历届高考数学真题汇编专题10_圆锥曲线_理
【2006高考试题】
一、选择题（共29题）
1．（安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
2．（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
3．（福建卷）已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,]
解析：双曲线的渐近线与过右焦点的直线平行，或从该位置绕焦点旋转时，直线与双曲线的右支有且只有一个交点，∴≥k，又k≥，选C
4.（广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于
A. B. C. 2 D. 4
解析：依题意可知 ，，故选C.
5．（湖北卷）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
6．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
A. B. C. D.
7．（江苏卷）已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足 ＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为
（A） （B） （C） （D）
【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，抛物线的定义.
8．（江西卷）设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4，则点A的坐标是（ ）
A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)
解：F（1，0）设A（，y0）则＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由
· ＝－4Þy0＝±2，故选B
9．（江西卷）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
10．（辽宁卷）双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
(A) (B) (C) (D)
【解析】双曲线的两条渐近线方程为，与直线围成一个三角形区域时有。
11．（辽宁卷）曲线与曲线的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
12．（辽宁卷）直线与曲线 的公共点的个数为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】将代入得：
，显然该关于的方程有两正解，即x有四解，所以交点有4个，故选择答案D。
【点评】本题考查了方程与曲线的关系以及绝对值的变换技巧，同时对二次方程的实根分布也进行了简单的考查。
13．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
解：方程的两个根分别为2，，故选A
14．（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
A． B． C． D．
解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m<0，且双曲线方程为，∴ m=，选A.
15．（全国卷I）抛物线上的点到直线距离的最小值是
A． B． C． D．
解：设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.
16．（全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C
17．（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为
（A） (B) (C) (D)
解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
19．（山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为
(A) (B)2 (C) (D)2
解：不妨设双曲线方程为（a>0，b>0），则依题意有，
据此解得e＝，选C
20．(陕西卷)已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为
A.2 B. C. D.
解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
21．（四川卷）已知两定点，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于
（A） （B） （C） （D）
解：两定点，如果动点满足，设P点的坐标为(x，y)，
则，即，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π，选B.
22．（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为
（A）48 （B）56 （C）64 （D）72
23．（天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ ）
A． B． C． D．
解析：如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴ ，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.
24．（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
25．（浙江卷）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则m=
（A） （B） （C） （D）
解：双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ，则离心率e=3，∴ ，m=，选C.
26．（浙江卷）抛物线的准线方程是
(A) (B) (C) (D)
解：2p＝8，p＝4，故准线方程为x＝－2，选A
27．(重庆卷)设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的
（A）充要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要
28．（上海春）抛物线的焦点坐标为( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
解：（直接计算法）因为p=2 ，所以抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．应选B．
29．（上海春）若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程 表示双曲线时，k=-4
是可以的，这不在k>3里．故应该选A．
二、填空题（共8题）
30．（江西卷）已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点．下面四个命题
Ａ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｂ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｃ．的内切圆的圆心必在直线上；
Ｄ．的内切圆必通过点．
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
31．（山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，
则y12+y22的最小值是 .
解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。
32．（山东卷）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
解：已知为所求；
33．(上海卷)若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，
则、分别应满足的条件是 ．
解：作出函数的图象，
如右图所示：
所以，；
34．(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.
解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.
35．(上海卷)若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.
解：曲线得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线没有公共点，则的取值范围是[－1，1].
36．（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;
37（浙江卷）双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于 。
解析：双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，即离心率e=3，所以，m=.
三、解答题（共29题）
O
F
x
y
P
M
H
38．（安徽卷）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当
时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。
39．（北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）
（1） 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），
B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1°
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2
综上可知的最小值为2
40．（北京卷）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=.
（I）求椭圆C的方程；
（II）若直线L过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,
代入③得＝，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
41．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段
AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为 令得
点G横坐标的取值范围为
42．（福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；
（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线上，求直线AB的方程。
本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。
（II）设直线AB的方程为
代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根，
记中点则
线段AB的中点N在直线上，
，或
当直线AB与轴垂直时，线段AB的中点F不在直线上。
直线AB的方程是或
43．（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。
（Ⅰ）、求椭圆的方程；
（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。
点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。
将代入，化简得·＝（2－x0）.
∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，
故点B在以MN为直径的圆内。
44．（湖南卷）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（II）解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为．
A
y
B
O
x
由消去得…①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
由 消去y得. ………………②
因为C2的焦点在直线上，所以.
或．
由上知，满足条件的、存在，且或，．
解法二： 设A、B的坐标分别为，．
因为AB既过C1的右焦点，又过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
45．（湖南卷）已知椭圆C1：，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.
（Ⅰ）当轴时，求p、m的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；
（Ⅱ）若且抛物线C2的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程.
解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为
x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）.
因为点A在抛物线上，所以，即.
此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.
