宁夏石嘴山市2019届高三适应性测试数学（理）试题 Word版含解析

宁夏石嘴山市2019届高三适应性测试数学（理）试题 Word版含解析

- 1 - 2019 年石嘴山市高三年级适应性测试 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题两部分，其中第Ⅱ卷第 22-23 题 为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题 无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码 上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的中性笔书 写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，写在草稿纸上、超出答题区域或非 题号对应的答题区域的答案一律无效. 4.作图可先使用 2B 铅笔填涂；非选择题作图必须用黑色字迹的中性笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求） 1. 若集合  1,2,3,4,5,6,7,8U  ，  2,5,8A  ，  1,3,5,7B  ，那么 ( )UC A B 等于 （ ） A.  5 B.  1,3,7 C.  4,6 D.  1,2,3,4,6,7,8 【答案】C 【解析】  2,5,8A  ，  1,3,5,7B  ，所以  1,2,3,5,7,8A B  . 集合  1,2,3,4,5,6,7,8U  ，所以    4,6UC A B  . 故选 C. 2. 若复数 1 1 2z i  ，复数 2 1z i  ，则 1 2z z  - 2 - A. 6 B. 10 C. 6 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算 1 2z z ，再求 1 2z z . 【详解】 1 2 3z z i  ，故 1 2 10z z  ，故选 B. 【点睛】本题考察复数的概念与运算，涉及到乘法运算和复数的模，为基础题. 3. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如 图阴影部分所示)的面积，作一个边长为 5 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 1000 个点，己知恰有 400 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 A. 2 B. 3 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】 根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是 s，由题意得 2 400 s= 101000 5 s  ，选 C. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有 时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域． 4. 若 5log 3a  ， lg0.7b  ， 0.13c  ，则（ ）. A b a c  B. c b a  C. b c a  D. a b c  【答案】A - 3 - 【解析】 【分析】 根据指对数的函数性质即可知 , ,a b c 的大小关系. 【详解】 50 log 3 1a   ， lg0.7 0b   ， 0.13 1c   ， ∴b a c  ， 故选：A 【点睛】本题考查了指对数的大小比较，根据指对数的性质确定与 0、1 的关系比较大小，属 于简单题. 5. 已知向量 a 与向量 b 满足| | 1a  ，| | 2b  ， ( )a a b    ，则 a 与b 的夹角是（ ）. A. 6  B. 5 6  C. 3  D. 2 3  【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量垂直得到向量的数量积为 0 ，由此计算出 a b  的结果，再根据数量积的定义求解出 cos ,a b   的值从而向量 a ，b 的夹角可求. 【详解】因为 ( )a a b    ，所以   0a a b     ，所以 2 0a a b   r r r ， 所以 cos , 1a b a b a b          ，所以 1cos , 2a b    ，所以 2, 3a b    ， 故选：D. 【点睛】本题考查向量夹角的求解，主要考查学生对向量数量积计算公式的灵活运用，难度 较易. 6. 函数 cos2 sin( )   xy x  的部分图象大致是（ ）. A. B. - 4 - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先利用诱导公式整理化简，再利用定义判断函数的奇偶性，最后特殊值代入即可判断选项. 【详解】由  cos2 cos2 cos2 sin( ) sin sin x x xy f xx x x      ，        cos 2 cos2 sin sin x xf x f xx x       ， 所以函数  f x 为奇函数，排除选项 B，D； 又   cos21 0sin1f    ，排除选项 A. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了诱导公式，函数的奇偶性.属于较易题. 7. 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 1 2a a ，且 3S ， 1S ， 2S 成等差数列，则 4S （ ）. A. 10 B. 12 C. 18 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据题意求出等比数列的首相与公比，再由等比数列前 n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列公比为 q，由 2 1 2a a ，所以 1 2 1a qa ，又 1 0a  ，所以 1a q ， 因为 3S ， 1S ， 2S 成等差数列，所以 2 31= +2S S S ， 所以 3 1 1 1 1 1 12 =a a a a a aq q q    ，由 1a q ，所以 0q  （舍）或 2q   ， 所以 1 2a q   ，所以    3 1 4 1 2 1 16 101 3 a q S q       . 故选：A - 5 - 【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的性质，属于中档题. 