数学（理）卷·2018届宁夏石嘴山市三中高三上学期第四次（1月）月考（2018

数学（理）卷·2018届宁夏石嘴山市三中高三上学期第四次（1月）月考（2018

石嘴山市第三中学高三年级第四次月考试卷（理数）‎ 考试时间：120分钟；满分：150分；命题人： ‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．已知集合，则集合不可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知复，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知直线和圆，则直线和圆的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 ‎5．在矩形中， ， ，将沿折起后，三棱锥的外接球表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是　　(　　) ‎ ‎ ‎ A. 25500立方尺 B. 34300立方尺 C. 46500立方尺 D. 48100立方尺 ‎7．已知点P是抛物线上的-个动点，则点P到点A(0, 1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎8．已知实数满足若的最大值为10，则（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎9．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的的值等于(  ) A.18 B.20 C.21 D.40 ‎ 10. 年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于 以前的《甄嬛传》，某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄 段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在 ‎ 的爱看比例分别为，‎ 现用这个年龄段的中间值代表年龄段，如代表 代表，根据前四个数据求得关于爱看比例的[来源]‎ 线性回归方程为，由此可推测的值为（ ）‎ A. B. C. D. (第9题图） ‎ ‎11．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）‎ A. 300 B. 338 C. 600 D. 768‎ ‎12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=，值域为{5，10}的“孪生函数”‎ 共有（　　）‎ A. 4个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若， ，则__________.‎ ‎14．已知正方体的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则四棱锥M ABCD的体积小于的概率为______．‎ ‎15．已知展开式的常数项为15，则__________．‎ ‎16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用表示不超过的最大整数，并用表示的非负纯小数，则称为高斯函数，已知数列满足：，则__________．‎ 三、解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（满分12分）已知等差数列的前项和为，公差，且， 成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎18．（满分12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的空气质量指数（API）的监测数据，统计结果如表：‎ 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），API指数为.当在区间内时，对企业没有造成经济损失；当在区间内时，对企业造成的经济损失与成直线模型（当API指数为150时，造成的经济损失为1100元，当API指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当API指数大于300时，造成的经济损失为2000元.　‎ ‎（1）试写出的表达式；‎ ‎（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100且不超过1700元的概率；‎ ‎（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为重度污染，完成列联表，并判断是否有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？‎ 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 附：‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎，其中 ‎19．（满分12分）如图，四棱锥的底面是矩形， ⊥平面， ， .‎ ‎(1)求证： ⊥平面；‎ ‎(2)求二面角余弦值；‎ ‎(3)求点到平面的距离．‎ 20． ‎（满分12分）在平面内点、、曲线C上的动点满足 ‎.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）点， 在曲线上，且与轴平行，过 点作两条直线分别交曲线于， 两点.若直线平分，求证：直线的斜率是定值，并求出这个定值.‎ ‎21．（满分12分）已知函数 ‎（Ⅰ）若函数的图像在点处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若在函数定义域内，总有成立，试求实数的最大值.‎ ‎22．（满分10分）已知曲线 的参数方程为 ，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）分别写出的普通方程， 的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知M，N分别为曲线 的上、下顶点，点P为曲线 上任意一点，求 的最大值．‎ 答案 ‎1．D ‎2．C ‎3．A ‎4．A ‎5．B ‎6．C ‎7．C ‎8．C ‎9．B ‎10．B ‎11．D ‎12．C ‎ ‎13．‎ ‎14.‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析： 根据条件可知，即， 和 的关系，求出和的值，即可求出数列的通项公式；‎ 求得数列的通项公式，采用乘以公比“错位相减法”，即可求出数列的前项和 解析：（1）由题得，设等差数列的公差为，则， 化简得. ‎ ‎，得，‎ ‎∴，即 ‎（2）由题意可知， ‎ ‎ ，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎-②，得，‎ ‎∴.‎ ‎18(1) (2)0.4；(3)有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.‎ 解析：（1）依题意，可得 ‎（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100元且不超过1700元”为事件，由，得，由统计结果，知，‎ 即在本年内随机抽取1天，该天经济损失大于1100元且不超过1700元的概率为0.39.‎ ‎（3）根据题中数据可得如下列联表：‎ 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 合计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 的观测值，‎ 所以有的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.‎ 点睛：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．概率问题是高考中和实际联系非常紧密的一道题目，容易出现新的题型新的情景；只要审题清楚，联系实际和数学知识，就能做好。‎ ‎19(1)略 ‎(2)q= 450‎ ‎(3)‎ 解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD， ∴CD⊥PD，‎ 知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450. 二面角P—CD—B余弦值为。‎ ‎（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，‎ 由，有，即，得 方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，‎ 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分 在Rt△BAD中，AD=2，BD=，‎ ‎∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），‎ ‎∴‎ ‎∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分 解：（2）由（1）得.‎ 设平面PCD的法向量为，则，‎ 即，∴故平面PCD的法向量可取为 ‎∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………………………7分 设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得. ……………………………9分 ‎（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，‎ 则，即，∴x=y=z，故可取为. ………1‎ ‎1分 ‎∵，∴C到面PBD的距离为…………………13分 考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。‎ 点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法： ①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角； ②设分别是二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。‎ ‎20（1）；（2）。‎ 解析：（1）‎ ‎（2）设直线的方程为 联立方程组 ‎∴ ‎ 直线平分，所以和斜率互为相反数 设直线的方程为 联立方程组 又 ‎21．(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) ‎ 解析：（Ⅰ）易得，且 由题意，得，解得，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎①当时， ， 函数在单调递减，‎ ‎②当时，由，得；‎ 由，得或 函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎③当时，同理，得 函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 综上，当时，函数在单调递减；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（Ⅲ）由题意，知恒成立，‎ 恒成立，‎ 恒成立，‎ 令，则只需 ‎，‎ 由，得，‎ 当时， ，此时，函数在上单调递减；‎ 当时， ，此时，函数在上单调递减，‎ 令，则只需 由，得，此时， 在上单调递减，‎ 由，得，此时， 在上单调递减，‎ ‎，‎ 即 故所求实数的最大值为 ‎22．（Ⅰ）曲线的普通方程为 ；曲线的普通方程为；‎ ‎（II）的最大值为 ‎【解析】：根据题意和平方关系求出曲线的普通方程，由 和题意求出的直角坐标方程。‎ 法一：求出曲线参数方程，设点的参数坐标，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简，利用正弦函数的最值求出的最值，即可求出的最大值；‎ 法二：设点坐标为，则，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出并简化，再化简，再求出的最值，即可求出的最大值。‎ 试题解析（1）曲线的普通方程为， ‎ ‎ 曲线的普通方程为. ‎ ‎ （2）法一：由曲线：，可得其参数方程为，所以点坐标为，由题意可知.‎ 因此 ‎ ‎ ‎.‎ 所以当时，有最大值28， ‎ 因此的最大值为. ‎ 法二：设点坐标为，则，由题意可知.‎ 因此 ‎ ‎ ‎.‎ 所以当时，有最大值28， ‎ 因此的最大值为.‎