广东省广州市铁一中学2018届高三10月月考数学（理）试题（含解析）

广东省广州市铁一中学2018届高三10月月考数学（理）试题（含解析）

‎2017年广州市铁一中学高三理科数学10月月考试题 一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：∵集合，．‎ 故．‎ 故选．‎ ‎2．已知复数（其中是虚数单位），则的共轭复数是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：∵，‎ ‎∴．‎ 故选．‎ ‎3．下面四个条件中，使成立的充分而不必要条件是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由不能得到，例如，，故选项错误；‎ 由不能得到，例如，，故选项错误；‎ 由不能得到，例如，，故选项错误；‎ ‎∵∴，而由，不一定有，例如当，之一为负时．‎ 故选．‎ ‎4．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股（股勾）朱实黄实弦实，化简得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：如图，‎ 设勾为，则股为，‎ ‎∴弦为，‎ 则图中大四边形的面积为，‎ 小四边形的面积为，‎ 则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为，‎ ‎∴落在黄色图形内的图钉数大约为．‎ 故选．‎ ‎5．如图，在执行程序框图所示的算法时，若输入，，，的值依次是，，，，则输出的值为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据程序框图有：‎ 第一次循环，，输入，，；‎ 第二次循环，，输入，，；‎ 第三次循环，，输入，，；‎ 第四次循环，，输入，，；[来源:学,科,网]‎ 第五次循环，不满足，输出．‎ 故选．‎ ‎6．经过点，且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】当双曲线焦点在轴上，设其标准方程为，‎ 则其渐近线方程为，‎ 因为渐近线与圆相切，‎ 所以可得圆心到直线的距离为，‎ 即，‎ 解得；‎ 又因为经过点，‎ 所以，‎ 将代入整理，得，，‎ 此时双曲线的标准方程为．‎ 当双曲线焦点在轴上，设其标准方程为，‎ 渐近线为，‎ 则同理得，‎ 双曲线经过点，‎ 则，‎ 解得，（舍去）．‎ 故选．‎ ‎7．设函数，将的图象向左平移个单位长度后，所得图象与的图象重合，则的最小值是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查函数的图象与性质、三角函数的诱导公式，‎ 将的图象向右平移个单位长度后，‎ 所得图象的函数，‎ 又，‎ 根据题意可得，，‎ 又因为，‎ 所以当时，‎ 取得最小值．‎ ‎8．展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由第项的二项式系数最大，则：；‎ 又，‎ 则：，，‎ 所以常数项是：．‎ ‎9．若等边的边长为，平面内一点满足，则的值为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因，，‎ 则，‎ 即．‎ 故选．‎ ‎10．如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，为该三视图的几何原图，‎ 该几何图由半圆柱和四棱锥组成，‎ 在半圆柱中，‎ 底面直径为，侧棱长，‎ 在四棱锥中，侧面底面，‎ 且四棱锥的高为，底面为矩形．‎ 所以，该几何体的体积为．‎ ‎11．已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设直线与轴交点为，点坐标为，点坐标为．‎ 由于，‎ 解得或（舍去，因为点，位于轴的两侧），‎ 所以点坐标为，‎ 则直线的方程为，‎ 恒过点，，‎ ‎，‎ 所以，‎ 当且仅当，‎ 即时取等号，‎ 所以与面积之和的最小值为．‎ 故选．‎ ‎12．已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）．‎ ‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】解：由，‎ 整理得：，‎ 令，且，‎ 则，‎ 设，‎ 求导，‎ 计算得出：，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 则当时，，如图所示，‎ 根据题意可以知道方程有一个根在内，‎ 另一个根或或，‎ 当方程无意义，‎ 当时，，不满足题意；‎ 则，‎ 由二次函数的性质可以知道：，‎ 即，‎ 计算得出：．‎ 故选．‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．‎ ‎13．函数是奇函数，则等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数，‎ 又因为函数是奇函数，‎ 因此，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故本题正确答案为．‎ ‎14．已知点的坐标满足条件，那么的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出可行域如图所示，‎ 表示区域内的点到点的距离的平方，[来源:学科网ZXXK]‎ 由图知，此时为最大值；‎ 到直线的距离的平方为：，‎ 此时为最小值，由于没有取等号，‎ 所以取不到．‎ 故本题正确答案为．‎ ‎15．已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的体积为，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：三棱锥，‎ ‎、、三点均在球心的表面上，‎ 且，，，，‎ 外接圆的半径为：，‎ 的外接圆的圆心为，则⊙，‎ ‎∵，‎ 三棱锥的体积为，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，‎ 球的半径为：，‎ 球的表面积：，‎ 因此，本题正确答案为：．‎ ‎16．在中，，，分别为内角，，的对边，，，则的面积的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：在中，‎ ‎∵，[来源:学科网]‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 因此，本题正确答案是：．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（分）‎ 已知正项等差数列的前项和为，且满足，．‎ ‎（）求数列的通项公式．