8. 已知实数 ,x y 满足 2 4 2 4 0 x y x y y        ，则 3 2z x y  的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】 由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程 组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】由实数 x，y 满足 2 4 2 4 0 x y x y y        得到可行域如图：z＝3x﹣2y 变形为 y＝ 3 2 x﹣ 2 z ， 由 0 2 4 y x y     ，解得 B（2，0） 当此直线经过图中 B 时，在 y 轴的截距最大，z 最小， 所以 z 的最小值为 3×2﹣2×0＝6； 故选 C． 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般 步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到 目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过 的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 9. 已知函数 ( ) 2sin cos cos 2 6       f x x x x  ，则下列说法正确的是（ ）. - 6 - A. ( )f x 的最大值为 2 B. ( )f x 由 ( ) 3sin 2g x x 的图像向左平移 6  个单位 C. ( )f x 的最小正周期为 2 D. ( )f x 的单调递增区间为 ,3 6k k        （ k Z ） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角恒等变换公式可将 ( )f x 化简为 ( ) 3sin 2 6f x x      ，然后根据各选项的要求分 别求得函数 ( )f x 的最大值、最小正周期、单调递增区间以及函数 ( )g x 图象平移后的解析式， 最后作出判断即可. 【详解】 ( ) 2sin cos cos 2 6       f x x x x  sin 2 cos2 cos sin 2 sin6 6x x x    3 3sin 2 cos22 2x x  3sin 2 6x      ， 显然 ( )f x 的最大值为 3 ，故 A 错误； ( ) 3sin 2g x x 的图像向左平移 6  个单位后解析式为 ( ) 3sin 2 3sin 26 3g x x x                 ，故 B 错误； ( )f x 的最小正周期为 2 2   ，故 C 错误； 令 2 2 22 6 2k x k         （ k Z ），解得 3 6k x k       （ k Z ），所以 ( )f x 的单调递增区间为 ,3 6k k        （ k Z ），故 D 正确. - 7 - 故选：D. 【点睛】本题考查简单三角恒等变换，考查正弦型函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和 运算求解能力，属于常考题. 10. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图 中的曲线为 1 4 圆周，则该几何体的表面积为（ ）. A. 16 B. 64 16 C. 64 D. 1664 3  【答案】C 【解析】 【分析】 判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可. 【详解】由题意可知:几何体是棱长为 4 的正方体去掉一个半径为 4 的圆柱的几何体，如图， 几何体的表面积为： 2 1 14 4 4 4 2(4 4 4 ) 2 4 4 642 2 4               . 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档 题. 11. 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为点 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)( 0)F c c  ，抛 物线 2 4y cx 与双曲线在第一象限内相交于点 P ，若 2 1 2PF F F ，则双曲线的离心率为 （ ） - 8 - A. 1 2 B. 1 3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据准线方程和抛物线定义可知四边形 1 2PHF F 为平行四边形，从而可知 2PF 为半通径，从而 可构造出关于 ,a c 的齐次方程，解方程求得离心率. 【详解】由 2 4y cx 可得准线方程为： x c  （过点 1F ） 设 P 到准线的距离为 PH ，则 2PH PF 又 1 2/ /PH F F ， 2 1 2PH PF F F  四边形 1 2PHF F 为平行四边形 2PF x  轴 又 2 2 2bPF ca   ，则 2 2 2 2b c a ac   ，即： 2 2 1 0e e   解得： 1 2e   本题正确选项： A 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够构造出关于 ,a c 的齐次方程，从而建立起 关于离心率的方程. 12. 定义在 R 上的奇函数  y f x 满足  3 0f  ，且当 0x  时，不等式    'f x xf x  恒 成立，则函数     lg 1g x xf x x   的零点的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 由不等式    'f x xf x  在  0,  上恒成立，得到函数    h x xf x 在 0x  时是增函 数，再由函数  y f x 是定义在 R 上的奇函数得到    h x xf x 为偶函数， 结合      0 3 3 0f f f    ，作出两个函数  1y xf x 与 2 lg 1y x   的大致图象，即 可得出答案． - 9 - 【详解】解：定义在 R 的奇函数  f x 满足：      0 0 3 3f f f    ， 且    f x f x   ， 又 0x  时，    'f x xf x  ，即    ' 0f x xf x  ， ，函数    h x xf x 在 0x  时是增函数， 又      h x xf x xf x     ，    h x xf x  是偶函数； 0x  时，  h x 是减函数，结合函数的定义域为 R，且      0 3 3 0f f f    ， 可得函数  1y xf x 与 2 lg 1y x   的大致图象如图所示， 由图象知，函数     lg 1g x xf x x   的零点的个数为 3 个． 