历届高考数学真题汇编专题13_统计_理

历届高考数学真题汇编专题13_统计_理

‎【2012年高考试题】‎ ‎1.【2012高考真题上海理17】设，，随机变量取值 的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．与的大小关系与的取值有关 ‎2.【2012高考真题陕西理6】从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为，，则（ ）‎ A. ，‎ B. ，‎ C. ，‎ D. ，‎ ‎3.【2012高考真题山东理4】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为 ‎（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15‎ ‎4.【2012高考真题江西理9】样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为 A． B． C． D．不能确定 ‎5.【2012高考真题湖南理4】设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（，）‎ C.若该大学某女生身高增加‎1cm，则其体重约增加‎0.85kg D.若该大学某女生身高为‎170cm，则可断定其体重比为‎58.79kg ‎【答案】D ‎【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.‎ ‎6.【2012高考真题安徽理5】甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 ‎ 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ‎ ‎ 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ‎ 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ‎ 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 甲的成绩的方差为，乙的成绩的方差为．‎ ‎7.【2012高考真题天津理9】某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.‎ ‎8.【2012高考江苏2】（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．‎ ‎【答案】15。‎ ‎【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由 知应从高二年级抽取15名学生。‎ ‎ ‎ ‎9.【2012高考真题辽宁理19】(本小题满分12分)‎ ‎ 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。‎ ‎ (Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别 有关？‎ ‎ (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽 样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X。若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差。‎ 附：‎ ‎【答案】‎ ‎【2011年高考试题】‎ 一、选择题:‎ ‎1. (2011年高考山东卷理科7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ ‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为[.Com]‎ ‎(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 ‎3. (2011年高考湖南卷理科4)通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得，.‎ 附表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是 ‎ A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎5．(2011年高考陕西卷理科9)设，，， 是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 ‎（A）x和y相关系数为直线l的斜率 ‎（B）x和y的相关系数在0到1之间 ‎（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 ‎（D）直线过点 ‎【答案】D ‎【解析】：由得又，所以则直线过点，故选D ‎6. (2011年高考四川卷理科1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) ‎1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是( )‎ ‎ (A) (B) (C) （D）‎ 答案：B 解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.‎ 二、填空题:‎ ‎3. (2011年高考广东卷理科13)某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm、和‎182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.‎ ‎【解析】‎185cm.‎ ‎4.(2011年高考安徽卷江苏6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差 三、解答题:‎ ‎1. (2011年高考辽宁卷理科19)（本小题满分12分）‎ ‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.‎ ‎ （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎ （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.‎ 解析：（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且 ‎ ‎ 即X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是：‎ ‎.‎ ‎2. (2011年高考全国新课标卷理科19)（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎ B配方的频数分布表 指标值分组 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎8‎ ‎（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为 ‎ 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）‎ ‎3. (2011年高考广东卷理科17)（本小题满分13分）‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。‎ ‎ （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品 ‎ 故乙厂生产有大约（件）优等品，‎ ‎ （3）的取值为0，1，2。‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故 ‎4．(2011年高考北京卷理科17)本小题共13分 以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎ （Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎ （Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。‎ ‎ （注：方差，其中为，，…… 的平均数）‎ 解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ ‎）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19.‎ ‎5．