历届高考数学真题汇编专题6_不等式_理

历届高考数学真题汇编专题6_不等式_理

‎【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题重庆理2】不等式的解集为 ‎ A. B. C. D. 对 ‎ ‎2.【2012高考真题浙江理9】设a大于0，b大于0.‎ A.若‎2a+‎2a=2b+3b，则a＞b B.若‎2a+‎2a=2b+3b，则a＞b C.若‎2a-2a=2b-3b，则a＞b D.若‎2a-2a=ab-3b，则a＜b ‎3.【2012高考真题四川理9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗原料‎1千克、原料‎2千克；生产乙产品1桶需耗原料‎2千克，原料‎1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过‎12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）‎ A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元 ‎【答案】C.‎ ‎【解析】设生产桶甲产品，桶乙产品，总利润为Z，‎ 则约束条件为，目标函数为，‎ 可行域为，当目标函数直线经过点M时有最大值，联立方程组得，代入目标函数得，故选C.‎ ‎4.【2012高考真题山东理5】已知变量满足约束条件，则目标函数 的取值范围是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点时，直线截距最大，此时最小，由 ‎，解得，此时，所以的取值范围是，选A.‎ ‎5.【2012高考真题辽宁理8】设变量x，y满足则的最大值为 ‎(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55‎ ‎6.【2012高考真题广东理5】已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为 A.12 B‎.11 C.3 D.-1‎ ‎7.【2012高考真题福建理5】下列不等式一定成立的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8.【2012高考真题江西理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 ‎4吨 ‎1.2万元 ‎0.55万元 韭菜 ‎6吨 ‎0.9万元 ‎0.3万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入减去总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 A．50，0 B．30，‎20 C．20，30 D．0，50‎ ‎【答案】B ‎【解析】设黄瓜的种植面积为,韭菜的种植面积为，则有题意知，即，目标函数 ‎，作出可行域如图,由图象可知当直线经过点E时，直线的解决最大，此时取得最大值，由，解得，选B.‎ ‎9.【2012高考真题湖北理6】设是正数，且，‎ ‎，，则 ‎ A． B． C． D． 10.【2012高考真题福建理9】若函数y=2x图像上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为 A． B‎.1 C. D.2‎ ‎【答案】Ｂ．‎ ‎ ‎ ‎【解析】如图当直线经过函数的图像与直线的交点时，函数的图像仅有一个点在可行域内，有方程组得，所以，故选Ｂ．‎ ‎11.【2012高考真题山东理13】若不等式的解集为，则实数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，所以，所以，故。‎ ‎12.【2012高考真题安徽理11】若满足约束条件：；则的取值范围为．‎ ‎13.【2012高考真题全国卷理13】若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最 大，此时最小,最小值为.‎ ‎14.【2012高考江苏13】（5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎15.【2012高考江苏14】（5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】条件 可化为：。‎ ‎16.【2012高考真题浙江理17】设aR，若x＞0时均有[(a－1)x－1]( x 2－ax－1)≥0，则a＝______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：‎ ‎(A)， 无解；‎ ‎(B)， 无解．‎ 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图)‎ 我们知道：函数y1＝(a－1)x－1，y2＝x 2－ax－1都过定点P(0，1)．‎ 考查函数y1＝(a－1)x－1：令y＝0，得M(，0)，还可分析得：a＞1；‎ 考查函数y2＝x 2－ax－1：显然过点M(，0)，代入得：，解之得：，舍去，得答案：．‎ ‎17.【2012高考真题新课标理14】 设满足约束条件：；则的取值范围为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大为，当直线经过点时，直线截距最大，此时最小，由，解得，即，此时，所以，即的取值范围是.‎ ‎ 【2011年高考试题】‎ 一、选择题:‎ ‎1.(2011年高考浙江卷理科5)设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是 ‎（A）14 （B）16 （C）17 （D）19‎ ‎2.(2011年高考浙江卷理科7)若为实数，则“”是的 ‎（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】 A ‎【解析】则因为 所以 即于是所以成立，充分条件；‎ ‎ 反之成立，即则 故，不必要条件。故选A ‎3.(2011年高考安徽卷理科4)设变量满足则的最大值和最小值分别为 ‎（Ａ）１，－１　　　（Ｂ）２，－２ 　（Ｃ）１，－２　 （Ｄ）２，－１‎ 当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.‎ ‎4. (2011年高考天津卷理科2)设则“且”是“”的 ‎ A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　　　　　 D．即不充分也不必要条件 ‎9. (2011年高考天津卷理科8)对实数与，定义新运算“”： 设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． 　　　B． 　‎ C． 　　D.‎ ‎11. (2011年高考江西卷理科3)若，则的定义域为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.‎ ‎12. (2011年高考江西卷理科4)若，则的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.‎ ‎13. (2011年高考湖南卷理科7)设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎14. (2011年高考广东卷理科5)已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为（ ）‎ A. B. C.4 D.3‎ ‎【解析】C.由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得当点M在点B的地方时，才最大。‎ ‎,所以，所以选择C ‎15．(2011年高考湖北卷理科8)已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为 A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]‎ ‎16．(2011年高考湖北卷理科9)若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的 A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C ‎ 解析：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.‎ ‎17.(2011年高考重庆卷理科2) “”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎25．(2011年高考上海卷理科15)若，且，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】D 二、填空题:‎ ‎1.(2011年高考浙江卷理科16)设为实数，若则的最大值是 .。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ o 第13题图 ‎ ，故的最大值为 ‎2. (2011年高考全国新课标卷理科13)若变量满足约束条件则的最小值为 。‎ 答案: -6 ‎ 解析：如图可知最优解是（4，-5），所以，‎ 点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。‎ ‎3．(2011年高考天津卷理科13)已知集合，则集合=________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,所以,所以;由绝对值的几何意义可得:,所以=.‎ ‎4. (2011年高考湖南卷理科10)设，且，则的最小值为 .‎ ‎5. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.‎ ‎【解析】。由题得 所以不等式的解集为。‎ ‎6.