高中数学讲义微专题27 三角函数的值域

高中数学讲义微专题27 三角函数的值域

- 1 - 微专题 27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如 解析式的求解：详见“函数 解析式的求解”一节， 本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式： （2） （3）两角和差的正余弦公式 （4）合角公式： ，其中 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如 的值域：使用换元法，设 ，根据 的范围确定 的范 围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出 的三角函数值，进而得到值域 例：求 的值域 解：设 当 时， （2）形如 的形式，即 与 的复合函数：通常先将解析式化简为 同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求 的值域  siny A x    siny A x   2 21 cos2 1 cos2cos ,sin2 2      2sin cos sin2    sin sin cos sin cos         sin sin cos sin cos         cos cos cos sin sin         cos cos cos sin sin         2 2sin cos sina b a b       tan b a   siny A x   t x   x t x    2sin 2 , ,4 4 4f x x x               2 4t x   ,4 4x       32 ,4 4 4t x          2 2sin ,2 2t          2, 2f x       siny f x  y f t sint x   2 2sin cos 2, ,6 3f x x x x          - 2 - 解： 设 ，即 的值域为 （3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结 合法进行处理（详见例 5，例 6） 二、典型例题 例 1：已知向量 （1）求函数 的单调递增区间 （2）当 时，求 的取值范围 解：（1） 单调递增区间为： （2）思路：由（1）可得： ，从 得到角 的范围， 进而求出 的范围 解：由（1）得：    2 2sin 1 sin 2 sin sin 1f x x x x x       sint x 2,6 3x       1 ,12t       2 2 1 31 2 4y t t t         3,34y        f x 3,34           cos ,sin 3 cos , cos 3sin , sin ,a x x x b x x x f x a b           f x ,6 4x        f x        cos cos 3sin sin 3 cos sinf x a b x x x x x x         2 2cos sin 2 3sin cosx x x x   cos2 3sin 2 2cos 2 3x x x         52 2 2 23 3 6k x k k x k k Z                    5,3 6k k k Z          2cos 2 3f x x      ,6 4x       2 3x   f x   2cos 2 3f x x      ,6 4x       52 , 2 0,3 2 3 6x x                  - 3 - 小炼有话说：对于形如 的形式，通常可先计算出 的范围，再确 定其三角函数值的范围 例 2：已知函数 （1）求函数 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数 在区间 的值域 解：（1） 对称轴方程： （2）思路：将 视为一个整体，先根据 的范围求出 的范围，再判断其正弦值 的范围 解： 3cos 2 ,13 2x               2cos 2 3,23f x x                sinf x A x   x    cos 2 2sin sin3 4 4f x x x x                       f x  f x ,12 2        cos 2 2sin sin3 4 4f x x x x                      1 3 2 2 2 2cos2 sin 2 2 sin cos sin cos2 2 2 2 2 2x x x x x x             2 21 3cos2 sin 2 sin cos2 2x x x x    1 3 3 1cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos22 2 2 2x x x x x     sin 2 6x      T    2 6 2 3 2 kx k x k Z          2 6x  x 2 6x    sin 2 6f x x      ,12 2x       52 ,6 3 6x            3sin 2 ,16 2f x x              - 4 - 例 3：函数 的最大值为___________ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个 三角函数。观察可得 次数较低，所以不利于转化，而 均可以用 进行 表示，确定核心项为 ，解析式变形为 ，化简 后为 ，当 时， 答案：2 小炼有话说：当解析式无法化成 的形式时，要考虑是否是三角函数与其他 函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进 行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例 4：设函数 ，若 ，则函数 的最小值是______ 思路：同例 4 考虑将解析式中的项统一， ，进而可将 作为一个整体，通过换元来求值域。 解： 设 ，由 可得： ，从而 ，所以 所以最小值为 答案：0 例 5：函数 的值域为___________ 思路：可将 视为研究对象，令 ，进而只需求 的值域即可。 解：令 ，可得 2 7cos sin cos2 4y x x x    cos x 2sin ,cos2x x cos x cos x    2 2 7cos 1 cos 2cos 1 4y x x x      2 2 7 1cos cos cos 24 2y x x x           1cos 2x  max 2y   siny A x     sin cos2f x x x  ,6 2x        f x 22cos2 1 2sin 1 2 sinx x x    sin x   2sin cos2 sin 1 2 sinf x x x x x     sint x ,6 2x       1sin ,12x       0,1t  2 2 1 92 1 2 4 8y t t t            90, 8y      0y    3 sin 2 sin xf x x   sin x  sin , 1,1t x t   3 2 ty t   sint x  1,1t   3 512 2 ty t t        1,1t    2 1,3t   5 5,52 3t        5 21 ,42 3y t           - 5 - 答案： 小炼有话说：要注意在 时 自身带范围，即 例 6：函数 的值域为____________ 思路：可变形为 ，且 可视为 与 连线的斜率 的取值范围， 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线 与圆 有公共点的 的范围。