【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第四章第三讲　三角函数的图象与性质作业

【数学】2021届新高考一轮复习北师大版第四章第三讲　三角函数的图象与性质作业

第三讲　三角函数的图象与性质 ‎1.[2020武汉市部分学校质量监测]已知曲线C1:y=‎2‎sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x,则下面结论正确的是(　　)‎ A.把曲线C1向右平移π‎8‎个单位长度,得到曲线C2‎ B.把曲线C1向左平移π‎4‎个单位长度,得到曲线C2‎ C.把曲线C2向左平移π‎4‎个单位长度,得到曲线C1‎ D.把曲线C2向右平移π‎8‎个单位长度,得到曲线C1‎ ‎2.[2020长春市第一次质量监测]把函数y=f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π‎2‎)的图象(部分图象如图4 - 3 - 1所示),则y=f (x)的解析式为(　　)‎ 图4 - 3 - 1‎ A.f (x)=2sin(2x+π‎6‎) B.f (x)=2sin(x+π‎6‎)‎ C.f (x)=2sin(4x+π‎6‎) D.f (x)=2sin(x - π‎6‎)‎ ‎3.[2020惠州市调考]函数f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π,则ω=(　　)‎ A.‎3‎‎2‎ B.2 C.1 D.‎‎1‎‎2‎ ‎4.[2020四省八校联考]图4 - 3 - 2是函数f (x)=‎3‎sin(ωx+‎5π‎6‎)(ω>0)的部分图象,‎ 图4 - 3 - 2‎ 若|AB|=4,则f ( - 1)=(　　)‎ A. - 1 　　　B.1 C. - ‎3‎‎2‎ 　　　D.‎‎3‎‎2‎ ‎5.[2020成都市高三摸底测试]将函数f (x)=sin(ωx+π‎3‎)(ω>0)的图象向右平移π‎6‎个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则ω的最小值为(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎6.[2020惠州市二调]已知直线x=π‎3‎是函数f (x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π‎2‎)图象的一条对称轴,则(　　)‎ A.φ=‎π‎6‎ B.f (x)在[0,π‎2‎]上单调递增 C.f (x)的图象向左平移π‎6‎个单位长度可得到y=2sin 2x的图象 D.f (x)的图象向左平移π‎12‎个单位长度可得到y=2sin 2x的图象 ‎7.[2020广东四校联考]已知函数f (x)=sin(x - π‎3‎),若x1x2>0,且f (x1)+f (x2)=0,则|x1+x2|的最小值为(　　)‎ A.π‎6‎ B.π‎3‎ C.π‎2‎ D.‎‎2π‎3‎ ‎8.[2019江西红色七校第一次联考]函数y=sin(2x - π‎6‎)的图象与函数y=cos(x - π‎3‎)的图象(　　)‎ A.有相同的对称轴但无相同的对称中心　　‎ B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心　‎ D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 ‎9.[多选题]已知函数f (x)=‎3‎sin ωx+cos(π+ωx)(ω>0)的图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为π‎2‎‎+64‎‎2‎,则下列说法正确的是(　　)‎ A.函数f (x)的极大值为‎3‎+1‎ B.[π‎3‎,‎5π‎6‎]为函数f (x)的一个单调递减区间 C.