圆的方程教案3

圆的方程教案3

‎ ‎ 圆的方程 ‎1．基础知识：‎ ‎（1）圆方程的几种形式：标准方程、一般方程（圆的判别式D2+E2-4F > 0）‎ ‎（2）直线与圆的位置关系：相交两点、相切、相离 ‎（3）坐标轴的平移：移轴公式 例1．指出下列圆的圆心和半径 ‎（1）( x + 2 )2 + ( y -5 )2 = 3 （2）x2 + y2 -6x + 4y + 9 = 0‎ 解：（1）圆心( -2, 5 ), 半径r = （2）由( x -3 )2 + ( y + 2 )2 = 4 Þ 圆心( 3, -2 )，半径r = 2‎ 例2．下列方程表示什么图形？‎ ‎（1）x2 + y2 + 5x - 3y + 1 = 0 （2）x2 + y2 + 4x + 4 = 0 （3）x2 + y2 + x + 2 = 0‎ 解：（1）△= 30 > 0, 表示一个圆 （2）△= 0, 表示一个点( -2, 0 ) （3）△= -7 < 0, 不表示任何图形 例3．根据下列条件求圆的方程：‎ ‎（1）圆心在点C(-2, 1), 并过点A(2, -2 )‎ ‎（2）圆心在点C(1, 3 ), 并与直线3x -4y -7 = 0相切 ‎（3）过点M(0, 1 )和点N( 2, 1 )，半径为 解：（1）r = |AC| =5 Þ 圆方程为：( x + 2 )2 + ( y -1 )2 = 25‎ ‎ （2）r =Þ ( x -1 )2 + ( y -3 )2 =‎ ‎ （3）设圆心( a, b ), 将M、N代如得：a = 1, b = 3或a = 1, b = -1 ‎ ‎ 即圆的方程为：( x -1 )2 + ( y-3 )2 = 5, ( x -1 )2 + ( y +1 )2 = 5‎ 例4．平移坐标轴，将原点移到点O’( 2, -3 ), 求：‎ ‎（1）点P( -4, 5)在新坐标系中的坐标.（2）曲线x2 + y2 + 4x -6y + 1 = 0‎ 解：（1）Þ 点P的新坐标为( -6, 2 ) （2）新曲线方程：x’2 + y’2 = 12‎ ‎2．常用解法：待定系数法、直线与圆的位置关系、圆的切线方程的求法、圆的弦长的求法 例5．求过三点O( 0, 0 ), M( 1, 1 ), N( 4, 2 )的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径.‎ 解：设圆的方程为：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，将三个点的坐标代入方程 Þ F = 0, D = -8, E = 6 Þ 圆方程为：x2 + y2 -8x + 6y = 0‎ 3‎ ‎ ‎ 配方：( x -4 )2 + ( y + 3 )2 = 25 Þ圆心：( 4, -3 ), 半径r = 5‎ 例6．已知圆的方程是x2 + y2 = 2, 直线y = x + b, 当b为何值时，圆与直线有两个交点、一个交点、没有交点？‎ 解：由方程组Þ 2x2 + 2by + b2 -2 = 0‎ ‎△= -4( b + 2 )( b -2 )‎ ‎∴ 当△>0时, 即-2 < b < 2, 有两交点 ‎ 当△=0时, 即b = ±2, 有一个交点 ‎ 当△<0时, 即b > 2或b < -2, 没有交点.‎ 例7．已知圆的方程是x2 + y2 = 5, 且圆的切线满足下列条件，求圆的切线方程 ‎（1）过圆上一点P( -2, 1 ) （2）过圆外一点Q( 3, 1 )‎ 解：（1）∴切线的法向量为( -2, 1 ), 圆上一点P( -2, 1 )‎ ‎∴切线方程为：-2( x + 2 ) + ( y -1 ) = 0 Þ 2x -y + 5 = 0‎ 归纳：过圆上一点P( x0, y0)、圆心在原点的圆x2 + y2 = r2的切线方程为：x0x + y0y = r2.‎ ‎ （2）设切线方程为y - 1 = k( x -3 ), 则圆心( 0, 0 )到切线的距离等于半径 即 Þ ( 1 - 3k )2 = 5( k2 + 1 ) Þ k =, k = 2‎ M A B d r l s所求的切线方程是：x + 2y -5 = 0, 2x -y -5 = 0‎ 说明：本小题的方法是求圆的切线方程的一般方法.‎ 例8．求直线3x -y + 2 = 0截圆x2 + y2 - 2x + 4y = 0所得的弦长.‎ 解：∵ 圆方程可化为：( x -1 )2 + ( y + 2 )2 = 5‎ ‎∴ 圆心为( 1, -2 ), 半径r =, 圆心到直线的距离d =‎ 即知圆的弦长l满足：l =Þ 所求弦长l = ‎ 练习：‎ ‎1．已知DABC的三个顶点为A( 6, -2 ), B( -1, 5 ), C( 5, 5 ), 求DABC外接圆的方程.‎ ‎2．当m取何值时, 直线3x + 4y + m = 0与曲线x2 + y2 = 4有两个交点, 一个交点, 无交点.‎ ‎3．当b取何值时, 直线3x -4y + b = 0与圆x2 + y2 -2x + 4y + 4 = 0相交, 相离, 相切?‎ ‎4．已知圆的方程是x2 + y2 = 8, 由下列条件求圆的切线方程 ‎( 1 ) 过点A( -2, 2 ). ( 2 ) 过点M( 3, 2 ) （3）在y轴上的截距为4.‎ ‎5．求直线x -y -5 = 0在圆x2 + y2 = 25上截得的弦长.‎ 3‎ ‎ ‎ ‎3．综合应用：‎ 例9．已知定点A( 4, 0 ), B为圆x2 + y2 = 4上的一个动点, 点P分线段的比为2︰1，求点P的轨迹方程.‎ 解：设点B的坐标为( x0, y0 ), 动点P的坐标为( x, y )，则点P分线段的比l =‎ y x o A(4,0)‎ B(x0,y0)‎ P(x,y)‎ ‎·‎ ‎ ∵ B( x0, y0 )在圆上, 则 x02 + y02 = 4 ( * )‎ 由定比分点公式： Þ ( ** )‎ ‎ 将式( ** )代入式 ( * )：( ‎ ‎ ∴ 所求线段的轨迹方程是 ( x -)2 + y2 =‎ 归纳：(坐标代换法) 设轨迹上的点P( x, y ), 已知曲线上的点M( x0, y0 ), 用中点的坐标公式将点P的坐标用点M及已知点的坐标表示，再代入已知方程化简所得方程即是所求的轨迹方程.‎ 例10．求与两平行直线x + 3y -5 =0和x + 3y -3=0相切, 圆心在直线2x + y + 3=0上的圆的方程.‎ y x o 解 设圆心为( a, -2a-3 ), 则圆心到两平行直线之间的距离为圆的半径 ‎ ∵ Þ a = ‎ ‎ ∴ 圆心坐标为(), 半径r =‎ ‎ ∴ 所求圆的方程是: ‎ 练习：‎ ‎1．已知圆方程为x2 + y2 = 5, A( 3, 0 ), P是圆上任意一点, 求PA中点M的轨迹方程.‎ ‎2．若直线过点( 0, 2 )，且被圆x2 + y2 = 4截得的弦长为2，求直线的斜率.‎ ‎3．已知圆心在直线y = x上的圆与y轴和直线y = -2都相切，求圆的方程.‎ 3‎