2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§11-1　随机事件与古典概型（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§11-1　随机事件与古典概型（讲解部分）

第十一章 概率与统计 §11.1 随机事件与古典概型 高考数学 考点一　事件与概率 　　1.事件的分类 确定 事件 必然事件 一般地,我们把在条件 S 下,一定 会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件 不可能 事件 在条件 S 下,一定不会发生的事 件叫做相对于条件 S 的不可能事 件 随机事件 在条件 S 下,① 　可能发生也可能不发生     的事件叫做相对于条件 S 的随机事件 考点清单 　　2.频率与概率 (1)频数与频率:在相同条件 S 下进行 n 次试验,观察某一事件 A 是否出现,则 称在 n 次试验中事件 A 出现的次数 n A 为事件 A 出现的频数;事件 A 出现的比例 f n ( A )=②             为事件 A 出现的频率. (2)概率:对于给定的随机事件 A ,如果随着试验次数 n 的增加,事件 A 发生的 频率 f n ( A )稳定在某个常数上,则把这个常数记作 P ( A ),称为事件 A 的概率. 3.事件的关系与运算 名称 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生,则事件 B 一定发生,这时称事件 B 包含事件 A (或 称事件 A 包含于事件 B ) B ⊇ A (或 A ⊆ B ) 相等关系 若 B ⊇ A ,且 B ⊆ A ,那么称事件 A 与事件 B 相等 A = B 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 或事件 B 发生,则称此事件为事 件 A 与事件 B 的并事件(或和事件) A ∪ B (或 A + B ) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件) A ∩ B (或 AB ) 互斥事件 若 A ∩ B 为不可能事件,那么称事件 A 与事件 B 互斥 A ∩ B = ⌀ 对立事件 若 A ∩ B 为不可能事件, A ∪ B 为必然事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 A ∩ B = ⌀ 且 A ∪ B = U ( U 为全集) 4.概率的几个基本性质 (1)概率的范围:[0,1].(2)必然事件的概率为③ 　1     . (3)不可能事件的概率为0.(4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥,则 P ( A ∪ B )=④      P ( A )+ P ( B )     . (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A ∪ B 为必然事件, P ( A ∪ B )=1, P ( A )= ⑤     1- P ( B )     . 考点二　古典概型 　　1.古典概型的两个特点 (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有⑥ 　有限个     . (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性⑦ 　相等     . 2.古典概型的概率公式 (1)在基本事件总数为 n 的古典概型中,每个基本事件发生的概率都是相等 的,即每个基本事件的概率都是   . (2)对于古典概型,任何事件的概率为 P ( A )=⑧             . 考法一 　随机事件的频率与概率 知能拓展 例1　 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元, 售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气 温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300 瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计 了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 　　以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. 最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y (单位:元).当六月份这种酸奶一 天的进货量为450瓶时,写出 Y 的所有可能值,并估计 Y 大于零的概率. 解析 　(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于 25 ℃, 由表格数据知,最高气温低于25 ℃的频率为   =0.6, 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于25 ℃,则 Y =6 × 450-4 × 450=900; 若最高气温位于区间[20,25), 则 Y =6 × 300+2 × (450-300)-4 × 450=300; 若最高气温低于20 ℃,则 Y =6 × 200+2 × (450-200)-4 × 450=-100. 所以, Y 的所有可能值为900,300,-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃, 由表格数据知,最高气温不低于20 ℃的频率为   =0.8, 因此 Y 大于零的概率的估计值为0.8. 方法总结 　1.频率与概率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确 定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率作 为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频 率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率. 考法二 　互斥事件、对立事件概率公式的应用 例2 　一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随 机取出1球,求: (1)取出1球是红球或黑球的概率; (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解析 　记事件 A 1 ={任取1球为红球}, A 2 ={任取1球为黑球}, A 3 ={任取1球为白球}, A 4 ={任取1球为绿球}, 则 P ( A 1 )=   , P ( A 2 )=   =   , P ( A 3 )=   =   , P ( A 4 )=   . 根据题意知,事件 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为 P ( A 1 ∪ A 2 )= P ( A 1 )+ P ( A 2 )=   +   =   . (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 )= P ( A 1 )+ P ( A 2 )+ P ( A 3 )=   +   +   =   . 方法总结　 求复杂互斥事件概率的方法 1.直接求解法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和, 运用互斥事件的概率加法公式计算; 2.间接求解法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P ( A )=1- P (   )求解, 即正难则反的数学思想.特别是“至多”“至少”型题目,用间接求解法比 较简单. 提醒 　应用互斥事件概率的加法公式,一定要注意首先确定各个事件是 否彼此互斥,然后求出各个事件发生的概率,再求和(或差). 考法三 　古典概型概率的求法 例3 　若函数 f ( x )=ln( x 2 +1)的值域为{0,1,2},从满足条件的所有定义域集合 中选出2个集合,则取出的2个集合中各有三个元素的概率是   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解题导引        解析 　令ln( x 2 +1)=0,得 x 2 +1=1,∴ x =0,令ln( x 2 +1)=1,得 x 2 +1=e, ∴ x = ±   ,令ln( x 2 +1)=2,得 x 2 +1=e 2 ,∴ x = ±   . 则满足值域为{0,1,2}的定义域集合为 {0,-   ,-   },{0,-   ,   },{0,   ,-   },{0,   ,   },{0,-   ,   ,   },{0,-   ,   ,-   },{0,-   ,-   ,   },{0,   ,-   ,   },{0,-   ,   ,-   ,   }.则满足这样条件的定义域集合的个数为9, 从满足条件的所有定义域集合中选出2个集合, 基本事件总数 n =   =36, 取出的2个集合中各有三个元素的集合个数 m =   =6, ∴取出的2个集合中各有三个元素的概率 P =   =   . 答案     A 方法总结     1.古典概型的概率求解步骤   2.基本事件个数的确定方法 (1)列举法:此法适合于基本事件个数较少的古典概型. (2)列表法:此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成坐标法. (3)画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的 问题及较复杂问题中基本事件个数的探求. (4)运用排列组合知识计算.