高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘教学设计苏教版必修4

高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘教学设计苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘 整体设计 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性 运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向 量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量， 进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出 错．尤其是定理的前提条件：向量 a 是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线 或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实 数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能 够运用两向量共线条件判定两向量是否平行． 2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能 力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义． 2．实数与向量积的运算律． 3．两个向量共线的等价条件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在 加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实 数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便 计算． 思路 2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为 a，那么在同一 方向上 3 秒钟的位移对应的向量怎样表示？是 3a 吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 实数与向量积的定义及运算律． 活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图 来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引 导学生特别注意 0·a＝0，而不是 0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼， 但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间 的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a 都无法进行．向 量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形 式：(λ＋μ)a＝λa＋μa 和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相 等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个 实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何 中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段． 实数λ与向量 a 相乘，叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors)． 事实上，通过作图 1 可发现，OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把 a＋a＋a 记作 3a，即OC→＝3a.显然 3a 的方向与 a 的方向相同，3a 的长度是 a 的长度的 3 倍， 即|3a|＝3|a|.同样，由图可知， PN→＝PQ→＋QM→＋MN→＝(－a)＋(－a)＋(－a)， 图 1 即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然 3(－a)的方向与 a 的方向相反，3(－a)的长度 是 a 的长度的 3 倍，这样，3(－a)＝－3a. 上述过程推广后即为实数与向量的积． 我们规定实数λ与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的 长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向相反． 由(1)可知，λ＝0 时，λa＝0. 根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律． 设λ、μ为实数，那么 1λ μ a ＝λμ a； 2λ ＋μ a＝λa＋μa； 3λ a＋b ＝λa＋λb. 特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉 a≠0 这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过 0 与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条 件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可， 与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况： (1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向 且模相等；(6)反向且模不等． 教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原 向量的方向确定，大小由|λ||a|确定． 它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小． 向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共 点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形． 应用示例 思路 1 例 1 课本本节例 2. 变式训练 1．计算： (1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)． 解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b； (3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. 点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合 并同类项”． 2．若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a、b 是已知向量，求 m、n. 解：∵3m＋2n＝a，① m－3n＝b，② 3×②，得 3m－9n＝3b，③ ①－③，得 11n＝a－3b， ∴n＝ 1 11 a－ 3 11 b.④ 将④代入②，有 m＝b＋3n＝ 3 11 a＋ 2 11 b. 点评：此题可把已知条件看作向量 m、n 的方程，通过方程组的求解获得 m、n.在此题求解 过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次 方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致. 例 2 课本本节例 1. 变式训练 如图 2(1)，已知任意两个非零向量 a、b，试作OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b.你能 判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教 学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到 A、B、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判 断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程 可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算 机作图，进行动态演示，揭示向量 a、b 变化过程中，A、B、C 三点始终在同一条直线上的 规律． (1) (2) 图 2 解：如图 2(2)分别作向量OA→、OB→、OC→，过点 A、C 作直线 AC〔如图 2(2)〕．观察发现，不 论向量 a、b 怎样变化，点 B 始终在直线 AC 上，猜想 A、B、C 三点共线． 事实上，因为AB→＝OB→－OA→＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而AC→＝OC→－OA→＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是AC→＝2AB→. 所以 A、B、C 三点共线． 点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先 证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独 特． 例 3 课本本节例 3. 