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文档介绍
【数学】2019届高考一轮复习北师大版理14-2不等式的证明学案
第2讲 不等式的证明 1.基本不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2:如果a、b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立. 定理3:如果a、b、c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立. 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立. 2.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等. 3.数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式,关键是由n=k时不等式成立推证n=k+1时不等式成立,此步的证明要具有目标意识,要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较,以便确定解题方向. 对于任意的x、y∈R,求证|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥3. 证明:根据绝对值的几何意义,可知|x-1|+|x|≥1, |y-1|+|y+1|≥2, 所以|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥1+2=3. 若a,b∈(0,+∞)且a+b=1,求证:+≥8. 证明:因为a+b=1, 所以a2+2ab+b2=1. 因为a>0,b>0, 所以+=+=1+++1++=2++≥2+2+2=8. 若x,y,z∈R+,且x+y>z,求证:+>. 证明:因为x+y>z, 所以x+y-z>0. 由分数性质得<=. 因为x>0,y>0, 所以=+<+. 所以+>. 若a>b>1,证明:a+>b+. 证明:a+-=a-b+=. 由a>b>1得ab>1,a-b>0, 所以>0. 即a+->0,所以a+>b+. 比较法证明不等式 [典例引领] (2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. 【解】 (1)f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当-<x<时,f(x)<2; 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|. 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法:作差、变形、判号、下结论. (2)作商比较法:作商、变形、判断、下结论. [提醒] (1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法. (2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法. [通关练习] 1.若a,b∈R+,证明:(a+b)(a5+b5)≤2(a6+b6). 证明:因为(a+b)(a5+b5)-2(a6+b6)=a6+a5b+ab5+b6-2a6-2b6=a5b+ab5-a6-b6=a5(b-a)+b5(a-b)=(a-b)(b5-a5). 当a>b>0时,a-b>0,b5-a5<0,有(a-b)(b5-a5)<0. 当b>a>0时,a-b<0,b5-a5>0,有(a-b)(b5-a5)<0. 当a=b>0时,a-b=0,有(a-b)(b5-a5)=0. 综上可知(a+b)(a5+b5)≤2(a6+b6). 2.已知a,b∈(0,+∞),求证:abba≤(ab). 证明:=ab-ba-=. 当a=b时,=1; 当a>b>0时,0<<1, >0,<1. 当b>a>0时,>1,<0,<1. 所以abba≤(ab). 用综合法、分析法证明不等式 [典例引领] (2017·高考全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 【证明】 法一:(综合法) (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b) ≤2+·(a+b) =2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 法二:(分析法) (1)因为a>0,b>0,a3+b3=2. 要证(a+b)(a5+b5)≥4, 只需证(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2, 再证a6+ab5+a5b+b6≥a6+2a3b3+b6, 再证a4+b4≥2a2b2, 因为(a2-b2)2≥0,即a4+b4≥2a2b2成立. 故原不等式成立. (2)要证a+b≤2成立, 只需证(a+b)3≤8, 再证a3+3a2b+3ab2+b3≤8, 再证ab(a+b)≤2, 再证ab(a+b)≤a3+b3, 再证ab(a+b)≤(a+b)(a2-ab+b2), 即证ab≤a2-ab+b2显然成立. 故原不等式成立. 分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程. [通关练习] 1.设x≥1,y≥1,求证:x+y+≤++xy. 证明:由于x≥1,y≥1, 要证x+y+≤++xy, 只需证xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 因为[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1] =[(xy)2-1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), 因为x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. 2.已知实数a,b,c满足a>0,b>0,c>0,且abc=1. (1)证明:(1+a)(1+b)(1+c)≥8; (2)证明:++≤++. 证明:(1)1+a≥2,1+b≥2,1+c≥2, 相乘得:(1+a)(1+b)(1+c)≥8=8. (2)++=ab+bc+ac, ab+bc≥2=2, ab+ac≥2=2, bc+ac≥2=2, 相加得++≤++. 反证法证明不等式 [典例引领] 设0,(1-b)c>,(1-c)a>, 三式相乘得(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>,① 又因为00,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a,b,c>0. 证明:(1)设a<0,因为abc>0, 所以bc<0. 又由a+b+c>0,则b+c>-a>0, 所以ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,与题设矛盾. (2)若a=0,则与abc>0矛盾, 所以必有a>0. 同理可证:b>0,c>0. 综上可证a,b,c>0. 放缩法证明不等式 [典例引领] 若a,b∈R,求证:≤+. 【证明】 当|a+b|=0时,不等式显然成立. 当|a+b|≠0时, 由0<|a+b|≤|a|+|b| ⇒≥, 所以=≤ = =+≤+. 综上,原不等式成立. “放”和“缩”的常用技巧 在不等式的证明中,“放”和“缩”是常用的推证技巧. 常见的放缩变换有: (1)变换分式的分子和分母,如<,>,<,>. 上面不等式中k∈N*,k>1; (2)利用函数的单调性; (3)真分数性质“若00,则<”. [提醒] 在用放缩法证明不等式时,“放”和“缩”均需把握一个度. 设n是正整数,求证:≤++…+<1. 证明:由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<. 当k=1时,≤<; 当k=2时,≤<; … 当k=n时,≤<, 所以=≤++…+<=1. 所以原不等式成立. 用数学归纳法证明不等式 [典例引领] 证明贝努利不等式: 设x∈R,且x>-1,x≠0,n∈N,n>1,则(1+x)n>1+nx. 【证明】 (1)当n=2时,因为x≠0. 所以(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立, 即有(1+x)k>1+kx, 则当n=k+1时,由于x>-1,x≠0. 所以(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx) =1+x+kx+kx2>1+(k+1)x, 所以当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)可知,贝努利不等式成立. 用数学归纳法证明与自然数有关的命题时应注意以下两个证题步骤: (1)证明当n=n0(满足命题的最小的自然数的值)时,命题正确. (2)在假设n=k(k≥n0)时命题正确的基础上,推证当n=k+1时,命题也正确. 这两步合为一体才是数学归纳法,缺一不可.其中第一步是基础,第二步是递推的依据. 证明:对于n∈N*,不等式|sin nθ|≤n|sin θ|恒成立. 证明:(1)当n=1时,上式左边=|sin θ|=右边,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立, 即有|sin kθ|≤k|sin θ|. 当n=k+1时,|sin(k+1)θ|=|sin kθcos θ+cos kθsin θ| ≤|sin kθcos θ|+|cos kθsin θ| =|sin kθ|·|cos θ|+|cos kθ|·|sin θ| ≤|sin kθ|+|sin θ| ≤k|sin θ|+|sin θ| =(k+1)|sin θ|. 所以当n=k+1时不等式也成立. 由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立. 证明不等式的常用方法与技巧 (1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题,则考虑用反证法;如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法等. (2)在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值 不等式的解法或证明,其简化的基本思路是去绝对值号,转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略,而绝对值三角不等式,往往作为不等式放缩的依据. 在使用基本不等式时,等号成立的条件是一直要注意的事情,特别是连续使用时,要分析每次使用时等号是否成立. 1.(2018·安徽省两校阶段性测试)已知函数f(x)=|x-2|. (1)解不等式:f(x)+f(x+1)≤2; (2)若a<0,求证:f(ax)-af(x)≥f(2a). 解:(1)由题意,得f(x)+f(x+1)=|x-1|+|x-2|. 因此只要解不等式|x-1|+|x-2|≤2. 当x≤1时,原不等式等价于-2x+3≤2,即≤x≤1; 当1查看更多