【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-2不等式的证明学案

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【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-2不等式的证明学案

第2讲 不等式的证明 ‎1.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理2:如果a、b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理3:如果a、b、c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.‎ 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.‎ ‎2.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.‎ ‎3.数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式,关键是由n=k时不等式成立推证n=k+1时不等式成立,此步的证明要具有目标意识,要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较,以便确定解题方向.‎ ‎ 对于任意的x、y∈R,求证|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3.‎ 证明:根据绝对值的几何意义,可知|x-1|+|x|≥1,‎ ‎|y-1|+|y+1|≥2,‎ 所以|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3.‎ ‎ 若a,b∈(0,+∞)且a+b=1,求证:+≥8.‎ 证明:因为a+b=1,‎ 所以a2+2ab+b2=1.‎ 因为a>0,b>0,‎ 所以+=+=1+++1++=2++≥2+2+2=8.‎ ‎ 若x,y,z∈R+,且x+y>z,求证:+>.‎ 证明:因为x+y>z,‎ 所以x+y-z>0.‎ 由分数性质得<=.‎ 因为x>0,y>0,‎ 所以=+<+.‎ 所以+>.‎ ‎ 若a>b>1,证明:a+>b+.‎ 证明:a+-=a-b+=.‎ 由a>b>1得ab>1,a-b>0,‎ 所以>0.‎ 即a+->0,所以a+>b+.‎ 比较法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ (2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎【解】 (1)f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;‎ 当-<x<时,f(x)<2;‎ 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1.‎ 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.‎ ‎(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.‎ 因此|a+b|<|1+ab|.‎ 比较法证明不等式的方法与步骤 ‎(1)作差比较法:作差、变形、判号、下结论.‎ ‎(2)作商比较法:作商、变形、判断、下结论.‎ ‎[提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法.‎ ‎(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.若a,b∈R+,证明:(a+b)(a5+b5)≤2(a6+b6).‎ 证明:因为(a+b)(a5+b5)-2(a6+b6)=a6+a5b+ab5+b6-2a6-2b6=a5b+ab5-a6-b6=a5(b-a)+b5(a-b)=(a-b)(b5-a5).‎ 当a>b>0时,a-b>0,b5-a5<0,有(a-b)(b5-a5)<0.‎ 当b>a>0时,a-b<0,b5-a5>0,有(a-b)(b5-a5)<0.‎ 当a=b>0时,a-b=0,有(a-b)(b5-a5)=0.‎ 综上可知(a+b)(a5+b5)≤2(a6+b6).‎ ‎2.已知a,b∈(0,+∞),求证:abba≤(ab).‎ 证明:=ab-ba-=.‎ 当a=b时,=1;‎ 当a>b>0时,0<<1,‎ >0,<1.‎ 当b>a>0时,>1,<0,<1.‎ 所以abba≤(ab).‎ 用综合法、分析法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ ‎【证明】 法一:(综合法)‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6‎ ‎=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)‎ ‎=4+ab(a2-b2)2≥4.‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3‎ ‎=2+3ab(a+b)‎ ‎≤2+·(a+b)‎ ‎=2+,‎ 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.‎ 法二:(分析法)‎ ‎(1)因为a>0,b>0,a3+b3=2.‎ 要证(a+b)(a5+b5)≥4,‎ 只需证(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2,‎ 再证a6+ab5+a5b+b6≥a6+2a3b3+b6,‎ 再证a4+b4≥2a2b2,‎ 因为(a2-b2)2≥0,即a4+b4≥2a2b2成立.‎ 故原不等式成立.