‎ ‎（）若数列满足，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（）设正项等差数列的首项为，公差为，，‎ 因为，‎ 解得或（舍），‎ 所以，‎ 又，‎ 解得，．‎ 故．‎ ‎（）因为，，‎ 所以，‎ 当时，‎ ‎，‎ 当时，满足上式，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎18．（分）‎ 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面，．‎ ‎（）求证：．‎ ‎（）若，，在上取点，使平面，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（）见解析．（）．‎ ‎【解析】（）证明：连接，则：‎ ‎∵，‎ ‎∴、、、共面，‎ ‎∵四边形是正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴．‎ ‎（）解：建立如图所示的坐标系，‎ 则，，，‎ 设，平面的法向量为，则：‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19．（分）‎ 有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的辆汽车所用时间的频数分布如下表：‎ 所用的时间（天数）‎ 通过公路的频数 通过公路的频数 假设汽车只能在约定日期（某月某日）的前天出发，汽车只能在约定日期的前天出发．（将频率视为概率）．‎ ‎（）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车和汽车应如何选择各自的路径．‎ ‎（）若通过公路、公路的“一次性费用”分别为万元、万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商万元．如果汽车、长期按（）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．‎ ‎【答案】（）汽车选择公路，汽车选择．（）汽车．‎ ‎【解析】（）频率分布表，如下：‎ 所用的时间（天数）‎ 通过公路的频率 通过公路的频率 设，分别表示汽车在前天出发选择公路、将货物运往城市乙；‎ ‎，分别表示汽车在前天出发选择公路、将货物运往城市乙；‎ ‎，，‎ 所以汽车应选择公路，‎ ‎，，‎ 所以汽车应选择公路．‎ ‎（）设表示汽车选择公路时，销售商付给生产商的费用，则，，，．‎ 的分布列如下：‎ ‎．‎ 所以表示汽车选择公路时的毛利润为（万元），‎ 设表示汽车选择公路时给生产商的费用，‎ 则，，，．‎ 则的分布列如下：‎ ‎，‎ 所以表示汽车选择公路时的毛利润为（万元）．‎ 因为，‎ 所以汽车为生产商获得毛利润更大．‎ ‎20．（分）‎ 已知椭圆的焦点在轴上，左右焦点分别为、，离心率，为椭圆上任意一点，的周长为．‎ ‎（）求椭圆的标准方程．‎ ‎（）过点且斜率不为的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，过点与的直线交轴于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】解：（）设椭圆的方程为，；‎ ‎∵（）．‎ ‎（），‎ ‎（），‎ 计算得出，，‎ ‎∴椭圆的方程为．‎ ‎（）设直线的方程为，‎ 与椭圆的方程联立，得，‎ 消去，得，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 设，，则，‎ 由根与系数的关系，得，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 令，‎ 得，‎ 将（）（）代入上式得．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当，‎ 即时取得“”，‎ ‎∴的面积存在最大值，最大值是．‎ ‎21．（分）‎ 已知函数，．[来源:学_科_网]‎ ‎（）若，求的单调区间．‎ ‎（）若有两个极值点，，记过点，的直线的斜率，问是否存在，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（）单调递增区间为和，单调递减区间为．（）不存在．‎ ‎【解析】解析：（）的定义域为，‎ 当时，，‎ 当或时，，‎ 当时，，‎ ‎∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．‎ ‎（），‎ 令，则．‎ ‎1．当，即时，，‎ ‎∴在上单调递增，此时无极值；‎ ‎2．当，即时，，‎ ‎∴在上单调递增，此时无极值；‎ ‎3．当，即或时，‎ 方程有两个实数根，，‎ 若，两个根，‎ 此时，则当时，，‎ ‎∴在上单调递增，此时无极值．‎ 若，的两个根，，不妨设，‎ 则当和时，，在区间和单调递增，‎ 当时，，在区间上单调递减，‎ 则在处取得极大值，‎ 在处取得极小值，‎ 且，，‎ ‎，‎ ‎，[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎，‎ 即，（*）‎ 即，‎ 令，则上式等价于：，‎ 令，‎ 则，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎∴在区间上单调递减，且，‎ 即在区间恒成立，‎ ‎∴在区间上单调递增，‎ 且，‎ ‎∴对，函数没有零点，‎ 即方程在上没有实根，‎ 即（*）式无解，‎ ‎∴不存在实数，‎ 使得．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．‎ 已知曲线，过点的直线的参数方程为（是参数），直线与曲线分别交于、两点．‎ ‎（）写出曲线和直线的普通方程．‎ ‎（）若，，成等比数列，求的值．‎ ‎【答案】（），．（）．‎ ‎【解析】（）曲线的直角坐标方程为；‎ 直线的普通方程为．‎ ‎（）将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，‎ 得，‎ ‎，‎ 设点，分别对应参数，，‎ 则，．‎ 由于，，，‎ ‎，，成等比数列，且，‎ 因此，即，‎ 故，‎ 解得或（舍），‎ 所以．‎ ‎23．（分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（）当时，解不等式．‎ ‎（）若存在满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（）．（）．‎ ‎【解析】（）当，，‎ 由得，‎ 当，，‎ 解得，所以，‎ 当，，‎ 解得，所以，‎ 当，，‎ 解得，所以，‎ 综上，原不等式的解为．‎ ‎（），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 原命题等价于，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎ ‎