所以 ，解得： 或 ，所 以 答案： 小炼有话说：（1）对比例 5 和例 6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例 5 的三角函数名 相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例 6 的三角函数名不同，所以不能视为同一 个量。要采取数形结合的方式。 （2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下： 所以 的取值范围（即值域）要能保证存在 使得等式成立 所以只需 ，解得： 例 7：设函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 _____________ 思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着 计算角 的范围为 ， 可知 ，值域中最大值为 1，所以说明 经过 ，同时范围不能超 2 ,43      x R sin x  sin 1,1x     2 sin cos xf x x    2 sin 0 cos xf x x    2 sin 0 cos x x    0,2  cos ,sinx x k  cos ,sinx x : 2l y kx  2 2 1x y  k 2 2 1 1O ld k    3k  3k      , 3 3,f x        , 3 3,     2 sin cos sin 2cos xy y x xx        2 2 21sin 2 sin 1 y x x y          y x 2 2 1 1y   22 1y    , 3 3,y         sin 2 , ,6 6f x x x a              1 ,12     a a 2 6x  ,26 6a      1 6 2f       ,26 6a      2  - 6 - 过 （否则最小值就要小于 ），从而可得 ，解得： 答案： 例 8 ： 已 知 函 数 的 最 大 值 为 ， 且 ， 则 （ ） A. B. C. 或 D. 或 思路：观察到 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为 的形式， 通 过 变 形 可 得 ： ， 所 以 最 大 值 为 ， 即 ① ， 再 利 用 可 得 ： ② ， 通 过 ① ② 可 解 得 ： ，进而求出 的值为 或 解： 所以可得： 另一方面： 整理可得： ，解得： 当 时， 7 6 1 2 722 6 6a     6 2a   6 2a     2cos sin cos 2 af x a x b x x   1 2 3 3 4f      3f      1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4  f x  sinA x     2 21 sin 22f x a b x    2 21 1 2 2a b  2 2 1a b  3 3 4f      1 3 3 4 4 4a b   3 0 2,1 1 2 aa b b          3f     1 2 3 4   2 1 cos2 1cos sin cos sin22 2 2 2 a x af x a x b x x a b x          2 21 1cos2 sin2 sin 22 2a x b x a b x        2 2 max 1 1 2 2f x a b   2 1 3 3cos sin cos3 3 3 3 2 4 4 4 af a b a b              2 2 1 3 3 a b a b      3 0 2,1 1 2 aa b b          0 1 a b     3sin cos3 3 3 4f                        - 7 - 当 时， 的值为 或 例 9：当 时，函数 的最小值为__________ 思 路 一 ： 考 虑 将 所 有 项 转 变 为 关 于 的 三 角 函 数 ， 即 ，从而想到分式与斜率的 关系， 可视为 ，结合 可得 为单 位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为 4 思 路 二 ： 考 虑 将 所 有 项 转 变 为 关 于 的 三 角 函 数 ， 则 ，观察到分子分母为齐 二次式，从而上下同时除以 ，可得： ，因为 ，所以 ，所以利用均值不等式可得： 答案：4 例 10：求函数 的值域 思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解 与 之 间 的 联 系 ： ， 从 而 将 解 析 式 的 核 心 变 量 转 化 为 ，通过换元求出值域即可 解： 3 2 1 2 a b       23 1 3cos sin cos 03 2 3 2 3 3 4f                                   3f     1 2 3 4 0 2x     21 cos2 8sin sin2 x xf x x   2x     5 cos21 cos2 4 1 cos2 5 3cos2 33sin2 sin2 0 sin2 xx x xf x x x x          5 cos23 sin2 x x   50, , sin2 ,cos23 x x     0 2x    sin2 ,cos2x x x   2 2 2 2 21 cos2 8sin 2cos 8sin cos 4sin sin2 2cos sin cos sin x x x x x xf x x x x x x       2cos x   21 4tan 14tantan tan xf x xx x    0, 2x      tan 0,x     14tan 4tanf x x x     sin cos sin cos 1f x x x x x    sin cosx x sin cosx x  21sin cos sin cos 12x x x x     sin cosx x      2 22 21 1sin cos sin cos sin cos sin cos 12 2x x x x x x x x                21sin cos sin cos 1 12f x x x x x            21 sin cos 2 sin cos 1 22 x x x x         - 8 - 因为 时， 当 时， 所以可得： 的值域为   21 sin cos 1 22 x x       sin cos 2 sin 2, 24x x x             sin cos 1x x    max 2f x  sin cos 2x x    min 1 22f x    f x 1 2,22    