2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§6-1　数列的概念及其表示（讲解部分）

2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§6-1　数列的概念及其表示（讲解部分）

第六章 数列 §６.1 数列的概念及其表示 高考数学 考点　数列的概念及其表示 1.数列的概念 按照一定顺序排列的一列数称为数列,其中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 考点清单 分类原则 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的 大小关系 递增数列 a n +1 > a n 其中 n ∈N * 递减数列 a n +1 < a n 常数列 a n +1 = a n 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 (1)   : a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … ; (2)   :数列可用一群孤立的点表示; (3)   (   ):通项公式或递推公式. 4.数列与函数的关系 从函数观点看,数列可以看成以正整数集N * (或它的有限子集{1,2, … , n })为 定义域的函数 a n = f ( n ),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的 一列函数值.反过来,对于函数 y = f ( x ),如果 f ( i )( i =1,2,3, … )有意义,那么我们可 以得到一个数列 f (1), f (2), f (3), … , f ( n ), … . 5.数列的递推公式与通项公式 (1)递推公式的定义 如果已知数列{ a n }的① 　第一项     (或② 　前几项     ),且从第二项(或某一 项)起的任何一项 a n 与它的前一项 a n -1 (或前几项)间的关系可以用一个式子 来表示,那么这个式子叫做数列{ a n }的递推公式. (2)通项公式 如果数列{ a n }的第 n 项 a n 与③ 　序号 n      之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 6.数列的前 n 项和及其与通项公式的关系 若 S n = a 1 + a 2 + … + a n ,则称 S n 为数列{ a n }的前 n 项和,由 S n 可求出通项公式 a n .已知 S n ,则 a n =   考法一 　利用Sn与an的关系求通项公式 知能拓展 例1 　已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 1 =1, S n =   a n +1 -1,则 a n = 　　　     . 解析 　由 a 1 =1, S n =   a n +1 -1,可得 a 1 =   a 2 -1=1,解得 a 2 =6.当 n ≥ 2时, S n -1 =   a n -1,又 S n =   a n +1 -1,两式相减可得 a n = S n - S n -1 =   a n +1 -1-   a n +1,即有 a n +1 =4 a n ( n ≥ 2),则 a n =6· 4 n -2 ( n ≥ 2),又 a 1 =1不符合上式,所以 a n =   答案        方法总结 　1.已知 S n 求 a n 的三个步骤: (1)先利用 a 1 = S 1 求出 a 1 . (2)用 n -1替换 S n 中的 n 得到一个新的关系,利用 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2)便可求出当 n ≥ 2时 a n 的表达式. (3)对 n =1时的结果进行检验,看是否符合 n ≥ 2时 a n 的表达式,如果符合,则可 以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n =1与 n ≥ 2两段来写. 2. S n 与 a n 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2)转化为只含 S n 、 S n -1 的关系式,再求解. (2)利用 S n - S n -1 = a n ( n ≥ 2)转化为只含 a n 、 a n -1 的关系式,再求解. 考法二 　由递推关系求数列的通项公式 例2　 已知数列{ a n }满足 a 1 =1, a 2 =   ,若 a n ( a n -1 +2 a n +1 )=3 a n -1 a n +1 ( n ≥ 2, n ∈N * ),则 数列{ a n }的通项公式 a n =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   解题导引      解析 　由 a n ( a n -1 +2 a n +1 )=3 a n -1 a n +1 ( n ≥ 2, n ∈N * ), 可得   -   =2   ( n ≥ 2), 又   -   =3-1=2, ∴数列   是首项为2,公比为2的等比数列, ∴   -   =2 n . ∴   =   +   + … +   +   =2 n -1 +2 n -2 + … +2+1=   =2 n -1.∴ a n =   .故选B. 答案     B 方法总结 　由递推关系求通项公式的常用方法 　　其中:(1) a n +1 = pa n + q ( p ≠ 0,1, q ≠ 0)的求解方法是设 a n +1 + λ = p ( a n + λ ),即 a n +1 = pa n + pλ - λ ,与 a n +1 = pa n + q 比较即可知 λ =   . (2) a n +1 = pa n + q · p n +1 ( p ≠ 0, q ≠ 0)的求解方法是两端同时除以 p n +1 ,得   -   = q , 数列   为等差数列.考法三　数列的单调性和最大(小)项 递推式 方法 示例 a n +1 = a n + f ( n ) 累加法 a 1 =1, a n +1 = a n +2 n   = f ( n ) 累乘法 a 1 =1,   =2 n a n +1 = pa n + q ( p ≠ 0,1, q ≠ 0) 转化为等比数列 a 1 =1, a n +1 =2 a n +1 a n +1 = pa n + q · p n +1 ( p ≠ 0, q ≠ 0) 转化为等差数列 a 1 =1, a n +1 =3 a n +3 n -1 例3     (2019河南新乡二模,9)已知数列{ a n }的首项 a 1 =21,且满足(2 n -5) a n +1 =(2 n -3) a n +4 n 2 -16 n +15,则{ a n }中最小的一项是   (　　) A. a 5 　    B. a 6 　    C. a 7 　    D. a 8 解析 　∵4 n 2 -16 n +15=(2 n -3)(2 n -5),∴(2 n -5) a n +1 =(2 n -3) a n +(2 n -3)(2 n -5),等式 两边同时除以(2 n -3)(2 n -5),可得   =   +1,可设 b n =   ,则   = b n +1 ,∴ b n +1 = b n +1,即 b n +1 - b n =1.∵ b 1 =   =   =-7,∴数列{ b n }是以-7为首项,1为公差的 等差数列.∴ b n =-7+( n -1) × 1= n -8, n ∈N * .∴ a n =( n -8)(2 n -5)=2 n 2 -21 n +40.可把 a n 看成关于 n 的二次函数,则根据二次函数的性质,可知:当 n =5或 n =6时, a n 可能 取最小值.∵当 n =5时, a 5 =2 × 5 2 -21 × 5+40=-15,当 n =6时, a 6 =2 × 6 2 -21 × 6+40=-14, ∴当 n =5时, a n 取得最小值.故选A. 答案     A 方法总结 　解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)用作差比较法,根据 a n +1 - a n 的符号判断数列{ a n }是递增数列、递减数列还 是常数列. (2)用作商比较法,根据   ( a n >0或 a n <0)与1的大小关系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断.