浙江省温州市2018届高三适应性测试（二模）数学试卷 答案

浙江省温州市2018届高三适应性测试（二模）数学试卷 答案

机密 ★ 考试结束前 2018 年 3 月份温州市普通高中高考适应性测试 数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟． 参考公式： 球的表面积公式 锥体的体积公式 球的体积公式 其中 S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高 台体的体积公式 其中 R 表示球的半径 柱体的体积公式 其中 Sa，Sb 分别表示台体的上、下底面积 V=Sh h 表示台体的高 其中 S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 ，则 （ ▲ ） A． B． C． D． 24S R= π { } { }4021 ≤<=≤−= xxBxxA ， R( )A B = { }30 ≤< xx { }43 ≤≤− xx { }43 ≤< xx { }03 ≤<− xx 2．已知 R， 为虚数单位，且 为实数，则 ＝（ ▲ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．已知 为实数， ， ，则 是 的（ ▲ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若变量 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ▲ ） A． B． C． D． 5．在 的展开式中，常数项是（ ▲ ） A． B． C． D． 6．随机变量 的分布列如右表所示，若 ，则 （ ▲ ） A．9 B．7 C．5 D．3 7．椭圆 中， 为右焦点， 为上顶点， 为坐标原点，直线 交椭 圆于第一象限内的点 ，若 ，则椭圆的离心率等于（ ▲ ） A． B． C． D． 8．已知函数 与 的图象如图所示，则 （ ▲ ） A．在区间 上是减函数 B．在区间 上是减函数 )(xf )(' xf ∈a i (1+ a i )(1+ i) a ba, :p 0=+ ba 0: 22 =+ baq p q ,x y 0 3 0 2 0 x x y x y ≥  + − ≤  − ≤ 2z x y= + [ ]0,6 [ ]0,4 [ )6,+∞ [ )4,+∞ 91( 2 )x x − 3 9C 3 9C- 3 98C 3 98C- X 1( ) 3E X = (3 2)D X − = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F B O by xa = C BFO BFCS S∆ ∆= 2 2 1 7 + 2 2 1 7 − 2 2 1 3 − 2 1− )()( xf exg x = (0,1) (1,4) X -1 0 1 P 1 6 a b 第 13 题图 C．在区间 上是减函数 D．在区间 上是减函数 9．已知向量 a,b 满足|a|=1，且对任意实数 ，|a－ b|的最小值为 ，|b－ a|的最小值为 ，则|a+b|＝（ ▲ ） A． B． C． 或 D． 或 10．已知线段 垂直于定圆所在的平面， 是圆上的两点， 是 点 在 上的射影，当 运动时，点 运动的轨迹（ ▲ ） A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11 ．已知 ，则 的大小关系是 ▲ ， ▲ . 12．若 ，则 = ▲ ， = ▲ . 13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积 是 ▲ cm3,表面积是 ▲ cm2. 14．若递增数列 满足： ， ， ，则实数 的取值范围为 ▲ ， 4(1, )3 4( ,4)3 ,x y x 3 2 y 3 7 5 2 3+ 7 3 5 2 3+ 5 2 3− AB ,B C H B AC C H 2 3,3 2a b= = ,a b ab = cos2 2cos( ), (0, )4 πα α α π= + ∈ sin 2α tanα { }na 1a a= 2 2a a= − 2 2n na a+ = a 第 8 题图 O 记 的前 项和为 ，则 ▲ . 15．若向量 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影的取值范围是 ▲ . 16．学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上 两节而且两节连上，而英语，物理，化学，生物最多上一节，则不同的功课安排有 ▲ 种 情况. 17．已知 在 上恒成立，则实数 的最大值为 ▲ . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本小题 14 分）如图，已知函数 的图象与坐标轴交于点 ，直线 交 的图象于另一点 ， 是 的重心. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的外接圆的半径． 19.（本小题 15 分）如图，在四棱锥 中， ， ， 是等边三 角形， ， ， . （Ⅰ）求 的长度； （Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值 { }na n nS 2nS = ,a b 2 2( ) | | 3+ − = =a b b a | | 2b ≥ a b 2( ) ,f x x ax= − | ( ( )) | 2f f x ≤ [1,2] a ( ) sin( )( 0,| | )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 1, , ( ,0)2 −A B C BC ( )f x D O ∆ABD ϕ ∆ACD P ABCD− CDAB // 90ABC∠ =  ADP∆ 2AB AP= = 3BP = AD BP⊥ BC CB ADP 第 19 题图 第 18 题图 20.（本小题 15 分）已知函数 （I）若 在 处的切线与 也相切，求 的值； （II）若 ，求函数 的最大值. 21.（本小题 15 分）斜率为 的直线交抛物线 于 两点，已知点 的横坐标比点 的 横坐标大 4，直线 交线段 于点 ，交抛物线于点 . （I）若点 的横坐标等于 0，求 的值； （II）求 的最大值. 2 2 4 3 1( ) , ( ) 2 −= = − +x xf x g x x axe ( )y f x= 1x = ( )y g x= a 1a = ( ) ( )y f x g x= + k 2 4x y= ,A B B A 1y kx= − + AB R ,P Q A | |PQ | | | |PR QR⋅ 第 21 题图 22.