‎ ‎(2)要证a+b≤2成立,‎ 只需证(a+b)3≤8,‎ 再证a3+3a2b+3ab2+b3≤8,‎ 再证ab(a+b)≤2,‎ 再证ab(a+b)≤a3+b3,‎ 再证ab(a+b)≤(a+b)(a2-ab+b2),‎ 即证ab≤a2-ab+b2显然成立.‎ 故原不等式成立.‎ 分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程.‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.设x≥1,y≥1,求证:x+y+≤++xy.‎ 证明:由于x≥1,y≥1,‎ 要证x+y+≤++xy,‎ 只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2.‎ 因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]‎ ‎=[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)]‎ ‎=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)‎ ‎=(xy-1)(xy-x-y+1)‎ ‎=(xy-1)(x-1)(y-1),‎ 因为x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,‎ 从而所要证明的不等式成立.‎ ‎2.已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,且abc=1.‎ ‎(1)证明:(1+a)(1+b)(1+c)≥8;‎ ‎(2)证明:++≤++.‎ 证明:(1)1+a≥2,1+b≥2,1+c≥2,‎ 相乘得:(1+a)(1+b)(1+c)≥8=8.‎ ‎(2)++=ab+bc+ac,‎ ab+bc≥2=2,‎ ab+ac≥2=2,‎ bc+ac≥2=2,‎ 相加得++≤++.‎ 反证法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ 设0,(1-b)c>,(1-c)a>,‎ 三式相乘得(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>,①‎ 又因为00,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0.‎ 证明:(1)设a<0,因为abc>0,‎ 所以bc<0.‎ 又由a+b+c>0,则b+c>-a>0,‎ 所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与题设矛盾.‎ ‎(2)若a=0,则与abc>0矛盾,‎ 所以必有a>0.‎ 同理可证:b>0,c>0.‎ 综上可证a,b,c>0.‎ 放缩法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ 若a,b∈R,求证:≤+.‎ ‎【证明】 当|a+b|=0时,不等式显然成立.‎ 当|a+b|≠0时,‎ 由0<|a+b|≤|a|+|b|‎ ‎⇒≥,‎ 所以=≤ ‎= ‎=+≤+.‎ 综上,原不等式成立.‎ ‎“放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧.‎ 常见的放缩变换有:‎ ‎(1)变换分式的分子和分母,如<,>,<,>.‎ 上面不等式中k∈N*,k>1;‎ ‎(2)利用函数的单调性;‎ ‎(3)真分数性质“若00,则<”.‎ ‎[提醒] 在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度.  ‎ ‎ 设n是正整数,求证:≤++…+<1.‎ 证明:由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.‎ 当k=1时,≤<;‎ 当k=2时,≤<;‎ ‎…‎ 当k=n时,≤<,‎ 所以=≤++…+<=1.‎ 所以原不等式成立.‎ 用数学归纳法证明不等式 ‎[典例引领]‎ ‎ 证明贝努利不等式:‎ 设x∈R,且x>-1,x≠0,n∈N,n>1,则(1+x)n>1+nx.‎ ‎【证明】 (1)当n=2时,因为x≠0.‎ 所以(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,‎ 即有(1+x)k>1+kx,‎ 则当n=k+1时,由于x>-1,x≠0.‎ 所以(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)‎ ‎=1+x+kx+kx2>1+(k+1)x,‎ 所以当n=k+1时不等式成立.‎ 由(1)(2)可知,贝努利不等式成立.‎ 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤:‎ ‎(1)证明当n=n0(满足命题的最小的自然数的值)时,命题正确.‎ ‎(2)在假设n=k(k≥n0)时命题正确的基础上,推证当n=k+1时,命题也正确.‎ 这两步合为一体才是数学归纳法,缺一不可.其中第一步是基础,第二步是递推的依据.  ‎ ‎ 证明:对于n∈N*,不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立.‎ 证明:(1)当n=1时,上式左边=|sin θ|=右边,不等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,‎ 即有|sin kθ|≤k|sin θ|.‎ 当n=k+1时,|sin(k+1)θ|=|sin kθcos θ+cos kθsin θ|‎ ‎≤|sin kθcos θ|+|cos kθsin θ|‎ ‎=|sin kθ|·|cos θ|+|cos kθ|·|sin θ|‎ ‎≤|sin kθ|+|sin θ|‎ ‎≤k|sin θ|+|sin θ|‎ ‎=(k+1)|sin θ|.