(2011年高考安徽卷江苏8)在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________‎ ‎7．(2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。‎ ‎【答案】或 三、解答题:‎ ‎1.(2011年高考安徽卷理科19)（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）设证明，‎ ‎（Ⅱ），证明.‎ ‎（Ⅱ）设，，由换底公式得 ‎，，，，故 要证：‎ 只要证明：，其中，‎ 由(Ⅰ)知所要证明的不等式成立。‎ ‎【解题指导】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。‎ 第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。‎ ‎2．(2011年高考广东卷理科21)（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2‎ 是方程的两根，记。‎ ‎（1）过点作L的切线教y轴于点 ‎ B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有 ‎（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X;‎ ‎（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．‎ ‎1）先证：‎ ‎ （）设 ‎ 当 ‎ 当 ‎ （）设 ‎ 当 ‎ 注意到 ‎ （3）求得的交点 ‎ 而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，‎ ‎ 由（１）线段Q1Q2，有 ‎ 当 ‎ ‎ ‎ 在（0，2）上，令 ‎ ‎ ‎3. (2011年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的表达式；‎ ‎(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）‎ ‎4. (2011年高考湖北卷理科21)（本小题满分14分）‎ ‎(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；‎ ‎(Ⅱ)设均为正数，证明：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2）若，则 本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想. ‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）的定义域为，令，解得，‎ 当时，，在（0，1）内是增函数；‎ 当时，，在内是减函数；‎ 故函数在处取得最大值 ‎（Ⅱ）‎ ‎（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，‎ ‎，从而有，得，‎ 求和得,‎ ‎,,即 ‎.‎ ‎5.(2011年高考全国卷理科22)（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：‎ 法二：‎ 所以是上凸函数，于是 因此 故 综上：‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010浙江理数）（7）若实数，满足不等式组且的最大值为9，则实数 ‎（A） （B） （C）1 （D）2‎ 解析：将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题 ‎（2010全国卷2理数）（5）不等式的解集为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（2010江西理数）3.不等式 的解集是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】 A ‎【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.，解得A。‎ 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。‎ ‎（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 A. 3 B. ‎4 C. D. ‎ 解析：考察均值不等式 ‎，整理得 ‎ 即，又，‎ ‎（2010重庆理数）（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为 A.—2 B. ‎4 C. 6 D. 8 ‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值6‎ ‎（2010北京理数）（7）设不等式组 表示的平面区域为D，若指数函数y=的图像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是 ‎ （A）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ]‎ 答案：A ‎（2010四川理数）（12）设，则的最小值是w_w w. k#s5_u.c o*m ‎（A）2 （B）4 （C） （D）5‎ 解析：‎ ‎＝ w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎＝‎ ‎≥0＋2＋2＝4‎ 当且仅当a－‎5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝,c＝满足条件.‎ 答案：B y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎（2010四川理数）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则w_w w. k#s5_u.c o*m 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ 答案：B w_w_w.k*s 5*u.c o*m ‎（2010全国卷1理数）（8）设a=2,b=ln2,c=,则 ‎（A） a0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。‎ ‎（2010江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。‎ ‎[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。‎ ‎，，，的最大值是27。‎ ‎（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 ‎ (I)求sinC的值；‎ ‎(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．‎ 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。‎ ‎（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求．‎ ‎【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况.‎ ‎【参考答案】‎ 由cos∠ADC=＞0，知B＜.‎ 由已知得cosB=，sin∠ADC=.‎ 从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.‎ 由正弦定理得 ，所以=.‎ ‎【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.‎ ‎（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎ （Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎（2010江西理数）17.（本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎(1) 当m=0时，求在区间上的取值范围；‎ ‎(2) 当时，，求m的值。‎ ‎（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.‎ 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。‎ 解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)‎ P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) w_w w. k#s5_u.c o*m 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 ‎[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2‎ 又sin‎2A＋cos‎2A＝1，∴sinA＝,cosA＝‎ 由题意，cosB＝,得sinB＝‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝w_w w. k#s5_u.c o*m 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分 ‎（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值。‎ ‎【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。‎ ‎（Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 ‎（2010广东理数）16、（本小题满分14分）‎ 已知函数在时取得最大值4．　