内蒙古集宁一中2019-2020学年高一上学期12月月考数学（理）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高一上学期12月月考数学（理）试题

集宁一中西校区2019—2020学年第一学期第二次月考 高一年级理科数学试题 第I卷（选择题 共60分)‎ 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1.设集合，则A∩B等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 或，，所有，故选A.‎ ‎2.的图象为　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质，得到函数的图象关于对称，再根据选项，即可得到答案．‎ ‎【详解】由可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称，‎ 由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记对数函数的性质及函数的对称性的应用，得到函数的对称性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎3.已知，，，则的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据指对函数的性质和运算性质得到各自的范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】显然，，又因为，，‎ 故 故答案为D.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.‎ ‎4.设lg2=a，lg3=b，则log125=‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换底公式将式子化为log125，代入即得结果.‎ ‎【详解】∵lg2=a，lg3=b，则log125．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查换底公式，考查基本化简求解能力.‎ ‎5.设，则函数的零点位于区间（ ）‎ A. （-1，0） B. （0，1） C. （1，2） D. （2，3）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 利用判断零点所在区间的方法，验证区间端点值的正负即可.‎ 故选C.‎ ‎6.的增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解定义域，然后结合二次函数的对称轴判断增区间.‎ ‎【详解】因为，所以；‎ 又因为的对称轴为：，且，所以增区间为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，难度一般.对于复合函数的单调性问题，在利用“同増异减”的方法判断的同时也要注意到定义域问题.‎ ‎7.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，直观图的面积是，所以原图的平面图形的面积是．‎ 考点：斜二测画法．‎ ‎8.当时， 恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先在同一坐标系下作出函数和的图像，求出交点和此时a的值，再求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，函数的图象如图所示，‎ 若 恒成立，‎ 则的图象恒在的图象的上方，‎ 的图象与的图象交于点时，，‎ 故虚线所示的图象对应的底数应满足，‎ 的取值范围为，‎ 故答案为B ‎【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是找到交点和此时a.‎ ‎9.方程的实数解的个数为　　‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 1 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意,构造两个函数,绘制图像,将解的个数转化为函数交点个数,即可.‎ ‎【详解】令,绘制这两个函数的函数图像,可得 故有2个交点,故选A.‎ ‎【点睛】考查了数形结合思想,关键将函数解的问题转化为函数交点个数的问题,难度中等.‎ ‎10.化简 (a，b＞0)的结果是(　　)‎ A. B. ab C. D. a2b ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合分数指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】由分数指数幂的运算法则可得：‎ 原式.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查分数指数幂的运算法则，属于基础题.‎ ‎11.已知函数在上是增函数，则a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数在上是单调增函数，列出不等式组，求解即可得到结果．‎ ‎【详解】解：∵函数在上是增函数， ， 解得：， 故选A．‎ ‎【点睛】若分段函数为增函数，则在各段上均增，且在分界点处左段函数值不大于右段函数值．‎ ‎12.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是一个长宽高分别为的长方体和一个底面半径为，高为的圆锥组成的一个组合体，再利用长方体表面积公式和圆锥的侧面积、圆的面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体是一个长宽高分别为的长方体和一个底面半径为，高为的圆锥组成的一个组合体，‎ 该长方体的表面积为，‎ 圆锥的母线成为，‎ 则圆锥的侧面积为，‎ 圆锥的底面圆的面积为，‎ 所以该组合体的表面积为 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算，在由三视图还原为空间几何体的形状时，熟记几何体三视图的规则是解答的关键，同时求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积时，关键在于由三视图确定直观图的形状，以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.‎ 第Ⅱ卷（非选择题)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】结合函数图象可得，当时有：或，‎ 求解不等式可得不等式的解集为.‎ ‎14.