(2011年高考福建卷理科19)（本小题满分13分）‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎ （2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以 ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010广东理数）‎ ‎8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ）‎ A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 ‎（2010广东理数）7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p（X>4）=（ ）‎ A、0.1588 B、‎0.1587 C、0.1586 D0.1585‎ ‎7．B．=0.3413，[中学]‎ ‎=0.5-0.3413=0.1587．[高 ‎（2010山东理数）（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ‎（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种 ‎【答案】B ‎（2010山东理数）‎ ‎（2010山东理数）‎ ‎（2010湖北理数）6．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为 A．26, 16, 8, B．25，17，8 ‎ C．25，16，9 D．24，17，9‎ ‎（2010北京理数）（11）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。‎ 答案：0.030 3‎ ‎（2010湖南理数）9．已知一种材料的最佳入量在‎110g到‎210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g ‎（2010安徽理数）15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。‎ ‎①； ②； ③事件与事件相互独立；‎ ‎④是两两互斥的事件； ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关 ‎15.②④‎ ‎【解析】易见是两两互斥的事件，而 ‎。‎ ‎【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化 ‎，可知事件B的概率是确定的.‎ ‎2. （2010湖北理数）14．某射手射击所得环数的分布列如下：‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P x ‎0.1‎ ‎0.3‎ y 已知的期望E=8.9，则y的值为 .‎ ‎14.【答案】0.4‎ ‎【解析】由表格可知：‎ 联合解得.‎ ‎（2010福建理数）13．某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。‎ ‎4 . （2010江苏卷）‎ ‎4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于‎20mm。‎ ‎[解析]考查频率分布直方图的知识。‎ ‎100×（0.001+0.001+0.004）×5=30‎ ‎ ‎ ‎（2010浙江理数）19.(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．‎ ‎（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；‎ ‎(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．‎ ‎（2010江西理数）18. （本小题满分12分）‎ 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。‎ （1） 求的分布列；‎ （2） 求的数学期望。‎ ‎（2010广东理数）17.(本小题满分12分) [中学]‎ 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．‎ ‎ （1）根据频率分布直方图，求重量超过‎505克的产品数量．‎ ‎ （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过‎505克的产品数量，求Y的分布列．‎ ‎ （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过‎505克的概率．‎ ‎（2010湖南理数）17．（本小题满分12分）‎ 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图 ‎（Ⅰ）求直方图中x的值 ‎（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。‎ ‎（2010福建理数）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎9‎ P 所以=。‎ ‎（2010安徽理数）21、（本小题满分13分）‎ ‎ 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。‎ ‎ 现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 ‎，‎ 则是对两次排序的偏离程度的一种描述。‎ ‎ (Ⅰ)写出的可能值集合；‎ ‎(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；‎ ‎(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，‎ ‎(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；‎ ‎(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎11．( 2009·山东理)某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的 ‎ 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品‎96 98 100 102 104 106 ‎ ‎0.150 ‎ ‎0.125 ‎ ‎0.100 ‎ ‎0.075 ‎ ‎0.050 ‎ 克 ‎ 频率/组距 ‎ 第8题图 ‎ 净重的范围是96，106：，样本数据分组为96，98），98，100),‎ ‎100，102)，102，104),104，106：,已知样本中产品净重小于 ‎100克的个数是36，则样本中净重大于或等于‎98克并且 小于‎104克的产品的个数是( )．‎ A．90 B．‎75 C． 60 D．45‎ 解析：:产品净重小于‎100克的概率为(0．050+0．100)×2=0．300, ‎ 已知样本中产品净重小于‎100克的个数是36,设样本容量为,‎ 则,所以,净重大于或等于‎98克并且小于 ‎104克的产品的概率为(0．100+0．150+0．125)×2=0．75,所以样本 中净重大于或等于‎98克并且小于‎104克的产品的个数是 ‎120×0．75=90．故选A．‎ 答案:A 命题立意：:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据．‎ ‎16．（2009·宁夏海南理）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2． 由这两个散点图可以判断。‎ ‎（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 ‎（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 解析：由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C ‎6．（2009·广东理）已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．‎ 解析：由题知，，，解得，．‎ ‎11．（2009·江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： ‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎7‎ 乙班 ‎6‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 则以上两组数据的方差中较小的一个为= ． ‎ 解析： 考查统计中的平均值与方差的运算。