故选 C． 【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问 题，是中档题目． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应 位置） 13. 已知函数 1 , 3( ) 2 ( 1), 3 x xf x f x x          ，则 (1)f  ________. 【答案】 1 8 【解析】 【分析】 - 10 - 根据函数解析式，推导出      1 2 3f f f  ，由此能求出结果． 【详解】解：因为 1 , 3( ) 2 ( 1), 3 x xf x f x x          ，所以       31 11 2 3 2 8f f f        故答案为： 1 8 【点睛】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于基础 题． 14. 6 2 12x x     的展开式中， 3x 的系数为________. 【答案】160 【解析】 【分析】 根据二项式通项即可求得 3x 对应的 3r  ，进而求它的系数即可. 【详解】由二项式通项知： 6 6 6 3 1 6 62 1(2 ) ( ) 2r r r r r r rT C x C xx        ， ∴当 6 3 3r   有 3r  ，系数为 3 3 6 6 5 42 8 1606C      ， 故答案为：160. 【点睛】本题考查了二项式定理，根据二项式通项求指定项的系数，属于简单题. 15. 设 nS 是数列 na 的前 n 项和，点  *, nn a n N 在直线 2y x 上，则数列 1 nS       的前 n 项和为________. 【答案】 1 n n  【解析】 【分析】 点 (n ， *)( )na n N 在直线 2y x 上，可得 2na n ．利用等差数列的求和公式、裂项求和方 法即可得出． 【详解】解：点 (n ， *)( )na n N 在直线 2y x 上， 2na n  ． - 11 - (2 2) ( 1)2n n nS n n    ．  1 1 1 1 ( 1) 1nS n n n n     ． 则数列 1 nS       的前 n 项和 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1 n n n n n            ． 故答案为： 1 n n  ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题． 16. 已知三棱锥 P ABC 的所有棱长都相等，现沿 PA PB PC， ， 三条侧棱剪开，将其表面 展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 2 6 ，则三棱锥 P ABC 的内切球的 体积为 . 【答案】 3 2  【解析】 试题分析： 三棱锥 P ABC 展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为 a ．则 4 6 sin a A  ，得 6 2a  ．所以三棱锥的棱长为3 2 ，可得棱长的高 2 3h  设内切球的 半径为 r ， 1 14 3 3ABC ABCr S h S      ，得 3 2r  ，所以 34 3= 3 2V r 内切球 . 考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤） 17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A cos A 3 0 ， 2 7a  ， b=2. （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求△ABD 的面积. 【答案】（1）c=4（2） 3 【解析】 【分析】 - 12 - （1）根据同角三角函数的基本关系式求得 tan A ，由此求得 A 的大小，利用余弦定理列方程， 解方程求得 c . （2）先求得三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积比，再由三角形 ABC 的面积，求得三角形 ABD 的面积. 【详解】（1）由已知可得 tan 3A   ，所以 2 3A  . 在△ABC 中，由余弦定理得 2 228 4 4 cos 3c c    ， 即 2 2 24 0c c   ，解得 c=-6（舍去），c=4. （2）由题设可得 2CAD   ，所以 6BAD BAC CAD       . 故△ABD 与△ACD 面积的比值为 1 sin2 6 11 2 AB AD AC AD     . 又△ABC 的面积为 1 4 2sin 2 32 BAC    ， 所以△ABD 的面积为 3 . 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的 基本关系式，属于基础题. 18. 近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2019 年元旦期间，石嘴山市某物平台 的销售业绩高达 1271 万人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价 体系，现从评价系统中选出 200 成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 0.6，对 服务的好评率为 0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次. （1）完成下面的 2 2 列联表，并回答是否有 99%的把握认为商品好评与服务好评有关？ 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 对商品不满意 - 13 - 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 3 次购物中，设对商品和服务全好评的 次数为随机变量 X ，求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列，数学期望和方差. 