（Ⅱ）解法一 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.
由消去y得. ……①
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程①的两根，x1＋x2＝.
解法二 当C2的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为.
由消去y得. ……①
因为C2的焦点在直线上，
所以，即.代入①有.
即. ……②
设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
则x1,x2是方程②的两根，x1＋x2＝.
由消去y得. ……③
解法三 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）,
因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，
所以.
即. ……①
由（Ⅰ）知，于是直线AB的斜率， ……②
且直线AB的方程是,
所以. ……③
又因为，所以. ……④
将①、②、③代入④得，即.
当时，直线AB的方程为；
当时，直线AB的方程为.
46．（江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）.
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力。
O
P
A
F
B
D
x
y
47．（江西卷）如图，椭圆的右焦点为，过点的一动直线绕点转动，并且交椭圆于
两点，为线段的中点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若在的方程中，令，
．设轨迹的最高点和最
低点分别为和．当为何值时，为一个正三角形？
解：如图，（1）设椭圆Q：（a>b>0）
上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则
1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，
由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0
2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）
2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）
故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0
48．（辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为
(I) 证明线段是圆的直径;
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求P的值。
【解析】(I)证明1:
整理得:
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段是圆的直径
证明3:
整理得: ……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段是圆的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
又因
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值,由题设得 .
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则
因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
又因
49．（辽宁卷）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为．
（1）证明线段是圆的直径；
（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值．
解析：本小题主要考查平面向量的基本运算，圆与抛物线的方程，点到直线的距离等基础知识，以及综合运用解析几何知识解决问题的能力。
（I）证法一：
即
整理得......................12分
设点M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则
即
展开上式并将①代入得
故线段是圆的直径。
证法二：
即，
整理得①……3分
若点在以线段为直径的圆上，则
去分母得
点满足上方程，展开并将①代入得
所以线段是圆的直径.
（Ⅱ）解法一：设圆的圆心为，则
，
又
所以圆心的轨迹方程为：
设圆心到直线的距离为，则
当时，有最小值，由题设得……14分
因为与无公共点.
所以当与仅有一个公共点时，该点到的距离最小，最小值为
将②代入③，有…………14分
解法三：设圆的圆心为，则
若圆心到直线的距离为，那么
又
当时，有最小值时，由题设得
50．（全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：
（Ⅰ）点M的轨迹方程； （Ⅱ）的最小值。
51．（全国卷I）设P是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。
解: 依题意可设P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|=,又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2
=(1－a2)(y－ )2－+1+a2 .
因为|y|≤1,a>1, 若a≥, 则||≤1, 当y=时, |PQ|取最大值;
若1
0)
（2）直线ME的方程为
由得
同理可得
设重心G（x, y），则有
O
A
B
P
F
消去参数得
2．（江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB.
解：（1）设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，
所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：
方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：
即
所以P点到直线BF的距离为：
所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
②当时，直线AF的方程：
直线BF的方程：
所以P点到直线AF的距离为：
同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.
3. (重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。
而
于是 ②
由①、②得
故k的取值范围为
4. (重庆卷) 已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程；
(2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值范围为
5. (浙江) 17．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．
（II）设P(
当时，
当时,
只需求的最大值即可。
直线的斜率，直线的斜率
当且仅当=时，最大，
6. （天津卷）抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.
设点的坐标为，由，则．
将③式和⑥式代入上式得，即．
∴线段的中点在轴上．
（Ⅲ）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为．
由③式知，代入得．
将代入⑥式得，代入得．
因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为
，．
于是，，
．
因为钝角且、、三点互不相同，故必有．
求得的取值范围是或．又点的纵坐标满足，故当时，；当时，．即
7. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.
(1)求抛物线方程;
(2)过M作MN⊥FA, 垂足为N,求点N的坐标;
(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.
由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,
当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.
当m≠4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,
圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d>2,解得m>1
∴当m>1时, AK与圆M相离;
当m=1时, AK与圆M相切;
当m<1时, AK与圆M相交.
8. （上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
(2) 直线AP的方程是－+6=0.
设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2.
椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
9. （山东卷）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
（1）当时，即时，所以，所以由①知：所以因此直线的方程可表示为，即所以直线恒过定点
（2）当时，由，得==
将①式代入上式整理化简可得：，所以，
此时，直线的方程可表示为即
所以直线恒过定点
所以由（1）（2）知，当时，直线恒过定点，当时直线恒过定点.
10. (全国卷Ⅰ)）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。
（II）证明：（1）知，所以椭圆可化为
设，由已知得
11. (全国卷Ⅰ) 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
解：设椭圆方程为
则直线AB的方程为
化简得.
令则
共线，得
又
∴
∴即，∴
∴
故离心率为
Q
P
N
M
F
O
12. (全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1
将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则
从而
亦即
②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。
13．(全国卷III) 设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，求直线的方程.