‎ 甲班的方差较小，数据的平均值为7，‎ 故方差 ‎ ‎12．（2009·辽宁理）‎ 某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1：2：1，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980h，1020h，1032h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 h．‎ ‎13．（2009·天津理）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取____名学生。‎ 考点定位：本小题考查分层抽样，基础题。‎ 解析：C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名。‎ ‎13．（2009·广东理）（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5． ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率．‎ ‎（结果用分数表示．已知，， ，）‎ ‎14．（2009·浙江理）（本题满分14分）在这个自然数中，任取个数．‎ ‎ （I）求这个数中恰有个是偶数的概率；‎ ‎ （II）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数 和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 解析：（I）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；． ‎ ‎（II）随机变量的取值为的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以的数学期望为 ． ‎ ‎15．( 2009·山东理)(本小题满分12分)‎ ‎ 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0．25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0．03 ‎ ‎ P1 ‎ ‎ P2 ‎ P3 ‎ P4 ‎ （1） 求q的值； ‎ （2） 求随机变量的数学期望E;‎ （3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。‎ ‎（2）当=2时, P1= ‎ ‎=0．75 q( )×2=1．5 q( )=0．24‎ 当=3时, P2 ==0．01,‎ 当=4时, P3==0．48,‎ 当=5时, P4=‎ ‎=0．24‎ 所以随机变量的分布列为 ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎2 ‎ ‎ 3 ‎ ‎ 4 ‎ ‎ 5 ‎ ‎ p ‎ ‎0．03 ‎ ‎ 0．24 ‎ ‎ 0．01 ‎ ‎0．48 ‎ ‎0．24 ‎ 随机变量的数学期望 ‎17．（2009·安徽理）（本小题满分12分）‎ ‎ 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值（即数学期望）．‎ 本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。本小题满分12分。‎ 解：随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X的均值为 附：X的分布列的一种求法 共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎⑤‎ ‎⑥‎ A—B—C—D A—B—C ‎└D A—B—C ‎└D A—B—D ‎└C A—C—D ‎└B 在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。‎ ‎18．（2009·安徽文）（本小题满分12分）‎ ‎ 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照 试验，两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：． ‎ 品种A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，‎ ‎ 415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454‎ 品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397‎ ‎ 397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430‎ ‎（Ⅰ）完成所附的茎叶图 ‎（Ⅱ）用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？． ‎ ‎（Ⅲ）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论。‎ 思路：由统计知识可求出A、B两种品种的小麦稳定性大小并画出茎叶图，用茎叶图处理数据，看其分布就比较明了。． ‎ 解析：（1）茎叶图如图所示 A B ‎9 7‎ ‎35‎ ‎8 7‎ ‎36‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎37‎ ‎1 4‎ ‎8‎ ‎38‎ ‎3 5 6‎ ‎9 2‎ ‎39‎ ‎1 2 4 457 7‎ ‎5 0‎ ‎40‎ ‎0 1 1 3 6 7‎ ‎5 4 2‎ ‎41‎ ‎0 2 5 6‎ ‎7 3 3 1‎ ‎42‎ ‎2‎ ‎4 0 0‎ ‎43‎ ‎0‎ ‎5 5 3‎ ‎44‎ ‎4 1‎ ‎45‎ ‎20．（2009·辽宁理）（本小题满分12分）‎ 某人向一目射击4次，每次击中目标的概率为。该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1：3：6。击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比。‎ ‎（Ⅰ）设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P（A） ‎ 解：（Ⅰ）依题意X的分列为． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．‎ ‎ B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i=1，2．‎ 依题意知P（A1）=P(B1)=0．1，P（A2）=P(B2)=0．3，‎ ‎,‎ 所求的概率为 ‎ ‎ ‎ ………12分 ‎21．（2009·宁夏海南理）（本小题满分12分）‎ 某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。‎ ‎（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人； ‎ ‎（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2．‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎ 6‎ ‎ y ‎ 36‎ ‎ 18‎ ‎（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论） ‎ ‎（ii）分别估 计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ‎ ‎ 频率分布直方图如下 ‎ ‎ 从直方图可以判断：B类工人中个体间的关异程度更小 ．‎ ‎ （ii） ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为123，133．8和131．1 ．‎ ‎【2008年高考试题】‎ ‎8．（2008·山东理）‎ 右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 ‎（A）304．6　　　　　　　　　　（B）303．6 (C)302．6 (D)301．6‎ ‎10．（2008·广东理）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）‎ 一年级 二年级 三年级 女生 ‎373‎ 男生 ‎377‎ ‎370‎ A．