2020年高中数学第一章导数及其应用1
1.3.1 函数的单调性与导数
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．函数f(x)＝的递减区间为( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞)
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)<0得x<3.
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
答案：C
2．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a＝3
C．a≤3 D．0
0，得x>，
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令y′<0，得02f(1)
解析：由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案：C
5.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析：由已知图象可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上递增；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上递增．
答案：C
6．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)在R上是增函数，则a，b，c的关系式为________．
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，
则，得a＞0，且b2≤3ac.
答案：a＞0且b2≤3ac
7．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
解析：函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
8．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－x＋，
∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．
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又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
9．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解析：(1)由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知f′(－1)＝－，
且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)f′(x)＝，
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋
2，则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－20.
∴f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
10．设函数f(x)＝ax3＋(2a－1)x2－6x(a∈R)，若函数f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：f′(x)＝3ax2＋3(2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)．
(1)若a＝0，则f′(x)＝－3(x＋2)>0⇒x<－2，此函数在(－∞，－2)上单调递增，从而在(－∞，－3)上单调递增，满足条件．
(2)若a≠0，则令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝，
因为f(x)在(－∞，－3)上是增函数，即x<－3时
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f′(x)>0恒成立，a>0时，则－2>－3恒成立，即a>0.
a<0时，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
[B组 能力提升]
1．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数．
∴f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x.
∵函数y＝x－2与函数y＝－2x在上为减函数，
∴a≥4－2×＝3.
答案：D
2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2＞0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)＞0的解集为，
即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案：B
3．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x
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)的单调递减区间为(0，)．
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以，解得1≤k<.
答案：1≤k<
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c的最大值为________．
解析：由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0在[－1,2]上恒成立，得
⇒⇒
以下有两种方法．
解法一：设b＋c＝x(2b－c)＋y(4b＋c)，
即b＋c＝(2x＋4y)b＋(－x＋y)c，
令解得
所以b＋c＝－(2b－c)＋(4b＋c)
≤－×3＋×(－12)
＝－，
当且仅当2b－c＝3,4b＋c＝－12，即b＝－，c＝－6时，等号成立，
所以b＋c的最大值为－.
解法二：建立平面直角坐标系bOc，作出可行域，如图，解
得两直线l1：2b－c＝3与l2：4b＋c＝
－12的交点坐标A，
令b＋c＝m，则c＝－b＋m为平行线组，
易知平行线组c＝－b＋m经过点A时，
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mmax＝b＋c＝－.
答案：－
5．已知函数y＝a x与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
解析：因为函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.
令y′>0，得3ax2＋2bx>0，
所以－0.
所以在(－∞，－)，(0，＋∞)上函数为减函数．
6．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)
(1)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围．
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．
解析：(1)因为f(x)＝(－x2＋ax)e－x，所以f′(x)＝[x2－(a＋2)x＋a]e－x，
要使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0对一切x∈(－1,1)都成立，
即x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈(－1,1)都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，则⇒解得a≤－.
所以a的取值范围是.
(2)①若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对
x∈R都成立，
即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0对x∈R都成立，从而x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈R都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，抛物线y＝g(x)开口向上，不可能对x∈R，g(x)≤0都成立．
②若函数f(x)在R上单调递增，
则f′(x)≥0对x∈R都成立，
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从而x2－(a＋2)x＋a≥0对x∈R都成立，
由于Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立，
综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数.
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