，主视图和侧视图是全等的半圆，俯视图是一个圆，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得该几何体为半个球,用球的体积公式直接求解即可.‎ ‎【详解】该几何体为半径为2的半球,故体积为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了三视图与球的体积公式,属于基础题型.‎ ‎5.与直线：平行的直线，在轴上的截距是，则在轴上的截距为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与直线：平行可得其斜率,再利用在轴上的截距是,求出直线方程,再求在轴上的截距即可.‎ ‎【详解】由与直线：平行可得斜率为2,又在轴上的截距是,故,当时, .即在轴上的截距为3.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了直线平行的关系与斜截式的用法与截距的意义,属于基础题型.‎ ‎6.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：当截距都为0时，过点时直线为，当截距不为零时，设直线为，代入点得 考点：直线方程 ‎7.原点到直线的距离为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎，故选．‎ ‎8.若实数x、y满足则的取值范围是（ ）‎ A. (0,1) B. C. (1,+) D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】可看做可行域中的点与原点构成直线的斜率．可得，‎ 的取值范围是(1,+)，‎ 故选：C.‎ ‎9.已知点P（3,2）与点Q（1,4）关于直线对称，则直线的方程为（ ）‎ A. x＋y＋1＝0 B. x－y＝0 C. x－y＋1＝0 D. x＋y＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：P，Q的中点坐标为（2，3），PQ的斜率为：-1，所以直线l的斜率为：1，由点斜式方程可知：y-3=x-2，直线l的方程为：x-y+1=0，故选A.‎ 考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎10.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.‎ 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.‎ ‎11.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=，则等于（ ）‎ A. － B. － C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由余弦定理得 考点：1．余弦定理；2．向量的数量积 ‎12.如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（　　）‎ A. 2‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：将翻折到与四边形同一平面内，的最小值为，在中，由余弦定理可得 考点：1.翻折问题；2.空间距离 二、填空题（每小题5分,要求把最简结果写在答卷中各题相应的横线上）‎ ‎13.函数的定义域为________．（用集合或区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 跟对数中大于0与分母不等于0,根号内大于等于0求解即可.‎ ‎【详解】易得 ,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域, 对数中大于0与分母不等于0,根号内大于等于0,属于基础题型.‎ ‎14.函数的最小正周期__________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的最小正周期求解即可.‎ ‎【详解】易得最小正周期,‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】本题主要考查了的最小正周期,属于基础题型.‎ ‎15.圆心为且与直线相切的圆的标准方程为 _________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离求得半径，进而写出圆的标准方程.‎ ‎【详解】由于直线和圆相切，故圆的半径，所以圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查圆的标准方程的求法，属于基础题.‎ ‎16.若直线3x＋4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，直线3x＋4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，所以，圆心（1，－2）到直线的距离大于半径1.即，‎ 解得，实数m的取值范围是．‎ 考点:直线与圆的位置关系，绝对值不等式解法．‎ 点评：小综合题，题目虽小，但考查知识内容丰富，注意利用数形结合思想，明确“圆心到直线的距离大于半径“.‎ ‎17.已知为等差数列，且，．‎ ‎（1）求的通项公式； ‎ ‎（2）若等比数列满足，，求数列的前项和公式．‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用．、‎ ‎（1）设公差为，由已知得 解得,‎ ‎（2），‎ 等比数列的公比 利用公式得到和．‎ ‎18.如图，在直角坐标系中，已知三个顶点的坐标，‎ 求：（1）直线的一般式方程；‎ ‎（2）边上高所在直线的斜截式方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)写出直线方程的两点式再化简成一般方程即可.‎ ‎(2)求出直线的斜率,再利用垂直求出边上的高所在直线的斜率,再利用高过 点写出直线的点斜式再化简成斜截式即可.‎ ‎【详解】（1）由直线方程的两点式得 ,即,‎ 所以直线的一般式方程为．‎ ‎（2）设直线的斜率为,则有,‎ 所以边上的高所在直线的斜率为,‎ 因为边上的高经过点,由直线方程的点斜式得,‎ 即边上的高所在直线的斜截式方程为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的两点式,斜截式,点斜式与一般式方程,同时也考查了直线垂直斜率相乘等于-1的问题,属于基础题型.‎ ‎19.‎ 右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，‎ 平面，，且="2" .‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥B－CEPD体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)取PD的中点F，连接EF、AF，则 ‎∴四边形EFDC是平行四边形，‎ ‎∵∴ ‎ ‎∴四边形EFAB是平行四边形 ∴‎ ‎∵,∴‎ ‎ (2)∵平面，平面 ‎∴平面平面ABCD ‎ ‎∵∴BC平面 ‎∵‎ ‎∴四棱锥B－CEPD的体积 ‎.‎ ‎20.如图，四棱锥的底面是正方形，，点在棱上.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成的角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．‎ ‎【详解】（1）证明：∵底面ABCD是正方形 ‎∴AC⊥BD 又PD⊥底面ABCD PD⊥AC 所以AC⊥面PDB 因此面AEC⊥面PDB ‎（2）解：设AC与BD交于O点，连接EO 则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角 ‎∵E、O为中点 ∴EO＝PD ∴EO⊥AO ‎∴在Rt△AEO中 OE＝PD＝AB＝AO ‎∴∠AEO＝45° 即AE与面PDB所成角的大小为45°‎ 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎21.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数.‎ ‎（1） 列举出所有可能的结果,并求两点数之和为5的概率；‎ ‎（2） 求以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点在圆 的内部的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用枚举法列出36个等可能基本事件,再求两点数之和为5的事件数即可.‎ ‎(2)根据枚举法列出点在圆x2+y2=15的内部的情况数,再求解即可.‎ ‎【详解】（1）将一颗骰子先后抛掷2次,含有36个等可能基本事件,分别是 ‎(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)‎ ‎(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)‎ ‎ (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)‎ ‎ (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) ‎ 记“两数之和5”为事件A,则事件A中含有4个基本事件,所以； ‎ 所以,两数之和为5的概率为． ‎ ‎（2）点在圆的内部记为事件C,则满足,故C包含8个事件.分别为：(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2)‎ 所以． ‎ 即点在圆的内部的概率．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用枚举法解古典概型的问题,属于基础题型.‎ ‎22.已知圆x2+y2=8内有一点P0（-1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦.‎ ‎（1）当α=时，求AB的长； ‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程(用直线方程的一般式表示)．‎ ‎【答案】（1）；（2）x－2y＋5＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出直线的方程,再利用垂径定理求解即可.‎ ‎(2) 当弦AB被点P0平分时利用得出的斜率,再用点斜式求解化简成一般方程即可.‎ ‎【详解】（1）过点O做OG⊥AB于G,连结OA,当α=135°时,直线AB的斜率为-1,‎ 故直线AB的方程x+y-1=0, ∴OG=, ‎ ‎∵, ∴ ‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB, 直线OP0的斜率为－2,所以直线AB的斜率为．根据直线的点斜式方程,直线AB的方程为,即x－2y＋5＝0．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,常用垂径定理与斜率关系等,属于中等题型.‎ ‎ ‎