24 B．‎18 ‎ C．16 D．12 ‎ 解析：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 答案：C ‎5．（2008·山东理）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，‎ 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分．‎ ‎（Ⅰ）求随机变量分布列和数学期望； ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于‎3”‎这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．‎ 解析：(Ⅰ)解法一：由题意知，ε的可能取值为0，1，2，3,且 ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望为 ‎　　　　　E=‎ ‎（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 ‎7．（2008·广东理）‎ 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；‎ ‎（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4．73万元，则三等品率最多是多少？‎ 解析：的所有可能取值有6，2，1，-2；，‎ ‎，‎ 故的分布列为：‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-2‎ ‎0．63‎ ‎0．25‎ ‎0．1‎ ‎0．02‎ ‎（2）‎ ‎（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为 依题意，，即，解得 所以三等品率最多为 ‎8．（2008·广东文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：‎ 初一年级 初二年级 初三年级 女生 ‎373‎ x y 男生 ‎377‎ ‎370‎ z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0．19．‎ （1） 求x的值；‎ （2） 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？‎ （3） 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率．‎ ‎9．（2008·海南、宁夏）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：‎ 甲品种：271　273　280　285　285 287　292　294　295　301　303　303　307‎ ‎ 308　310　314　319　323　325　325 328　331　334　337　352‎ 乙品种：284　292　295　304　306　307　312　313　315　315　316　318　318‎ ‎ 320　322　322　324　327　329　331　333　336　337　343　356‎ 由以上数据设计了如下茎叶图 ‎3 1 27‎ ‎7 5 5 0 28 4‎ ‎5 4 2 29 2 5‎ ‎8 7 3 3 1 30 4 6 7‎ ‎9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8‎ ‎8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9‎ ‎7 4 1 33 1 3 6 7‎ ‎34 3‎ ‎2 35 6‎ 甲 乙 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：‎ ‎①　　　　　　　　　　　　　　　；②　　　　　　　　　　　　　　　．‎ 解析：1．乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）．‎ ‎2．甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散．（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）．甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）．‎ ‎3．甲品种棉花的纤维长度的中位数为‎307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为‎318mm．‎ ‎4．乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．‎ ‎10．（2008·海南、宁夏理）两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2．根据市场分析，X1和X2的分布列分别为 ‎ X1‎ ‎5％‎ ‎10％‎ ‎0．8‎ ‎0．2‎ ‎ X2‎ ‎2％‎ ‎8％‎ ‎12％‎ ‎0．2‎ ‎0．5‎ ‎0．3‎ ‎（Ⅰ）在两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差DY1，DY2；‎ ‎（Ⅱ）将万元投资A项目，万元投资B项目，表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求的最小值，并指出x为何值时，取到最小值．（注：）‎ 解析：（Ⅰ）由题设可知和的分布列分别为 ‎ Y1‎ ‎5‎ ‎10‎ P ‎0．8‎ ‎0．2‎ ‎ Y2‎ ‎2‎ ‎8‎ ‎12‎ P ‎0．2‎ ‎0．5‎ ‎0．3‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎，‎ 当时，为最小值．‎ ‎【2007年高考试题】‎ ‎1．（2007·山东理8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ ）‎ A．0．9，35 B．0．9，45‎ C．0．1，35 D．0．1，45‎ 答案：A．‎ 解析：：从频率分布直方图上可以看出，．‎ ‎3．(2007·广东文7理6)图l是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右 的各条形表示的学生人数依次记 为、、…、(如 表示身高(单位：)在150，‎ ‎155)内的学生人数)．图2是统计 图l中身高在一定范围内学生人 数的一个算法流程图．现要统计 身高在160～180(含 ‎160，不含180)的学生人 数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ 解析：现要统计的是身高在160‎-180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A4、A5、A6、A7叠加起来送到S中输出，故选C。‎ ‎1．（2007·山东理18）（本小题满分12分）‎ 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．‎ ‎（Ⅰ）求方程有实根的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率．‎ ‎ ‎ ‎(II)由题意知，，则 ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 的数学期望 ‎(III)记“先后两次出现的点数中有‎5”‎为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，，‎ ‎．‎ ‎4．(2007·广东文理17) (本小题满分12分)‎ ‎ 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生 产能耗 (吨标准煤)的几组对照数据 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎ (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎ (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性 回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?‎ ‎ (参考数值：)‎ 解： (1)如下图 ‎(2)=32．5+43+54+64．5=66．5‎