函数f (x)的图象关于点( - ‎5π‎12‎,0)对称 D.将函数f (x)的图象向右平移π‎12‎个单位长度后,所得函数图象关于原点对称 ‎10.[2020河北模拟]若函数f (x)=3sin(x+π‎10‎) - 2在区间[π‎2‎,a]上单调,则实数a的最大值是　　　　. ‎ ‎11.[2019浙江高考]设函数f (x)=sin x,x∈R.‎ ‎(1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值;‎ ‎(2)求函数y=[f (x+π‎12‎)]2+[f (x+π‎4‎)]2的值域.‎ ‎12.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎)图象的一个对称中心为点(π‎3‎,0),与该对称中心相邻的一条对称轴方程为x=‎7π‎12‎,该对称轴处所对应的函数值为 - 1,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只需将f (x)的图象(　　)‎ A.向右平移π‎6‎个单位长度　　 B.向左平移π‎12‎个单位长度 C.向左平移π‎6‎个单位长度　　 D.向右平移π‎12‎个单位长度 ‎13.[2020安徽省示范高中名校联考]将函数y=sin(2x - π‎4‎)的图象向左平移π‎4‎个单位长度,所得图象对应的函数在区间( - m,m)上无极值点,则m的最大值为(　　)‎ A.π‎8‎ B.π‎4‎ C.‎3π‎8‎ D.‎π‎2‎ ‎14.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π‎2‎),f (π‎3‎)=1且f (π‎4‎)= - 1,当ω取最小值时,函数f (x)的单调递减区间为(　　)‎ A.[π‎12‎‎+‎kπ‎3‎,π‎4‎‎+‎kπ‎3‎],k∈Z B.[π‎12‎+2kπ,π‎4‎+2kπ],k∈Z C.[ - π‎12‎‎+‎kπ‎3‎,π‎12‎‎+‎kπ‎3‎],k∈Z D.[ - π‎12‎+2kπ,π‎4‎+2kπ],k∈Z ‎15.[2020陕西省百校第一次联考]将函数f (x)=cos 2x的图象向右平移π‎4‎个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有的性质为(　　)‎ A.最大值为1,图象关于直线x=π‎2‎对称 B.为奇函数,在(0,π‎4‎)上单调递增 C.为偶函数,在( - ‎3π‎8‎,π‎8‎)上单调递增 D.最小正周期为π,图象关于点(‎3π‎8‎,0)对称 ‎16.[2019安徽示范高中高三测试]已知函数f (x)=Asin(2x+θ)(A>0,|θ|<π‎2‎)的部分图象如图4 - 3 - 3所示,‎ 图4 - 3 - 3‎ f (a)=f (b)=0,f (a+b)=‎3‎,则(　　)‎ A.f (x)在( - ‎5π‎12‎,π‎12‎)上是减函数 B.f (x)在( - ‎5π‎12‎,π‎12‎)上是增函数 C.f (x)在(π‎3‎,‎5π‎6‎)上是减函数 D.f (x)在(π‎3‎,‎5π‎6‎)上是增函数 ‎17.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知函数f (x)=asin ωx+cos(ωx - π‎6‎)(a>0,ω>0),对于任意的x1,x2∈R,都有f (x1)+f (x2) - 2‎3‎≤0,若f (x)在[0,π]上的值域为[‎3‎‎2‎,‎3‎],则实数ω的取值范围为(　　)‎ A.[‎1‎‎3‎,‎1‎‎2‎] B.[‎1‎‎3‎,‎2‎‎3‎] C.[‎1‎‎4‎,‎2‎‎3‎] D.[‎1‎‎4‎,‎1‎‎2‎]‎ ‎18.[2019新疆乌鲁木齐二检]若关于x的方程(sin x+cos x)2+cos 2x=m在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1 - x2|≥π‎4‎,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.