（本小题 15 分）设 为正项数列 的前 项和，满足 . （I）求 的通项公式； （II）若不等式 对任意正整数 都成立，求实数 的取值范围； （III）设 (其中 是自然对数的底数)，求证： . nS { }na n 22 2n n nS a a= + − { }na 2(1 ) 4na na t + ≥+ n t 3 ln( 1)4 na n nb e += e 1 2 3 4 2 6 6 n n bb b b b b + + + + < 2018 年 3 月份温州市普通高中高考适应性测试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A D C A C C A 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分． 11． ，1； 12．1，1； 13． ， ； 14． ， ； 15． ； 16．336 种； 17． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．解：（Ⅰ）∵ 是 的重心， ，∴ ， 故函数 的最小正周期为 3，即 ，解得 ，……………………3 分 ， ∴ ……………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ∴ 且 ∴ ……………………8 分 a b> 2 3π 25 +π 2 13 a< < 12 2n+ − 3[ ,0)2 − 4 173+ O ∆ABD 1( ,0)2 −C (1,0)A ( )f x 2 3 π ω = 2 3 πω = 1 2 1( ) sin[ ( ) ] sin( ) 02 3 2 3 ππ ϕ ϕ− = × − + = − + =f 3 πϕ = 2( ) sin( )3 3f x x π π= + 3(0, )2B 1( ,0)2 −C 60∠ = BCO ∵ 是 的中点， ……………………10 分 ……………………11 分 ∴ ∴外接圆半径等于 …………………………14 分 19．解：（I）取 中点 F，连 ， ∵ 是等边三角形，∴ ……………………2 分 又∵ ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ………………………4 分 ∴ …………………………6 分 （II）∵AD⊥平面 PFB ，AD⊂平面 APD ∴平面 PFB⊥平面 APD …………………………………8 分 作 BG⊥PF 交 PF 为 G，则 BG⊥平面 APD，AD、BC 交于 H，∠BHG 为直线 与平面 所成的角 …………10 分 由题意得 PF=BF= 又∵BP=3 ∴∠GFB=30°，BG= ， ……………………12 分 1( ,0)2 −C BD 3( 1, )2D∴ − − 3 194 4 2 ∴ = + =AD 19 5722 sin sin120 3 = = =∠  ADR ACD 57 6 AD ,PF BF ADP∆ PF AD⊥ AD BP⊥ AD ⊥ PFB ⊂BF PFB BFAD ⊥ 2==∴ ABBD 3=BC CB PAD 3 2 3 ∵ ，∴CD=1，∴ ∴ ……………………15 分 20．解：（I） ……3 分 ……………………4 分 切线方程为 ……………………………6 分 因为函数 在 处的切线与 也相切 …………………………7 分 （II） ………………………………9 分 ……………………………………………10 分 当 ， 90=∠=∠ BCDABC 2 3BH = 3sin 4BHG∠ = 2 2 2 2 2 (4 3) 2 ( ) ( ) x x x e x e xf x e × - - × ¢ = 2 2 8 6 x x x e x - += × 2 1(1) 0, (1)k f f e ¢ = = = 2 1y e= ( )y f x= 1x = ( )y g x= 2 2 1 2 2 a ae e = =± 2 2 4 3 1( ) ( ) 2 −= + = − +x xy f x g x x xe 2 2 8 6 1 − +′∴ = − + ⋅ x x xy x x e 2 2(1 )(1 4 ) (1 )(1 ) − += + + − ⋅ x x x x x x e 2 2 8(1 )(1 ) += − + + ⋅ x xx x x e (0,1)∈x 0′ >y 当 ， 在 上单调递增，在 上单调递减……………13 分 ∴ ……………………………………………………15 分 21．解：（I）∵ ， ∴ ………………………………………………………………………2 分 联立： 设 ，则 …………………6 分 （II）设 的方程为 代入 ，得： ∵ ，∴ …………………………………9 分 由 ……………………………………………10 分 联立： ，∴ ，……11 分 则： ……………………………13 分 (1, )∈ +∞x 0′ 1 12 2(1 ) (1 )1 1 n n n t n + +∴ + ≥ ++ + + 1n = 41 21 1 ≥     ++ +n n n 1 2 1 2 1 1 2 2 2 21 1 1 2 41 1 1 1 n n n nC Cn n n n + + +    + ≥ + ⋅ + ⋅ = + + ≥   + + + +    （III） ………………………………………………………………10 分 ………………………………………………………13 分 当 时， ………………………………………………………………15 分 ( ) ( )14 3 1 ++= n n nb ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 43 33 1 1 4 44 3 2 1 2 1 232 4 1 11 1 1 1 1 43 3 3 323 1 1 n n n n nnn n nb b n n n nn n + + + +++       + +  = = = ≤ ⋅    + + + +       + +  +   ( ) 33 1 4 2 2 ++ ≤∴ + nnb b n n 2k ≥ ( ) ( ) ( )      − − = − −−= +−− = −+− < + = kk kk kk kkkkkkkkkkkkkk 1 1 12 1 12 11 2 11 221          + − + ++     −+     −⋅<+++∴ + 3 1 2 1 5 1 4 1 4 1 3 124 2 24 2 3 1 nnb b b b b b n n  6 6 3 124 2 =⋅⋅<