‎ 所以当n=k+1时不等式也成立.‎ 由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立.‎ ‎ 证明不等式的常用方法与技巧 ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法;如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法等.‎ ‎(2)在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值 不等式的解法或证明,其简化的基本思路是去绝对值号,转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据.‎ ‎ 在使用基本不等式时,等号成立的条件是一直要注意的事情,特别是连续使用时,要分析每次使用时等号是否成立.‎ ‎1.(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)=|x-2|.‎ ‎(1)解不等式:f(x)+f(x+1)≤2;‎ ‎(2)若a<0,求证:f(ax)-af(x)≥f(2a).‎ 解:(1)由题意,得f(x)+f(x+1)=|x-1|+|x-2|.‎ 因此只要解不等式|x-1|+|x-2|≤2.‎ 当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,即≤x≤1;‎ 当12时,原不等式等价于2x-3≤2,即2|a|f.‎ 解:(1)f(x)+f(x+4)=|x-1|+|x+3|= 当x<-3时,由-2x-2≥8,解得x≤-5;‎ 当-3≤x≤1时,4≥8不成立;‎ 当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.‎ 所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-5或x≥3}.‎ ‎(2)证明:f(ab)>|a|f,即|ab-1|>|a-b|.‎ 因为|a|<1,|b|<1,‎ 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,‎ 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立.‎ ‎1.(2018·武汉市武昌区调研考试)设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)当x∈M时,证明:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.‎ 解:(1)由已知,得f(x)= 当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,解得x≤0,此时x≤0;‎ 当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,解得x≤,显然不成立.‎ 故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}.‎ ‎(2)证明:当x∈M时,f(x)=x-1,‎ 于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-+.‎ 令g(x)=-+,则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,‎ 所以g(x)≤g(0)=0.‎ 故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.‎ ‎2.(2018·沈阳模拟)设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证:‎ ‎(1)a+b+c≥.‎ ‎(2)++≥(++).‎ 证明:(1)要证a+b+c≥,‎ 由于a,b,c>0,‎ 因此只需证明(a+b+c)2≥3.‎ 即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3.‎ 而ab+bc+ca=1,‎ 故只需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),‎ 即证a2+b2+c2≥ab+bc+ca.‎ 而这可以由ab+bc+ca≤++=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立)证得.‎ 所以原不等式成立.‎ ‎(2)++=.‎ 在(1)中已证a+b+c≥.‎ 因此要证原不等式成立,‎ 只需证明≥++,‎ 即证a+b+c≤1,‎ 即证a+b+c≤ab+bc+ca.‎ 而a=≤,‎ b≤,c≤,‎ 所以a+b+c≤ab+bc+ca ‎(当且仅当a=b=c=时等号成立).‎ 所以原不等式成立.‎ ‎3.已知a,b,c均为正实数.求证:‎ ‎(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;‎ ‎(2)若a+b+c=3,则++≤3.‎ 证明:(1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc,‎ 可证a2b+ac2+ab2+bc2-4abc≥0,‎ 需证b(a2+c2-2ac)+a(c2+b2-2bc)≥0,‎ 即证b(a-c)2+a(c-b)2≥0,当且仅当a=b=c时,取等号,由已知,上式显然成立,故不等式(a+b)(ab+c2)≥4abc成立.‎ ‎(2)因为a,b,c均为正实数,由不等式的性质知 ·≤=,当且仅当a+1=2时,取等号,‎ ·≤=,当且仅当b+1=2时,取等号,‎ ·≤=,当且仅当c+1=2时,取等号,‎ 以上三式相加,得(++)≤=6,‎ 所以++≤3,当且仅当a=b=c=1时,取等号.‎
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