已知函数在区间上的减函数，则实数的取值集合是______.‎ ‎【答案】{1}‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设, 要使题设函数在区间上是减函数，只要在区间）上是减函数，且t＞0，故可得对称轴 且 ，由此可求实数取值集合.‎ ‎【详解】】设,由题意可得对称轴，而且，联立可得.‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎15.若圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，圆锥、球的表面积分别记为，，则 的值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设球直径为，由题意可知：‎ ‎，，‎ 据此可得：.‎ ‎16.若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(‎2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合函数f(x)图象分析可知m需满足,解不等式组即得解.‎ ‎【详解】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足 即 解得＜m＜.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的零点的分布和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17.求值或化简：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】(1)18;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 利用对数的运算性质即可得出;‎ ‎(2) 利用指数幂和对数的运算法则即可得出.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ‎ ‎（2）‎ ‎＝‎ ‎＝＝＝‎ ‎18.已知函数 ，其中 ，且 .‎ ‎(1)若，求满足的的取值范围；‎ ‎（2）求关于的不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，即，结合函数的单调性可得，从而可得的的取值范围；（2）由不等式，可得，分两种情况讨论，分别结合函数的单调性化简原不等式，进而可得结果.‎ ‎【详解】（1），‎ 而 ，故 ，得： . ‎ ‎（2），‎ 当时， ；当时，.‎ 故当时，解集为 ；当时，解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，属于简单题. 对于指数函数,当时，函数递减；当时，函数递增.‎ ‎19.如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为的内接圆柱.‎ ‎(1)试用表示圆柱的体积；‎ ‎(2)当为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少.‎ ‎【答案】（1）；（2）1，6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用三角形相似得到比例关系，求出圆柱的高（用表示），根据圆柱的体积公式，得到的表达式；‎ ‎（2）侧面积是关于的二次函数，利用二次函数的性质求出最大值.‎ ‎【详解】(1) 设圆柱的高为，则，所以圆柱的高，‎ 圆柱的体积.‎ ‎(2) 圆柱的侧面积，‎ 当时，有最大值6.‎ ‎【点睛】本题考查圆柱、圆锥的体积和侧面积，与一元二次函数进行简单的知识交会，考查运算求解能力，求解过程中要注意自变量的取值范围.‎ ‎20.‎ 已知函数是定义在R上的奇函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断在R上的单调性并用定义证明；‎ ‎（3）若对恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据奇函数的性质可知，即可求解；‎ ‎（2）根据判断函数单调性的定义，利用作差法即可证明函数的单调性；‎ ‎（3）根据函数的单调性可知函数在[-1,2]上的最小值为，即可得出，化简即可得出结论．‎ ‎【详解】(1)∵是定义在R上的奇函数 ∴得 ‎∴‎ ‎(2)∵‎ 设,则 ‎∴即 ‎∴在R上是增函数． ‎ ‎ (3)由(2)知，在[-1,2]上是增函数 ∴在[-1,2]上的最小值为 ‎ 对恒成立 ∴‎ 即得 ‎∴实数k的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性，以及恒成立问题，属于中档题．‎ ‎21.已知长方体，其中，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为，求几何体的表面积.‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可构造方程求得，进而求得各个面的面积，加和得到表面积.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ 设中点为，则 又 ‎ 又，，，‎ 几何体的表面积 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查几何体表面积的求解，关键是能够利用切割的方式表示出几何体的体积，进而构造方程求出长方体的高.‎ ‎22.已知函数=且为自然对数的底数为奇函数 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)判断的单调性并证明.‎ ‎(3)是否存在实数,使不等式对一切都成立,若存在,求出若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)= (2)是增函数,见解析(3)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由函数函数=且为奇函数，由得到;(2)在上任取,且,作差、化简并判断的符号,可得结论;(3)原不等式等价于=,由单调性可得,即;求出最小值,即可得出结论.‎ 试题解析：(1)的定义域为所以=得到=‎ ‎(2)是增函数,‎ 在上任取,且 ‎== =‎ 因为,所以 ‎,‎ 是上的增函数 ‎(3)因为 ‎=‎ 因为为增函数,‎ 所以 ‎,‎ 只需=‎ ‎,‎ 综上所述,的取值范围是 ‎【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；‎ ‎（3）判断的符号， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.‎