2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一上学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则集合（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用一元二次方程的解法化简集合化简集合，利用并集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由一元二次方程的解法化简集合，‎ 或，‎ ‎ ，‎ 或，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.‎ ‎2．如图，是的直观图，其中，那么是（ ）‎ A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】 因为水平放置的的直观图中，，且 ‎ 所以， 所以是直角三角形，故选D.‎ ‎3．函数的单调递减区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令t=4+3x-x2 ＞0，求得函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2 在定义域内的减区间．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）=log2（4+3x-x2），令t=4+3x-x2 ＞0，求得-1＜x＜4，‎ 即函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，‎ 即求函数t在定义域内的减区间．‎ 再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2 在定义域内的减区间为.故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎4．若是奇函数，且在上是增函数，又，则的解是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据是奇函数，且在上是增函数，又，可得且在上是增函数,再根据等价于，结合函数单调性与对称性列不等式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 函数为奇函数， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数在上是增函数，‎ 函数在上是增函数,‎ 对于，等价于，‎ 或，解得 ，‎ 综上可得的范围是，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.‎ ‎5．已知，，则函数为增函数的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：∵为增函数，∴>0，又∵，∴，又，∴函数为增函数的概率是，故选B．‎ ‎【考点】1．函数的单调性；2．古典概型求概率．‎ ‎6．设m，n是两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（ ）‎ A．，且，则 B．，且，则 C．，且，则 D．，且，则 ‎【答案】B ‎【解析】根据空间点线面的位置关系，对选项进行逐一判断，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，画出图像如下图所示，由图可知，命题正确.‎ 对于B选项，画出图像如下图所示，由图可知，，故B选项命题错误.‎ 对于C选项，画出图像如下图所示，由图可知，命题正确.‎ 对于D选项，画出图像如下图所示，由图可知，命题正确.‎ 综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查空间点线面的位置关系，只需根据命题的条件画出图像，判断结论是否正确即可，属于基础题.‎ ‎7．已知，，且，则的最小值为（ ）‎ A． B．4 C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据基本不等式求最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎ ,当且仅当时取等号，所以选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎8．已知满足.则以下四个选项一定正确的是（ ）‎ A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 ‎【答案】D ‎【解析】根据题干条件可知函数关于点（1，1）中心对称，故是关于（0，1‎ ‎）中心对称，则是关于（0，0）中心对称，是奇函数.‎ 故答案为：D.‎ ‎9．若函数 的图象如图所示，则（ ）‎ A．1：6：5：8 B．1：6：5：（-8）‎ C．1：（-6）：5：8 D．1：（-6）：5：（-8）‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图象可知， ∴分母必定可以分解为 ∵在 时有 ． 故选D．‎ ‎10．若关于x的不等式在区间上有解，则k的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】用分离参数法得出不等式k＞﹣x在x∈[1，2]上成立，根据函数f（x）=﹣x在x∈[1，2]上的单调性，即可求出k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 关于x的不等式x2+kx﹣1＞0在区间[1，2]上有解，‎ ‎∴kx＞1﹣x2在x∈[1，2]上有解，‎ 即k＞﹣x在x∈[1，2]上成立； ‎ 设函数f（x）=﹣x，x∈[1，2]，‎ ‎∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，‎ ‎∴f（x）在x∈[1，2]上是单调减函数，‎ 且f（x）的值域为[﹣，0]，‎ 要k＞﹣x在x∈[1，2]上有解，则k＞﹣，‎ 即实数k的取值范围为（﹣，+∞）．‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查了不等式的有解问题，考查利用导数求函数的值域，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理参数的问题常用的有分离参数法和分类讨论法，本题利用的是分离参数法，解题效率比分类讨论法解题效率高.‎ ‎11．有一正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）木料，其各棱长都为2.已知，分别为上，下底面的中心，M为的中点，过A，B，M三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图:‎ 连延长交于M,易证,因为为中心，所以 ，过做||,则梯形 即为所求截面，,,所以梯形的高，故梯形面积为，故选B. ‎ ‎12．已知，若函数在上为减函数，且函数在R上有最大值，则a的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由在上为减函数，可得；由在上有最大值，可得，综上可得结果,.‎ ‎【详解】‎ 在上为减函数，‎ ‎，且在上恒成立，‎ ‎，，‎ 又在上有最大值，且在上单调递增，‎ 在上单调递减，且，‎ ‎，解得，‎ 综上所述，，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的单调性、复合函数的单调性、分段函数的单调性，以及利用单调性求函数最值，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增 增，减减 增，增减 减，减增 减）.‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，， ， 则，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】解分式不等式首先要移项，使不等式的一边为0，再通分，根据分式不等式的同解原理把分式不等式转化为一元二次（或高次）不等式，一般，而，转化为一元高次不等式时，解一元高次不等式采用数轴标根法去解，在数轴上标根、穿线，注意“奇穿偶切”，利用数形结合思想，根据不等式的要求写出解集.‎ ‎14．在某城市青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：‎ ‎91，89，91，96，94，95，94.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91，91，94，95，94，由此能得出所剩数据的平均值进而得到方差．‎ ‎【详解】‎ ‎∵七位评委为某选手打出的分数如下：91，89，91，96，94，95，94，‎ 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91，91，94，95，94，‎ ‎∴所剩数据的平均值为： ，‎ 所剩数据的方差为：S2＝[（91﹣93）2+（91﹣93）2+（94﹣93）2+（95﹣93）2+（94﹣93）2]＝2.8．‎ 故答案为：2.8．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一组数据的平均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数公式和方差公式的合理运用．‎ ‎15．若函数，若函数有四个零点a，b.c，d.则a+b+cd的值是___.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】由题意画出图形，结合函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点可得a，b，c，d（a＜b＜c＜d）的取值范围，进一步求得cd＝1，利用对称性得到a，b的关系，得到a+b的值.‎ ‎【详解】‎ 作出函数的图象如图，‎ 函数y＝f（x）﹣m+1有四个零点，即y＝f（x）与y＝m-1的图象有4个不同交点，‎ 不妨设四个交点横坐标a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，‎ 则﹣4≤a＜﹣3，﹣1＜b≤0，＜c＜1，1＜d≤2，‎ 由f（c）＝f（d），得|log2c|＝|log2d|，则﹣log2c＝log2d，可得log2cd＝0，即cd＝1．‎ ‎∵a，b关于直线x＝﹣2对称，则a+b=﹣4，a+b+cd=-3.‎ 故答案为：-3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．‎ ‎16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD的外接球，BC=3，，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，‎ 连接oO1D，OD，O1E，OE，‎ 则，AO1‎ 在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，‎ ‎∵BD＝3BE，∴DE＝2‎ 在△DEO1中，O1E ‎ ‎∴ ‎ 过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，‎ 此时截面圆的半径为，最小面积为2π．‎ 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．‎ 故答案为：[2π，4π]‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．己知，‎ ‎（1）是否存在实数m，使是的充要条件，若存在，求出m的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数m，使是的必要条件，若存在，求出m的取值范围.‎ ‎【答案】(1)这样的m不存在；(2)m≤3.‎ ‎【解析】略 ‎18．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图。‎ ‎（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（2）（i）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数。‎ ‎【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．‎ ‎【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）平均数．‎ 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，‎ 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．‎ ‎（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．‎ 则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：‎ ‎（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，‎ 故所求概率．‎ ‎（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，‎ 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎19．已知二次函数，满足，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求在区间上的最大值；‎ ‎【答案】（1） (2)5‎ ‎【解析】（1）根据题干列出式子，，进而得到，求出参数即可；（2）根据第一问得到函数的解析式，通过配方得到函数的对称轴，进而得到函数的单调性，最大值在-1处取得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得.‎ 由，‎ 得，‎ 所以，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 故函数图像的对称轴为.‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 又，‎ 所以在区间上的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了二次函数的解析式的求法，待定系数法；考查了二次函数的单调性的确定，以及最值的求法，二次函数在小区间上的最值，首先要讨论区间端点和对称轴的关系，进而得到最值.‎ ‎20．如图，在正方体中.E，F分别是，CD的中点。‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：面面；‎ ‎（3）设，求三棱锥的体积。‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)见证明；（3）‎ ‎【解析】(1)根据正方体的性质得到 面