[0,2) B.[0,2] C.[1,‎2‎+1] D.[1,‎2‎+1)‎ ‎19.[2019安师大附中最后一卷]如图4 - 3 - 4,‎ 图4 - 3 - 4‎ 已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π‎2‎)的图象与坐标轴交于点A,B,C,点C的坐标为( - ‎1‎‎2‎,0),直线BC交f (x)的图象于另一点D,O是△ABD的重心.则△ACD的外接圆的半径为(　　)‎ A.2 B.‎57‎‎6‎ C.‎57‎‎3‎ D.8‎ ‎20.[双空题]函数f (x)=‎3‎cos(x+π‎4‎)的图象向右平移π‎4‎个单位长度,可得到函数g(x)的图象,则函数 g(x)的解析式为　　　　　,函数h(x)=sin2x+g(x)的值域是　　　　. ‎ ‎21.[2020安徽省示范高中名校联考]已知函数f (x)=asin 2x - ‎3‎cos 2x的图象关于直线x= - π‎12‎对称,若f (x1)·f (x2)= - 4,则|x1 - x2|的最小值为　　　　　. ‎ ‎22.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=sin(ωx+π‎4‎)(ω>0),若f (x)在[0,2π]上恰有3个极值点,则ω的取值范围是　　　　. ‎ ‎23.[2019四省八校联考]若f (x)=2sin(ωx+φ) - 3(ω>0)对任意x∈R都有f (x+π‎6‎)=f (π‎3‎ - x)成立,则f (π‎4‎)=　　　. ‎ ‎24.[2020合肥市调研检测]已知函数f (x)=cos 2x+sin(2x - π‎6‎).‎ ‎(1)求函数f (x)的最小正周期;‎ ‎(2)当x∈[0,π]时,求函数f (x)的单调递增区间.‎ ‎25.[2019湖南重点高中联考]已知函数f (x)=cos(πx+π‎3‎)cos(πx - π‎3‎).‎ ‎(1)求f (x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若f (x)在区间[‎1‎‎3‎,a]上的值域为[ - ‎3‎‎4‎, - ‎1‎‎2‎],求a的取值范围.‎ ‎26.[多选题]已知函数f (x)=2‎3‎sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0),则下列结论正确的是(　　)‎ A.f (x)的最大值为2‎ B.若f (x)的最小正周期为π,则ω=1‎ C.方程f (x)= - 2有无数个解 D.若函数f (x)的图象在区间(π‎2‎,π)内不存在对称轴,则ω的最大值为‎2‎‎3‎ ‎27.[2020洛阳市第一次联考][开放题]设定义在R上的函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0, - π‎12‎<φ<π‎2‎).给 出以下四个论断:①f (x)的最小正周期为π;②f (x)在区间( - π‎6‎,0)上是增函数;③f (x)的图象关于点(π‎3‎,0)对称;④f (x)的图象关于直线x=π‎12‎对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)　　　　　　　　　　.(用到的论断都用序号表示) ‎ ‎28. [2019山东省八所重点中学联考]如图4 - 3 - 5,点A,点B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点.‎ 图4-3-5‎ 动点A从初始位置A0(cos π‎3‎,sin π‎3‎)开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,点B的纵坐标分别为y1,y2.