附：  2P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ） 【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为 6 5 ，方差为 18 25 . 【解析】 【分析】 （1）根据题设已知条件信息完善列联表，由卡方检验计算公式求卡方值，即可知是否有 99% 的把握认为商品好评与服务好评有关；（2）根据二项分布公式得到分布列，并依据二项分布 公式求期望、方差. 【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的 2 2 列联表如下： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 2 2 200 (80 10 40 70) 11.111 6.635150 50 120 80        K ， 故有 99%的把握，认为商品好评与服务好评有关. （2）每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为 2 5 ，且 X 的取值可以是 0，1，2，3. 其中 33 27( 0) 5 125P X       ， 2 1 3 2 3 54( 1) 5 5 125P X C          ， - 14 - 2 2 3 2 3 36( 2) 5 5 125P X C             ， 3 3 3 2 8( 3) 5 125P X C       ， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125 ∵ 2~ 3, 5X B     ， ∴ 2 6( ) 3 5 5E X    ， 2 3 18( ) 3 5 5 25D X     . 【点睛】本题考查了卡方检验值的计算，利用二项分布得到分布列，应用二项分布公式求期 望 ( )E X np 、方差 ( ) (1 )D X np p  . 19. 设椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 1F ，离心率为 1 2 ， 1F 为圆 2 2: 2 15 0M x y x    的圆心. （1）求椭圆的方程； （2）已知过椭圆右焦点 2F 的直线 l （斜率存在且不为 0）交椭圆于 A ， B 两点，过 2F 且与 l 垂直的直线 1l 与圆 M 交于C ， D 两点，求四边形 ACBD 面积的取值范围. 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） (12,8 3) . 【解析】 【分析】 （1）由题意求得 a ，b 的值即可确定椭圆方程； （2）设直线 l 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得| |AB ，根据点到直线的距离公 式可求出 CD ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围 【详解】解：（1）由题意知 1 2 c a  ，则 2a c ，圆 M 的标准方程为 2 2( 1) 16x y   ， 从而椭圆的左焦点为 1( 1,0)F  ，即 1c  ， - 15 - 所以 2a  ，又 2 2 2b a c  ，得 3b  . 所以椭圆的方程为： 2 2 14 3 x y  . （2）由已知可设 l 的方程为 ( 1)( 0)y k x k   ，并设  1 1,A x y ，  2 2,B x y . 由 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     ，得  2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k     . 显然   ，且 2 1 2 2 8 4 3 kx x k    ， 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k   . 所以  2 2 1 2 2 12 1 | | 1 4 3       k AB k x x k . 过 2F 且与l 垂直的直线 1 1: ( 1)l y xk    ，则圆心到 1l 的距离为 2 2 1k  ， 所以 2 2 2 22 2 4 3| | 2 4 4 11 kCD kk         . 故四边形 ABCD 面积： 2 1 1| | 12 12 4 3     ‖S AB CD k . 因为 24 3 3k   ，所以 2 1 10 4 3 3k   ，所以 2 1 41 1 4 3 3k    ，所以 2 1 2 31 1 4 3 3k    ，所以 2 112 1 8 84 3k    故四边形 ABCD 面积的取值范围为 (12,8 3) . 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立， 运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题． 20. 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， AD CD ， AB ∥ CD , 1 22AB AD CD   ,点 M 在线段 EC 上． - 16 - （I）当点 M 为 EC 中点时，求证： BM ∥平面 ADEF ； （II）当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余弦值为 6 6 时，求三棱锥 M BDE 的体 积． 【答案】（I）建立空间直角坐标系，证明 BM OC  ，进而得证；（II） 4 3 【解析】 【详解】 试题分析：（1）要证明直线和平面平行，只需在平面内找一条直线，与平面外的直线平行即 可，取 中点 ，连结 ．可证明四边形 为平行四边形．于是， ∥ ， 从而证明 面 ;（2）建立空间直角坐标系，设点 M 的坐标，求两个半平面的法 向量，然后利用已知二面角的余弦值列方程，从而确定点 M 的位置，进而求三棱锥 的体积. - 17 - 试题解析：（1）证明 取 中点 ，连结 ．在△ 中， 分别为 的中点， 则 ∥ ，且 ．由已知 ∥ ， ，因此， ∥ ，且 ．所以，四边形 为平行四边形． 于是， ∥ ．又因为 平面 ，且 平面 ， 所以 ∥平面 ，从而可证. （2）按如图建立空间直角坐标系，点 与坐标原点 重合.设 ，则 ，又 ，设 ，则 ，即 . 设 是平面 的法向量，则 , . 取 ，得 ，即得平面 的一个法向量为 . 由题可 知， 是平面 的一个法向量.因此， ，即点 为 中点.此时， ， 为三棱锥 的高，所以， . 考点：1、直线和平面平行的判定；2、面面垂直的判定；3、二面角和三棱锥的体积. - 18 - 21. 