解：（Ⅰ）∵抛物线，即，
∴焦点为………………………………………………………1分
（1）直线的斜率不存在时，显然有………………………………3分
（2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线：y=kx+b 由已知得：
……………5分
……………7分
即的斜率存在时，不可能经过焦点……………………………………8分
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F…………………………9分
14、(全国卷III)
设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。
21．解：（Ⅰ）两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是轴的平行线，，依题意不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
15.（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，
使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2
的正切值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为
由P在椭圆上，得
由，所以 ………………………3分
证法二：设点P的坐标为记
则
由
解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则
因此 ①
由得 ②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分
解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是
③
④
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；
当时，不存在满足条件的点M.………………………11分
当时，记，
由知，所以…………14分
16．（湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l
与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；
（Ⅲ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是
所以 因为点M在椭圆上，所以
即
解得
（Ⅱ）当时，，所以 由△MF1F 2 的周长为6，得
所以 椭圆方程为
（Ⅲ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即
设点F1到l的距离为d，由
得 所以
即当△PF1F 2 为等腰三角形.
17．（湖南卷）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
（Ⅰ）证明：λ＝1－e2；
（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
（Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.
所以点M的坐标是（）. 由
即
（Ⅱ）解法一：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即
设点F1到l的距离为d，由
得 所以
即当△PF1F 2 为等腰三角形.
解法二：因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，
设点P的坐标是，
则
由|PF1|=|F1F2|得
两边同时除以4a2，化简得 从而
于是. 即当时，△PF1F2为等腰三角形.
18.．（湖北卷）设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
解法2：设
依题意，
（II）解法1：代入椭圆方程，整理得
③
③的两根，
于是由弦长公式可得
④
故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角
⑧
由⑥式知，⑧式左边=
由④和⑦知，⑧式右边=
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆
19. （福建卷）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot
∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
（I）解法一：直线， ①
过原点垂直的直线方程为， ②
解①②得
∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为 ③
（II）解法一：设M（），N（）.
当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得
点O到直线MN的距离
即
即
整理得
当直线m垂直x轴时，也满足.
故直线m的方程为
或或
经检验上述直线均满足.
所以所求直线方程为
或或
解法二：设M（），N（）.
当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得
∵E（－2，0）是椭圆C的左焦点，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
以下与解法一相同.
∴=，整理得
解得或
故直线m的方程为或或
经检验上述直线均满足
所以所求直线方程为或或
20.（北京卷）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．
（I）分别用不等式组表示W1和W2；
（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；
（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．
（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合，
当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．
由，得
由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2－m2≠0且
△=>0
设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，
则, ,
设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，
由得
从而，
所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,
于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．
（21）（广东卷）在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
【2004高考试题】
2.（湖北）
直线的右支交于不同的两点A、B.
（I）求实数k的取值范围；
（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得
……②
3. （湖南）
如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.
（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:；
（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.
解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，
得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
4.（重庆）
设是一常数，过点的直线与抛物线交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程
Y
解法一：由题意，直线AB不能是水平线， 故可设直线方程为：.
又设，则其坐标满足
消去x得
由此得
因此.
故O必在圆H的圆周上.
又由题意圆心H（）是AB的中点，故
由前已证，OH应是圆H的半径，且.
从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.
此时，直线AB的方程为：x=2p.
解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x
－2p
又设，则其坐标满足
分别消去x，y得
故得A、B所在圆的方程
明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，
【2003高考试题】
67.（2003上海春，21）设F1、F2分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C
的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
图8—2
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.
68.（2002上海春，18）如图8—2，已知F1、F2为双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；
（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．
70.（2002全国理，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2．求m的取值范围．
图8—3
71.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如图8—3.
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
72.（2002江苏，20）设A、B是双曲线x2＝1上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?
73.（2002上海，18）已知点A（，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长．
74.（2001京皖春，22）已知抛物线y2＝2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
75.（2001上海文，理，18）设F1、F2为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
76.（2001全国文20，理19）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
77.（2001上海春，21）已知椭圆C的方程为x2+=1，点P（a，b）的坐标满足a2+≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.
78.（2001广东河南21）已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴.
求证：直线AC经过线段EF的中点.
图8—4
79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A、F分别是椭圆＝1的一个顶点与一个焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t，0）与F的连线交射影OA于Q．求：
（1）点A、F的坐标及直线TQ的方程；
（2）△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f（t）及其函数的最小值；
（3）写出S=f（t）的单调递增区间，并证明之．
80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A和B为抛物线y2＝4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CＤ|，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．
图8—5 图8—6 图8—7
82.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线离心率．
图8—8
83.（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．
84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
注：文科题设还有条件a≠1
85.（1999上海，22）设椭圆C1的方程为=1（a＞b＞0），曲线C2的方程为y=，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.