‎ ‎(1)求t=π‎4‎时,A,B两点间的距离;‎ ‎(2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,π‎2‎]时,y的取值范围.‎ 第三讲　三角函数的图象与性质 ‎1.D　因为C1:y=‎2‎sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x=‎2‎sin(2x+π‎4‎)=‎2‎sin[2(x+π‎8‎)],所以把曲线C2向右平移π‎8‎个单位长度,得到曲线C1,选D.‎ ‎2.C　将(0,1)代入y=2sin(ωx+φ)中,得sin φ=‎1‎‎2‎.又|φ|<π‎2‎,所以φ=π‎6‎.由“五点作图法”知点(‎11π‎12‎,0)为图象上的第五点,则ω‎×‎11π‎12‎+‎π‎6‎=2π,解得ω=2,所以y=2sin(2x+π‎6‎),将其图象上所有点的横坐标缩短成原来的‎1‎‎2‎,得y=f (x)=2sin(4x+π‎6‎)的图象,故选C.‎ ‎3.C　∵f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2=‎3‎‎2‎cos 2ωx+‎5‎‎2‎(ω>0),∴f (x)的最小正周期T=‎2π‎2ω=π,∴ω=1.‎ ‎4.D　设f (x)的最小正周期为T,则|AB|2=(2‎3‎)2+(T‎2‎)2,即16=12+T‎2‎‎4‎,则T=4,所以T=4=‎2πω,ω=π‎2‎,所以f (x)=‎3‎sin(π‎2‎x+‎5π‎6‎),所以f ( - 1)=‎3‎sin( - π‎2‎‎+‎‎5π‎6‎)=‎3‎sinπ‎3‎‎=‎3‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎5.C　将函数f (x)=sin(ωx+π‎3‎)(ω>0)的图象向右平移π‎6‎个单位长度后,得到y=sin(ωx - ωπ‎6‎‎+‎π‎3‎)的图象,∵y=sin(ωx - ωπ‎6‎‎+‎π‎3‎)的图象关于y轴对称,∴ - ωπ‎6‎‎+‎π‎3‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,∴ω= - 6k - 1,k∈Z,又ω>0,∴ω的最小值为5,故选C.‎ ‎6.D　由题意可得2‎×‎π‎3‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z),所以φ=kπ - π‎6‎(k∈Z),又|φ|<π‎2‎,所以φ= - π‎6‎,故选项A错误;函数的解析式为f (x)=2sin(2x - π‎6‎),若x∈[0,π‎2‎],则2x - π‎6‎∈[ - π‎6‎,‎5π‎6‎],此时函数不具有单调性,故选项B错误;把f (x)的图象向左平移π‎6‎个单位长度可得到y=2sin[2(x+π‎6‎) - π‎6‎]=2sin(2x+π‎6‎)的图象,故选项C错误;把f (x)的图象向左平移π‎12‎个单位长度可得到y=2sin[2(x+π‎12‎) - π‎6‎]=2sin 2x的图象,故选项D正确.‎ ‎7.D　由题意可得x1,x2的符号相同,且(x1 - π‎3‎)+(x2 - π‎3‎)=2kπ,k∈Z,或(x2 - π‎3‎) - (x1 - π‎3‎)=kπ,k∈Z,所以x1+x2=2kπ+‎2π‎3‎,k∈Z,故|x1+x2|的最小值为‎2π‎3‎,故选D.