已知函数 2( ) ( 1) lnf x x m x   ， Rm . （1）当 2m  时，求函数 ( )f x 图象在点 (1,0) 处的切线方程： （2）若函数 ( )f x 有两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2x x ，求  2 1 f x x 的取值范围. 【答案】（1） 2 2 0x y   ；（2） 21 ,0e e      【解析】 【分析】 (1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可； (2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即 可. 【详解】  1 当 2m  时，   2( 1) 2f x x lnx   ，其导数     2' 2 1f x x x    ， 所以 ，即切线斜率为 2， 又切点为  1,0 ，所以切线的方程为 2 2 0.x y    2 函数  f x 的定义域为 0, ，     22 2' 2 1 m x x mf x x x x      ， 因为 1x ， 2x 为函数  f x 的两个极值点， 所以 1x ， 2x 是方程 22 2 0x x m   的两个不等实根，由根与系数的关系知 1 2 1 21, 2 mx x x x   ， * 又已知 1 2x x ，所以 1 2 10 12x x    ，   2 2 2 2 1 1 ( 1)f x x mlnx x x   ， 将 * 式代入得    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) 2 1 1 21 f x x x x lnx x x lnxx x       ， 令   1 2g t t tlnt   ， 1 ,12t     ， ，令 ，解得 1t e  ， - 19 - 当 1 1,2x e     时， ，  g t 在 1 1,2 e      递减； 当 1 ,1x e     时， ，  g t 在 1 ,1 e      递增； 所以 1 2 2( ) 1 1min eg t g ee e         ，    1 , 12g t max g g        ，  1 1 2 0 12 2g ln g        ， 即  2 1 f x x 的取值范围是 21 ,0 .e e      【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知 识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及 命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意 义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单 调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结 合思想的应用． 请考生在题（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分. 做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22. 在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2 3 3 x t y t    （t 为参数），以坐标原点 O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为 4cos  . （1）求 l 的极坐标方程和 1C 的直角坐标方程； （2）若曲线 2C 的极坐标方程为 6   ， 2C 与l 的交点为 A ，与 1C 异于极点的交点为 B ，求 AB . 【答案】（1） cos 3 sin 2 0      ； 2 22 4x y   （2） 4 3 3 【解析】 - 20 - 【分析】 （1）将参数方程转化为直角方程，转化为极坐标方程，计算直线 l 的方程，即可．结合 cos , sinx y     ，得到 1C 的直角方程，即可．（2）分别计算极径 ,A B  ，结合 A BAB    ，计算结果，即可． 【详解】（1）因为直线 l 的参数方程为 2 3 3 x t y t    （t 为参数）， 所以直线 l 的普通方程为 3 2 0x y   ， 又 cos , sinx y     故直线 l 的极坐标方程为 cos 3 sin 2 0      . 由曲线 C1 的极坐标方程为 4cos  ，得 2 4 cos 0    ， 所以曲线 C1 的直角坐标方程为 2 22 4x y   . （2） , , ,6 6A BA B             则 cos 3 sin 2 06 6A A      ，解得 1 2 3 3   . 又 4cos 2 36B    所以 2 3 4 32 33 3A BAB       . 【点睛】考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了参数方程转化为直角坐标方程，考 查了极坐标下弦长计算公式，难度中等． 选修 4-5：不等式选讲 23. 已知函数 1 1( ) 2 2   f x x x m 的最大值为 4. （1）求实数 m 的值； （2）若 0m  ， 0 2 mx  ，求 2 2 | | | 2 |  x x 最小值. 【答案】（1） 4m   或 4m  ；（2）4. - 21 - 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值的三角不等式可求得最值；（2）由题意求得 x 的范围，去绝对值后，再利用 “1”的代换计算. 【详解】（1）∵ 1 1 1 1( ) | | 42 2 2 2        f x x x m x m x m ， ∴ 4m   或 4m  . （2）∵ 0m  ， 由（1）可知 4m  ， ∴ 0 2x  ， ∴ 2 2 2 2 1 1 1 12 [ (2 )]| | | 2 | 2 2 2                      x xx x x x x x x x 2 22 2 2 42 2          x x x x x x x x ， 当且仅当 2 2(2 ) x x ， 即 1x  时，等号成立， ∴ min 2 2 4| | | 2 |     x x . 【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式以及基本不等式求最值问题.属于中档题.