变式训练 如图 3， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且AB→＝a，AD→＝b，你能用 a、b 表示MA→、MB→、 MC→和MD→吗？ 图 3 活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用 向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点． 解：在 ABCD 中， ∵AC→＝AB→＋AD→＝a＋b，DB→＝AB→－AD→＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分， ∴MA→＝－1 2 AC→＝－1 2 (a＋b)＝－1 2 a－1 2 b， MB→＝1 2 DB→＝1 2 (a－b)＝1 2 a－1 2 b， MC→＝1 2 AC→＝1 2 a＋1 2 b，MD→＝－MB→＝－1 2 DB→＝－1 2 a＋1 2 b. 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示 出来，这是解决这类几何题的关键. 思路 2 例 1 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F，求证：EF→＝1 2 (AB→＋DC→)． 活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使 EF 作为三角形的中位线，借助于三角 形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题． 图 4 证明：方法一：过点 C 在平面内作CG→＝AB→，则四边形 ABGC 是平行四边形，故 F 为 AG 的中点(如图 4)． ∴EF 是△ADG 的中位线． ∴EF 1 2 DG，∴EF→＝1 2 DG→. 而DG→＝DC→＋CG→＝DC→＋AB→， ∴EF→＝1 2 (AB→＋DC→)． 方法二：如图 5，连 EB、EC，则有EB→＝EA→＋AB→，EC→＝ED→＋DC→， 图 5 又∵E 是 AD 的中点，∴有EA→＋ED→＝0，即有EB→＋EC→＝AB→＋DC→. 以EB→与EC→为邻边作 EBGC，则由 F 是 BC 的中点，可得 F 也是 EG 的中点．∴EF→＝1 2 EG→＝ 1 2 (EB→＋EC→)＝1 2 (AB→＋DC→)． 点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出 草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用． 例 2 课本本节例 4. 变式训练 1．若非零向量 a、b 满足|a＋b|＝|b|，则( ) A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b| C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b| 答案：C 2．在△ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝1 3 CA→＋λCB→，则λ等于( ) A.2 3 B.1 3 C．－1 3 D．－2 3 答案：A 知能训练 课本本节练习． 课堂小结 1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量 共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、 等价转化． 2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在 今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人． 作业 课本习题 2.2 8、9. 设计感想 1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证 等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向 量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小，当 λ>0 时，λa 与 a 方向相同，当λ<0 时，λa 与 a 方向相反；向量共线定理用来判断两个向 量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展． 2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学 数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各 地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理． 备课资料 一、向量的数乘运算律的证明 设 a、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝(λμ)a；① (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；② (3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③ 证明：(1)如果λ＝0 或μ＝0 或 a＝0，则①式显然成立． 如果λ≠0，μ≠0，且 a≠0，则根据向量数乘的定义有： |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|. 如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与 a 同向；如果λ、μ异号，则①式两边向 量的方向都与 a 反向． 因此，向量λ(μa)与(λμ)a 有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等． (2)如果λ＝0 或μ＝0 或 a＝0，则②显然成立． 如果λ≠0，μ≠0 且 a≠0，可分如下两种情况： 当λ、μ同号时，则λa 和μa 同向，所以 |(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|， |λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|， 即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|. 由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与 a 同向，或都与 a 反向，即②式两边向量 的方向相同． 综上所述，②式成立． 如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa 的方向相同；当λ<μ时， ②式两边向量的方向都与μa 的方向相同． 还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立． (3)当 a＝0，b＝0 中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1 时，③式显然成立． 当 a≠0，b≠0 且λ≠0，λ≠1 时，可分如下两种情况： 当λ>0 且λ≠1 时，如图 6，在平面内任取一点 O 作OA→＝a，AB→＝b，OA1 →＝λa，A1B1 → ＝ λb；则OB→＝a＋b，OB1 →＝λa＋λb. 图 6 由作法知AB→∥A1B1 → ，有∠OAB＝∠OA1B1，|A1B1 → |＝λ|AB→|， 所以 |OA1 →| |OA→| ＝ |A1B1 → | |AB→| ＝λ.所以△AOB∽△A1OB1. 所以 |OB1 →| |OB→| ＝λ，∠AOB＝∠A1OB1. 因此 O、B、B1 在同一条直线上，|OB1 →|＝|λOB→|，OB1 →与λOB→的方向也相同． 所以λ(a＋b)＝λa＋λb. 当λ<0 时，由图 7 可类似证明λ(a＋b)＝λa＋λb. 图 7 所以③式也成立． 二、备用习题 1.1 3 [1 2 (2a＋8b)－(4a－2b)]等于( ) A．2a－b B．2b－a C．b－a D．a－b 2．设两非零向量 e1、e2 不共线，且 ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，则 k 的值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 3．若向量方程 2x－3(x－2a)＝0，则向量 x 等于( ) A.6 5 a B．－6a C．6a D．－6 5 a 4．在△ABC 中，AE→＝1 5 AB→，EF∥BC，EF 交 AC 于 F，设AB→＝a，AC→＝b，则BF→用 a、b 表示 的形式是BF→＝________. 5．在△ABC 中，M、N、P 分别是 AB、BC、CA 边上的靠近 A、B、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA→＋OB→＋OC→＝1 3 e1－1 2 e2，则OM→＋ON→＋OP→＝________. 6．已知△ABC 的重心为 G，O 为坐标原点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c， 求证：OG→＝1 3 (a＋b＋c)． 参考答案： 1．B 2.C 3.C 4．－a＋1 5 b 5.1 3 e1－1 2 e2 6．证明：连结 AG 并延长，设 AG 交 BC 于 M. ∵AB→＝b－a，AC→＝c－a，BC→＝c－b， ∴AM→＝AB→＋1 2 BC→＝(b－a)＋1 2 (c－b)＝1 2 (c＋b－2a)． ∴AG→＝2 3 AM→＝1 3 (c＋b－2a)． ∴OG→＝OA→＋AG→＝a＋1 3 (c＋b－2a)＝1 3 (a＋b＋c)．