‎ ‎8.A　当x=π‎3‎+kπ,k∈Z时,cos(x - π‎3‎)=±1,所以函数y=cos(x - π‎3‎)的图象的对称轴是直线x=π‎3‎+kπ,k∈Z,又当2x - π‎6‎‎=‎π‎2‎+kπ,k∈Z,即x=π‎3‎‎+‎kπ‎2‎,k∈Z时,sin(2x - π‎6‎)=±1,所以y=sin(2x - π‎6‎)的图象的对称轴是直线x=π‎3‎‎+‎kπ‎2‎,k∈Z,所以y=cos(x - π‎3‎)的图象的对称轴都是y=sin(2x - π‎6‎)的图象的对称轴;当x - π‎3‎‎=‎π‎2‎+kπ,k∈Z,即x=‎5π‎6‎+kπ,k∈Z时,cos(x - π‎3‎)=0,所以y=cos(x - π‎3‎)的图象的对称中心是点(‎5π‎6‎+kπ,0),k ‎∈Z,又当2x - π‎6‎=kπ,k∈Z,即x=π‎12‎‎+‎kπ‎2‎,k∈Z时,sin(2x - π‎6‎)=0,所以y=sin(2x - π‎6‎)的图象的对称中心是点(π‎12‎‎+‎kπ‎2‎,0),k∈Z,由此可得,它们的对称中心均不相同.故选A.‎ ‎9.BC　f (x)=‎3‎sin ωx - cos ωx=2sin(ωx - π‎6‎),其最小正周期T=‎2πω.由已知得‎(T‎2‎‎)‎‎2‎+(-2-2‎‎)‎‎2‎‎=‎(πω‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎=‎π‎2‎‎+64‎‎2‎,得ω=2,所以f (x)=2sin(2x - π‎6‎).‎ A 函数f (x)的极大值为2.‎ 错误 B 由2kπ+π‎2‎≤2x - π‎6‎≤2kπ+‎3π‎2‎(k∈Z),‎ 解得kπ+π‎3‎≤x≤kπ+‎5π‎6‎(k∈Z),所以该函数的单调递减区间为[kπ+π‎3‎,kπ+‎5π‎6‎](k∈Z).令k=0,所得区间为[π‎3‎,‎5π‎6‎].‎ 正确 C 令2x - π‎6‎=kπ(k∈Z),解得x=kπ‎2‎‎+‎π‎12‎(k∈Z),所以函数f (x)的图象的对称中心为点(kπ‎2‎‎+‎π‎12‎,0)(k∈Z).当k= - 1时,对称中心为点( - ‎5π‎12‎,0).‎ 正确 D 将函数f (x)的图象向右平移π‎12‎个单位长度后,所得图象对应的函数的解析式为g(x)=f (x - π‎12‎)=2sin[2(x - π‎12‎) - π‎6‎]=2sin(2x - π‎3‎),显然该函数不是奇函数,其图象不关于原点对称.‎ 错误 综上,说法正确的是BC.‎ ‎10.‎7π‎5‎　解法一　令2kπ+π‎2‎≤x+π‎10‎≤2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,得2kπ+‎2π‎5‎≤x≤2kπ+‎7π‎5‎,k∈Z,所以函数f (x)在区间[‎2π‎5‎,‎7π‎5‎]上单调递减,所以a的最大值为‎7π‎5‎.‎ 解法二　因为π‎2‎≤x≤a,所以π‎2‎‎+‎π‎10‎≤x+π‎10‎≤a+π‎10‎,‎ 而f (x)在[π‎2‎,a]上单调,所以a+π‎10‎≤‎3π‎2‎,即a≤‎7π‎5‎,所以a的最大值为‎7π‎5‎.‎ ‎11.(1)因为f (x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin( - x+θ),‎ 即sin xcos θ+cos xsin θ= - sin xcos θ+cos xsin θ,‎ 故2sin xcos θ=0,‎ 所以cos θ=0.‎ 又θ∈[0,2π),因此θ=π‎2‎或‎3π‎2‎.‎ ‎(2)y=[f (x+π‎12‎)]2+[f (x+π‎4‎)]2‎ ‎=sin2(x+π‎12‎)+sin2(x+π‎4‎)‎ ‎=‎‎1-cos(2x+π‎6‎)‎‎2‎‎+‎‎1-cos(2x+π‎2‎)‎‎2‎ ‎=1 - ‎1‎‎2‎(‎3‎‎2‎cos 2x - ‎3‎‎2‎sin 2x)‎ ‎=1 - ‎3‎‎2‎cos(2x+π‎3‎).‎ 因此,函数的值域是[1 - ‎3‎‎2‎,1+‎3‎‎2‎].‎ ‎12.B　根据函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π‎2‎)的图象过点(π‎3‎,0),(‎7π‎12‎, - 1),可得A=1,‎1‎‎4‎·‎2πω‎=‎7π‎12‎ - ‎π‎3‎,解得ω=2.