‎ ‎(1) 求的最小正周期；‎ ‎(2) 求的解析式；‎ ‎(3) 若(α +)=,求sinα．[中学]‎ ‎，，，，．[来 ‎（2010山东理数）‎ ‎（2010湖南理数）16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（II）求函数的零点的集合。‎ ‎（2010湖北理数） 16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数f(x)=‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。‎ ‎（2010福建理数）19．（本小题满分13分）‎ ‎。‎ ‎，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。‎ ‎（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎（2）假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。‎ 此时，在中，，故可设计航行方案如下：‎ 航行方向为北偏东，航行速度为‎30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。‎ ‎（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）‎ ‎ 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 ‎。‎ ‎ (Ⅰ)求角的值；‎ ‎(Ⅱ)若，求（其中）。‎ ‎（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）‎ 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=‎4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为‎125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。‎ ‎（1），同理：，。‎ ‎ AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。‎ 因为，则，所以当时，-最大。‎ 故所求的是m。‎ ‎（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）‎ 已知△ABC的三边长都是有理数。‎ （1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。‎ ‎∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，‎ ‎∴是有理数。‎ 即当时，结论成立。‎ 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎9．（2009·天津理6）设若的最小值为 ‎ A 8 B ‎4 C 1 D ‎ ‎【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。‎ 解析：因为，所以，‎ ‎，当且仅当即时“=”成立，故选择C ‎11．（2009·天津理10）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：由题得不等式＞即 ‎，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即 ‎13.（2009·山东12）设x，y满足约束条件 ， ‎ 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，‎ 则的最小值为( ). ‎ A. B. C. D. 4‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ ‎14. (宁夏海南文理6)设满足则 ‎（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 ‎（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 答案：B 解析：画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B ‎15．(福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 A. -5 B. ‎1 C. 2 D. 3 ‎ ‎16．(山东5)在R上定义运算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ).‎ A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2) ‎ 解析：:根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B.‎ 答案:B.‎ ‎10．(2009·山东13) 不等式的解集为 .‎ 解析：:原不等式等价于不等式组①或②‎ 或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为. ‎ 答案: ‎ ‎11. (2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是 ．‎ ‎13.（2009·山东文16）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.‎ 解析：:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: ‎ ‎ 产品 ‎ 设备 ‎ A类产品 ‎ ‎(件)(≥50) ‎ B类产品 ‎ ‎(件)(≥140) ‎ 租赁费 ‎ ‎(元) ‎ 甲设备 ‎ ‎5 ‎ ‎10 ‎ ‎200 ‎ 乙设备 ‎ ‎6 ‎ ‎20 ‎ ‎300 ‎ 则满足的关系为即:,‎ 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.‎ x ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ y ‎ O ‎ ‎-2 ‎ z=ax+by ‎ ‎3x-y-6=0 ‎ x-y+2=0 ‎ 答案:2300‎ ‎14. (2009·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值 是 ．‎ 答案： 4 ‎ 解析：通过画出其线性规划，可知直线过点时，‎ 三、解答题 ‎2. (宁夏海南24)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.‎ ‎（1）将y表示成x的函数；‎ ‎（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？ ‎ ‎3. (江苏12) 20．(本小题满分16分) ‎ 设为实数，函数. ‎ ‎(1)若，求的取值范围； ‎ ‎(2)求的最小值； ‎ ‎(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.‎ ‎[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 ‎（1）若，则 ‎（2）当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 综上 ‎（3）时，得，‎ 当时，；‎ 当时，△>0,得：‎ 讨论得：当时，解集为;‎ 当时，解集为;‎ 当时，解集为.‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎4．（2008·山东理）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 ‎（A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]‎ 解析：本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然，只需要研究过、两种情形。且即 答案：C ‎4．（2008·广东理）若变量满足则的最大值是（ ）‎ A．90 B．‎80 ‎C．70 D．40‎ 解析：画出可行域（如图），在点取最大值 答案：C ‎5．（2008·山东理）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 .‎ ‎6．（2008·广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ．‎ ‎7．（2008·江苏）的最小值为 。‎ 解析：本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得 ‎，当且仅当时取“=”。‎ 答案：3‎ ‎8．(2008·山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______.‎ 答案：‎ 解析：画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为 ‎【2007年高考试题】‎ ‎2．（2007·山东文理2）．已知集合，则（B）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎3.已知集合,,则=‎ ‎ A．{x|-1≤x＜1} B．{x |x>1} C．{x|-1＜x＜1} D．{x |x≥-1}‎ 解析：,故,选(C).‎ ‎3．（2007·广东理14）（不等式选讲选做题）设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；‎ 答案：6；‎ ‎4．（2007·山东理16）函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_______.‎