2020年高中数学第一章导数及其应用1

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2020年高中数学第一章导数及其应用1

‎1.3.1‎‎ 函数的单调性与导数 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.函数f(x)=的递减区间为(  )‎ A.(3,+∞) B.(-∞,2)‎ C.(-∞,2)和(2,3) D.(2,3)和(3,+∞)‎ 解析:函数f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞).‎ f′(x)==.‎ 因为x∈(-∞,2)∪(2,+∞),‎ 所以ex>0,(x-2)2>0.‎ 由f′(x)<0得x<3.‎ 又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).‎ 答案:C ‎2.若f(x)=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a≥3 B.a=3‎ C.a≤3 D.00,得x>,‎ 7‎ 令y′<0,得0‎2f(1)‎ 解析:由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减或f(x)恒为常数,故f(0)+f(2)≥‎2f(1).‎ 答案:C ‎5.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是(  )‎ 解析:由已知图象可知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,0)上递增;当x∈(0,2)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在(0,2)上递减;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在(2,+∞)上递增.‎ 答案:C ‎6.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上是增函数,则a,b,c的关系式为________.‎ 解析:f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立,‎ 则,得a>0,且b2≤‎3ac.‎ 答案:a>0且b2≤‎‎3ac ‎7.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为________.‎ 解析:函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),‎ 令f(x)=x2-x-2,f′(x)=2x-1<0,得x<,‎ ‎∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞,-1).‎ 答案:(-∞,-1)‎ ‎8.若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是________.‎ 解析:f′(x)=-x+,‎ ‎∵f′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,‎ ‎∴b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)上恒成立.‎ 7‎ 又x∈(-1,+∞)时,x(x+2)>-1,‎ ‎∴b≤-1.‎ 答案:(-∞,-1]‎ ‎9.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0.‎ ‎(1)求函数y=f(x)的解析式;‎ ‎(2)求函数y=f(x)的单调区间.‎ 解析:(1)由函数f(x)的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知f′(-1)=-,‎ 且-1+‎2f(-1)+5=0,‎ 即f(-1)=-2,=-2,①‎ 又f′(x)=,‎ 所以=-.②‎ 由①②得a=2,b=3.‎ ‎(∵b+1≠0,∴b=-1舍去)‎ 所以所求函数的解析式是f(x)=.‎ ‎(2)f′(x)=,‎ 令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2,x2=3+‎ ‎2,则当x<3-2或x>3+2时,f′(x)<0;当3-20.‎ ‎∴f(x)=的单调递增区间是(3-2,3+2);单调递减区间是(-∞,3-2)和(3+2,+∞).‎ ‎10.设函数f(x)=ax3+(‎2a-1)x2-6x(a∈R),若函数f(x)在区间(-∞,-3)上是增函数,求实数a的取值范围.‎ 解析:f′(x)=3ax2+3(‎2a-1)x-6=3(ax-1)(x+2).‎ ‎(1)若a=0,则f′(x)=-3(x+2)>0⇒x<-2,此函数在(-∞,-2)上单调递增,从而在(-∞,-3)上单调递增,满足条件.‎ ‎(2)若a≠0,则令f′(x)=0,得x1=-2,x2=,‎ 因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数,即x<-3时 7‎ f′(x)>0恒成立,a>0时,则-2>-3恒成立,即a>0.‎ a<0时,不合题意.‎ 综上所述,实数a的取值范围是[0,+∞).‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.若函数f(x)=x2+ax+在上是增函数,则a的取值范围是(  )‎ A.[-1,0] B.[-1,+∞)‎ C.[0,3] D.[3,+∞)‎ 解析:∵f(x)=x2+ax+在上是增函数.‎ ‎∴f′(x)=2x+a-≥0在上恒成立,‎ 即a≥-2x.‎ ‎∵函数y=x-2与函数y=-2x在上为减函数,‎ ‎∴a≥4-2×=3.‎ 答案:D ‎2.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  )‎ A.(-1,1) B.(-1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)‎ 解析:设m(x)=f(x)-(2x+4),‎ 则m′(x)=f′(x)-2>0,‎ ‎∴m(x)在R上是增函数.‎ ‎∵m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,‎ ‎∴m(x)>0的解集为,‎ 即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).‎ 答案:B ‎3.如果函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是________.‎ 解析:显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=4x-=.‎ 由f′(x)>0,得函数f(x)的单调递增区间为(,+∞);由f′(x)<0,得函数f(x 7‎ ‎)的单调递减区间为(0,).‎ 由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,‎ 所以,解得1≤k<.‎ 答案:1≤k< ‎4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间[-1,2]上是减函数,那么b+c的最大值为________.‎ 解析:由题意得f′(x)=3x2+2bx+c≤0在[-1,2]上恒成立,得 ⇒⇒‎ 以下有两种方法.‎ 解法一:设b+c=x(2b-c)+y(4b+c),‎ 即b+c=(2x+4y)b+(-x+y)c,‎ 令解得 所以b+c=-(2b-c)+(4b+c)‎ ‎≤-×3+×(-12)‎ ‎=-,‎ 当且仅当2b-c=3,4b+c=-12,即b=-,c=-6时,等号成立,‎ 所以b+c的最大值为-.‎ 解法二:建立平面直角坐标系bOc,作出可行域,如图,解 得两直线l1:2b-c=3与l2:4b+c=‎ ‎-12的交点坐标A,‎ 令b+c=m,则c=-b+m为平行线组,‎ 易知平行线组c=-b+m经过点A时,‎ 7‎ mmax=b+c=-.‎ 答案:- ‎5.已知函数y=a x与y=-在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.‎ 解析:因为函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,‎ 所以a<0,b<0.‎ 由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.‎ 令y′>0,得3ax2+2bx>0,‎ 所以-0.‎ 所以在(-∞,-),(0,+∞)上函数为减函数.‎ ‎6.已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数)‎ ‎(1)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减,求a的取值范围.‎ ‎(2)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围,若不是,请说明理由.‎ 解析:(1)因为f(x)=(-x2+ax)e-x,所以f′(x)=[x2-(a+2)x+a]e-x,‎ 要使f(x)在(-1,1)上单调递减,则f′(x)≤0对一切x∈(-1,1)都成立,‎ 即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)都成立,‎ 令g(x)=x2-(a+2)x+a,则⇒解得a≤-.‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎(2)①若函数f(x)在R上单调递减,则f′(x)≤0对 x∈R都成立,‎ 即[x2-(a+2)x+a]e-x≤0对x∈R都成立,从而x2-(a+2)x+a≤0对x∈R都成立,‎ 令g(x)=x2-(a+2)x+a,抛物线y=g(x)开口向上,不可能对x∈R,g(x)≤0都成立.‎ ‎②若函数f(x)在R上单调递增,‎ 则f′(x)≥0对x∈R都成立,‎ 7‎ 从而x2-(a+2)x+a≥0对x∈R都成立,‎ 由于Δ=(a+2)2-‎4a=a2+4>0,‎ 故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立,‎ 综上可知,函数f(x)不可能是R上的单调函数.‎ 7‎
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