又由五点作图法可得2‎×‎π‎3‎+φ=π,解得φ=π‎3‎,所以f (x)=sin(2x+π‎3‎).因为cos 2x=sin(2x+π‎2‎)=sin[2(x+π‎12‎)+π‎3‎],所以将函数f (x)=sin(2x+π‎3‎)的图象向左平移π‎12‎个单位长度,可得g(x)=cos 2x的图象,故选B.‎ ‎13.A　解法一　将函数y=sin(2x - π‎4‎)的图象向左平移π‎4‎个单位长度后所得图象对应的函数的解析式为y=sin[2(x+π‎4‎) - π‎4‎]=sin(2x+π‎4‎).又此函数在区间( - m,m)上无极值点,所以0<2m≤T‎2‎‎=‎π‎2‎,所以00.当k2= - 1,k1=0或k1=2,k2=0时,ω取最小值6.又|φ|<π‎2‎,所以φ=0,f (x)=2sin 6x+1.令2kπ+π‎2‎≤6x≤2kπ+‎3‎‎2‎π,k∈Z,则kπ‎3‎‎+‎π‎12‎≤x≤kπ‎3‎‎+‎π‎4‎,k∈Z,所以f (x)的单调递减区间为[kπ‎3‎‎+‎π‎12‎,kπ‎3‎‎+‎π‎4‎],k∈Z,故选A.‎ ‎15.B　将函数f (x)=cos 2x的图象向右平移π‎4‎个单位长度后得到函数g(x)=cos[2(x - π‎4‎)]=sin 2x 的图象,则函数g(x)的最大值为1,其图象关于直线x=kπ‎2‎‎+‎π‎4‎(k∈Z)对称,故选项A不正确;易知函数g(x)为奇函数,当x∈(0,π‎4‎)时,2x∈(0,π‎2‎),故函数g(x)在(0,π‎4‎)上单调递增,故选项B正确,选项C不正确;易知函数g(x)的最小正周期为π,其图象关于点(kπ‎2‎,0)(k∈Z)对称,故选项D不正确.故选B.‎ ‎16.B　由题图可知A=2,则f (x)=2sin(2x+θ).‎ 因为f (a)=f (b)=0,所以f (a+b‎2‎)=2,‎ 则sin(a+b+θ)=1,a+b+θ=π‎2‎+2kπ,k∈Z.由f (a+b)=‎3‎得sin[2(a+b)+θ]=‎3‎‎2‎,所以2(a+b)+θ=π‎3‎+2kπ,k∈Z,或2(a+b)+θ=‎2π‎3‎+2kπ,k∈Z,所以θ=‎2π‎3‎+2kπ或θ=π‎3‎+2kπ,k∈Z,又|θ|<π‎2‎,所以θ=π‎3‎,即f (x)=2sin(2x+π‎3‎).当x∈( - ‎5π‎12‎,π‎12‎)时,2x+π‎3‎∈( - π‎2‎,π‎2‎),所以f (x)在( - ‎5π‎12‎,π‎12‎)上是增函数.当x∈(π‎3‎,‎5π‎6‎)时,2x+π‎3‎∈(π,2π),所以f (x)在(π‎3‎,‎5π‎6‎)上先减后增.故选B.‎ ‎17.B 　f (x)=asin ωx+cos(ωx - π‎6‎)=asin ωx+cos ωxcos π‎6‎+sin ωxsin π‎6‎=(‎1‎‎2‎+a)sin ωx+‎3‎‎2‎cos ωx=‎(‎1‎‎2‎+a‎)‎‎2‎+(‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎·sin(ωx+ϕ),其中tan ϕ=‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎‎+a.对于任意的x1,x2∈R,都有f (x1)+f (x2) - 2‎3‎≤0,即f ‎ ‎(x1)+f (x2)≤2‎3‎,当且仅当f (x1)=f (x2)=f (x)max时取等号,故2‎(‎1‎‎2‎+a‎)‎‎2‎+(‎‎3‎‎2‎‎)‎‎2‎=2‎3‎,解得a=1或a= - 2(舍去),故f (x)=‎3‎‎2‎sin ωx+‎3‎‎2‎cos ωx=‎3‎sin(ωx+π‎6‎).因为0≤x≤π,所以0≤ωx≤ωπ,π‎6‎≤ωx+π‎6‎≤ωπ+π‎6‎.又f (x)在[0,π]上的值域为[‎3‎‎2‎,‎3‎],所以π‎2‎≤ωπ+π‎6‎≤‎5π‎6‎,解得‎1‎‎3‎≤ω≤‎2‎‎3‎,选B.