数学（文）卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试（2018-03）

数学（文）卷·2019届吉林省长春市十一高中等九校高二下学期期初考试（2018-03）

长春市第九教育联盟2017-2018学年度高二下学期期初考试 ‎ 数学（文科）试题 ‎ 第Ⅰ卷（共 60 分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的 ‎1．若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．在区间上任取一个实数，则的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎5．某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为的样本，其中高中生有24人，那么等于（ ）‎ A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 ‎ ‎6．已知双曲线 的离心率为，则的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．空间两条直线、与直线都成异面直线，则、的位置关系是（ ）．‎ A. 平行或相交 B. 异面或平行 C. 异面或相交 D. 平行或异面或相交 ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A. 64 B. 32 C. 96 D. 48‎ ‎9．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)‎ A. B. 1 C. 0 D. 不存在 ‎10．已知直线与抛物线： 相交于， 两点，若线段的中点为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知抛物线： 经过点，过焦点的直线与抛物线交于， 两点， ，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（共90 分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知直线与圆有公共点，则实数的取值范围是_____．‎ ‎14．已知两个球的表面积之比为，则这两个球的半径之比为__________．‎ ‎15．观察下列各式： ， ， ， ， ‎ ‎，…，则= _________. ‎ ‎16．已知函数在点处的切线方程为，则函数 在点处的切线方程为__________．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分． ‎ ‎17．（本题满分12分）已知函数，求：‎ ‎（1）函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）的单调递减区间．‎ ‎18．（本题满分12分）某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为 ‎[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方 图如图所示：‎ ‎（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；‎ ‎（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学 生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别 抽取了多少人？‎ ‎（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有 ‎1人当选为正、副小组长的概率．‎ ‎[]‎ ‎19．（本题满分12分）如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，‎ PA＝2，∠PDA=450，点E、F分别为棱AB、PD的中点．‎ ‎（1）求证：AF∥平面PCE；‎ ‎（2）求三棱锥C－BEP的体积．‎ ‎20．（本题满分12分）已知椭圆的两个焦点为，，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于 点，当变化时，求面积的最大值.‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数， .‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，证明．‎ ‎22．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数， ），以原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线与的直角坐标方程；‎ ‎（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．‎ 长春市第九教育联盟第一学程高二数学（文科）参考答案 一、 选择题 ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A ‎ ‎9 A 10．D 11．A 12． B 二、填空题 ‎13． 14． 15．199 16． ‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）∵‎ ‎∴， ∴， 又，‎ ‎∴函数的图象在点处的切线方程为，‎ 即。 ………………6分 ‎（2）由（1）得，‎ 令，解得或。‎ ‎∴函数的单调递减区间为。 ………………12分 ‎18．解：（1）由频率分布直方图得：众数为：=65．‎ 成绩在[50，70）内的频率为：（0.005+0.035）×10=0.4，‎ 成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10=0.3，‎ ‎ ∴中位数为：70+×10≈73.3． ………………4分 ‎ ‎（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，‎ ‎∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．‎ ‎…………………8分 ‎（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；‎ 成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．‎ ‎∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种，分别为：‎ ab，ba，ac，ca，ad，da，ae，ea，af，fa，bc，cb，bd，db，be，eb，bf，fb，cd，‎ dc，ce，ec，cf，fc，de，ed，df，fd，ef，fe，‎ 记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q，‎ 则事件Q包含的基本事件有18种，‎ ‎∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率P（Q）=．‎ ‎…………………12分 ‎19．解：（1）证明：取PC的中点G，连接GF，因为F为PD的中点，‎ 所以，GF∥CD且又E为AB的中点，ABCD是正方形，‎ 所以，AE∥CD且故AE∥GF且 所以，AEGF是平行四边形，故AF∥EG，而平面，[]‎ 平面，所以，AF∥平面. ………………6分 ‎（2）因为PA⊥底面ABCD，所以，PA是三棱锥P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，‎ ‎∠PDA=450，所以，AD=2，正方形ABCD中，E为AB的中点，所以，EB=1，故 的面积为1，故.‎ 故三棱锥C－BEP的体积为. ………………12分 ‎20．解：（1）由离心率，半焦距，解得.‎ 所以，所以椭圆的方程是. ………………4分 ‎（2）解：设，，‎ 据得 ‎∵直线与椭圆有两个不同的交点，‎ ‎∴，又，所以且.‎ 由根与系数的关系得， …………6分 设线段中点为，点横坐标，，∴，‎ ‎∴线段垂直平分线方程为，∴点坐标为，‎ 点到直线的距离， ……………… 9分 又，‎ 所以，‎ 所以当时，三角形面积最大，且. …………………12分 ‎21．解：（1）函数的定义域为，且.………1分 当时， ， 在上单调递增； ………………3分 当时，若时，则，函数在上单调递增；若时，则，函数在上单调递减. ………………5分 ‎（2）由（1）知，当时， .…………7分 要证，只需证，即只需证 构造函数，则.‎ 所以在单调递减，在单调递增.‎ 所以.‎ 所以恒成立，所以 . …………12分 ‎22．解：（1）∵曲线的参数方程为（为参数， ），‎ ‎∴曲线的普通方程为： （， ），‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． …………5分 ‎（2）∵曲线的普通方程为： （， ）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得 ‎，‎ ‎∴或（舍去），‎ 当过点时， ，所以t=-1.‎ ‎∴当与有两个公共点时， ． …………10分 若复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．在区间上任取一个实数，则的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．命题“‎