（Ⅰ）试用a表示点P的坐标.
（Ⅱ）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S（a）的值域；
（Ⅲ）设min｛y1，y2，…，yn｝为y1，y2，…，yn中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=min｛g（a），S（a）｝的表达式.
86.（1998全国理，24）设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.
（Ⅰ）写出曲线C1的方程；
（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（）对称；
（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=－t且t≠0.
图8—9
87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l1和l2相交于点M，
l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.
88.（1998上海理，20）（1）动直线y=a与抛物线y2=（x－2）相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），求线段AB中点M的轨迹C的方程；
（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值.
89.（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.
（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；
（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f（m）的表达式；
（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为，求此直线的方程；
（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围.
90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.
（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；
（Ⅱ）（理）若|A1B1|＝|A2B2|，求l1、l2的方程.
图8—10
（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.
91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A，斜率为k.
（1）求双曲线S的方程；
（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；
（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图8—10.
图8—11
92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，
＝1，直线L：＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
93.（1995上海，24）设椭圆的方程为＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，
（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；
（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，］上变化时，求S的最小值u；
（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范围.
94.（1995全国文，26）已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
95.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（－1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.
96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
●答案解析
1.答案：D
解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：.因为a＞b＞0，因此，＞0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.
解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.
评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.
3.答案：A
解析：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值
∵|PQ|=|PF2|，
∴|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值.
5.答案：D
解析：∵θ∈（0，），∴sinθ∈（0，），
∴a2=tanθ，b2=cotθ
∴c2=a2+b2=tanθ+cotθ，
∴e2=，∴e=，
∴e∈（，+∞）
7.答案：D
解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d
∴d=|x|+|y|=|cosθ|+|sinθ|
设θ∈［0，］
∴d=sinθ+cosθ=sin（θ+）
∴dmax=.
图8—12
8.答案：B
解法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x
∴点P（1，0）为该抛物线的焦点
由定义，得：曲线上到P点，距离最小的点为抛物线的顶点.
解法二：设点P到曲线上的点的距离为d
∴由两点间距离公式，得
d2=（x－1）2+y2=（t2－1）2+4t2=（t2+1）2
∵t∈R ∴dmin2=1 ∴dmin=1
9.答案：C
解析：由F1、F2的坐标得2c＝3－1，c＝1，
又∵椭圆过原点a－c＝1，a＝1＋c＝2，
又∵e＝，∴选C.
10.答案：B
解析：设点Q的坐标为（，y0），
由 |PQ|≥|a|，得y02+（－a）2≥a2.
整理，得：y02（y02+16－8a）≥0，
∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.
即a≤2+恒成立.而2+的最小值为2.
∴a≤2.选B.
13.答案：C
解析：渐近线方程为y=±x，由·（－）＝－1，得a2＝b2，
∴c＝a，e＝．
14.答案：B
解析：y=－x2的标准式为x2＝－y，∴p＝，焦点坐标F（0，－）．
15.答案：D
解析：x=化为x2＋3y2＝1（x＞0）．
16.答案：D
解析：由已知xy=1可知x、y同号且不为零，而A、B、C选项中尽管都满足xy=1，但x、y的取值范围与已知不同.
17.答案：A
解析：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A.
评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向.
20.答案：B
解法一：由已知得t＝，代入y＝1－t2中消去t，得y＝1，故选B.
解法二：令t＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B适合，故选B.
评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力．
21.答案：C
解析：由已知得方程为=1
由于θ∈（，π），因此sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＜|cosθ|
∴原方程表示长轴在y轴上的椭圆.
22.答案：C
解析：原方程化为=1
由于k＞1，因此它表示实轴在y轴上的双曲线.
25.答案：D
解析：R中不存在x，使得f（x）≤g（x），即是R中的任意x都有f（x）>g（x），
故选D.
26.答案：B
解析：可得a＝3，b＝5，c＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.
评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力．
27.答案：B
解析：把已知方程化为=1，∴a=5，b=3，c=4
∵椭圆的中心是（3，－1），
∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.
28.答案：A
解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为c，则有，
又c2=a2+b2，∴4ab=c2，两边平方，得16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以a4
，并整理，得3e4－16e2+16=0
∴e2=4或e2=.
而0＜a＜b，得e2=＞2，∴e2=4.故e=2.
评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.
30.答案：C
解法一：将双曲线方程化为标准形式为x2－＝1，其焦点在x轴上，且a=1，b=，故其渐近线方程为y＝±x＝±x，所以应选C.
解法二：由3x2－y2＝0分解因式得y＝±x，此方程即为3x2－y2＝3的渐近线方程，故应选C.
评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质.
31.答案：D
解析：原方程可变为＝1，因为是焦点在y轴的椭圆，所以，解此不等式组得0
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