‎ ‎18.A　关于x的方程(sin x+cos x)2+cos 2x=m可化为sin 2x+cos 2x=m - 1,即sin(2x+π‎4‎)=m-1‎‎2‎.易知sin(2x+π‎4‎)=m-1‎‎2‎在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1 - x2|≥π‎4‎.令2x+π‎4‎=t,即sin t=m-1‎‎2‎在区间(π‎4‎,‎9π‎4‎]上有两个不同的实数根t1,t2.‎ 作出y=sin t(π‎4‎0,∴t∈[π‎4‎,2ωπ+π‎4‎],结合y=sin t的图象得‎5π‎2‎<2ωπ+π‎4‎≤‎7π‎2‎,解得‎9‎‎8‎<ω≤‎13‎‎8‎.‎ ‎【易错警示】　本题容易出现的错误解答:结合正弦函数y=sin t的图象得‎5π‎2‎≤2ωπ+π‎4‎‎<‎‎7π‎2‎,解得‎9‎‎8‎≤ω<‎13‎‎8‎,错误的原因是未注意到极值点不能在区间的端点处.‎ ‎23. - 5或 - 1　由题意知,函数f (x)=2sin(ωx+φ) - 3的图象的一条对称轴为直线x=π‎4‎.当x=π‎4‎时,函数f (x)=2sin(ωx+φ) - 3取得最值,所以f (π‎4‎)= - 5或 - 1.‎ ‎24.(1)f (x)=cos 2x+‎3‎‎2‎sin 2x - ‎1‎‎2‎cos 2x=‎3‎‎2‎sin 2x+‎1‎‎2‎cos 2x=sin(2x+π‎6‎).‎ ‎∴函数f (x)的最小正周期T=π.‎ ‎(2)由2kπ - π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),解得kπ - π‎3‎≤x≤kπ+π‎6‎(k∈Z),‎ ‎∴函数f (x)的单调递增区间为[kπ - π‎3‎,kπ+π‎6‎](k∈Z).‎ ‎∵x∈[0,π],∴所求单调递增区间为[0,π‎6‎]和[‎2π‎3‎,π].‎ ‎25.(1)f (x)=(‎1‎‎2‎cos πx - ‎3‎‎2‎sin πx)(‎1‎‎2‎cos πx+‎3‎‎2‎sin πx)=‎1‎‎4‎cos2πx - ‎3‎‎4‎sin2πx=‎1‎‎4‎‎×‎1+cos2πx‎2‎ - ‎3‎‎4‎×‎1-cos2πx‎2‎=‎‎1‎‎2‎cos 2πx - ‎1‎‎4‎,令π+2kπ≤2πx≤2π+2kπ,k∈Z,解得‎1‎‎2‎+k≤x≤1+k,k∈Z,∴f (x)的单调递增区间为[k+‎1‎‎2‎,k+1],k∈Z.‎ ‎(2)∵f (x)的值域为[ - ‎3‎‎4‎, - ‎1‎‎2‎],∴ - 1≤cos 2πx≤ - ‎1‎‎2‎.∵x∈[‎1‎‎3‎,a],∴‎2π‎3‎≤2πx≤2πa,结合余弦函数图象可知π≤2πa≤‎4π‎3‎,解得‎1‎‎2‎≤a≤‎2‎‎3‎,∴a的取值范围是[‎1‎‎2‎,‎2‎‎3‎].‎ ‎26.BD　因为f (x)=2‎3‎sin ωxcos ωx+2cos2ωx=‎3‎sin 2ωx+cos 2ωx+1=2sin(2ωx+π‎6‎)+1,所以 - 1≤f (x)≤3,故选项A,C不正确.若f (x)的最小正周期为π,则2ω=‎2ππ=2,ω=1,故选项B正确.由2ωx+π‎6‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),得x=kπ+‎π‎3‎‎2ω(k∈Z),根据题意知,若函数f (x)的图象在区间(π‎2‎,π)内不存在对称轴,只需kπ+‎π‎3‎‎2ω≤π‎2‎且‎(k+1)π+‎π‎3‎‎2ω≥π,即ω≥k+‎1‎‎3‎且ω≤k+‎‎4‎‎3‎‎2‎,若有解,必须k+‎1‎‎3‎≤k+‎‎4‎‎3‎‎2‎,即k≤‎2‎‎3‎,又ω>0,所以k+‎‎4‎‎3‎‎2‎>0,即k> - ‎4‎‎3‎,所以 - ‎4‎‎3‎0), ‎ 当t∈(0,π‎2‎]时,2t+π‎3‎∈(π‎3‎,‎4π‎3‎],所以cos(2t+π‎3‎)∈[ - 1,‎1‎‎2‎),故当t∈(0,π‎2‎]时,y∈[ - ‎3‎,‎3‎‎2‎).‎