四川省棠湖中学2019-2020学年高一下学期期末模拟考试数学试题

四川省棠湖中学2019-2020学年高一下学期期末模拟考试数学试题

‎2020年春四川省棠湖中学高一期末模拟考试 数学试题 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列函数中，在上存在最小值的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知平面向量，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．在中，是上一点，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．在等差数列中,，则（ ）‎ A．5 B．8 C．10 D．14‎ 11‎ ‎7．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A．12 B．10 C．8 D．‎ ‎8．已知等差数列，，，…，的前项和为，则使得最大的序号的值为（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎9．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过1 min后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km，参考数据：）‎ A．11.4 km B．6.6 km C．6.5 km D．5.6 km ‎10．化简( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）‎ 11‎ A． B． C． D．‎ ‎12．对任意实数x，表示不超过x的最大整数，如，，关于函数，有下列命题：①是周期函数；②是偶函数；③函数的值域为；④函数在区间内有两个不同的零点，其中正确的命题为( )‎ A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若，则__________．‎ ‎14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升；‎ ‎15．已知函数，若，则的取值围为_________.‎ ‎16．如图所示，E，F分别是边长为1的正方形的边BC，CD的中点，将其沿AE，AF，EF折起使得B，D，C三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.‎ 三． 解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）已知向量，，.‎ ‎（Ⅰ）若，求实数的值；‎ 11‎ ‎（II）若，求向量与的夹角.‎ ‎18．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若，求的值域.‎ ‎19．（12分）如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.‎ ‎（Ⅰ）求sin∠BCE的值；‎ ‎（II）求CD的长.‎ ‎20．（12分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.‎ ‎（Ⅰ）求A；‎ ‎（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.‎ 11‎ ‎21．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，‎ ‎（I）证明：AB⊥PC；‎ ‎（II）求PD与平面ABCD所成角的正弦值 ‎（III）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由 ‎22．（12分）设数列的前项和为，且满足．‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）设数列，求数列的前项和．‎ 11‎ 11‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高一期末模拟考试 数学试题参考答案 ‎1．B 2．C 3．A 4．C 5．C 6．B 7．A 8．C 9．C 10．A 11．B 12．A ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1） ，解得：‎ ‎（2） ‎ 又 ‎ ‎18．（1）因为，‎ 所以的最小正周期；‎ ‎（2）若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象对应的解析式为，‎ 由知，，‎ 所以当即时，取得最小值；‎ 当即时，取得最大值1，‎ 11‎ 因此的值域为.‎ ‎19．(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝，因为B＝，BE＝1，CE＝，‎ 所以sin∠BCE＝＝＝.‎ ‎(2)因为∠CED＝B＝，所以∠DEA＝∠BCE，‎ 所以cos∠DEA＝＝＝＝.‎ 因为，所以△AED为直角三角形，又AE＝5，所以ED＝＝＝2.‎ 在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49.‎ 所以CD＝7.‎ ‎20．解：（I）因为，‎ 由正弦定理可得：，‎ 所以 所以，‎ 即 ，，所以，‎ 11‎ 可得： ，所以，‎ 所以，可得：‎ ‎（II）方法1：由余弦定理得：，‎ 得， 所以 当且仅当时取等号， ‎ 所以△ABC面积的最大值为 ‎ 方法2：因为，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以， ‎ 当且仅当，即，当时取等号. ‎ 所以△ABC面积的最大值为.‎ ‎21．（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．‎ ‎∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，‎ ‎∵PC⊂面PMC，∴AB⊥PC；‎ 11‎ ‎（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．‎ ‎∴PM⊥面ABCD，∴∠PDM为PD与平面ABCD所成角．‎ PM，MD，PD sin∠PMD，‎ 即PD与平面ABCD所成角的正弦值为．‎ ‎（3）设DB∩MC＝E，连接NE，则有面PBD∩面MNC＝NE，‎ ‎∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．∴．‎ 线段PD上存在点N，使得PB∥平面MNC，且PN．‎ ‎22．（1）由已知得：…①‎ 当时，…②‎ 由①②得：，当时，，‎ 当时，，即，适合上式，；‎ ‎（2）由（1）得：‎ 11‎ ‎.‎ 11‎