江西省宜春市宜丰中学2019-2020高一下学期开学考试数学试卷

江西省宜春市宜丰中学2019-2020高一下学期开学考试数学试卷

数学 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 ‎1．已知、、，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特殊值法可判断A、B选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C、D选项的正误.‎ ‎【详解】‎ 取，，则，，A、B选项错误；‎ ‎，，由不等式的基本性质可得，C选项正确；‎ 当时，，则，D选项错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又是周期函数的是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据函数的奇偶性定义可知函数为奇函数，为周期函数，选A.‎ ‎3．已知，则a，b，c的大小关系（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a与b的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到，得到最终的结果.‎ ‎【详解】‎ 由指数函数和对数函数图像可知：，‎ 则的大小关系是：.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎4．若，则点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，故点在第四象限.‎ 考点：1.三角函数值得符号；2，点在平面直角坐标系中所在象限.‎ ‎5．不等式的解集为R，则a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对分成，两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式化为，解集为，符合题意.‎ 当时，一元二次不等式对应一元二次方程的判别式，解得 ‎.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的对称轴，再由函数在上单调递增，则对称轴在区间的左侧求解．‎ ‎【详解】‎ 函数y＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x ‎∵函数在上单调递增 ‎∴5‎ ‎∴k≤40‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质，涉及了二次函数的对称性和单调性，在研究二次函数单调性时，一定要明确开口方向和对称轴．‎ ‎7．已知数列为等差数列，满足，则数列前21项的和等于（ ）‎ A． B．21 C．42 D．84‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，根据等差数列的性质，求出，再由等差数列求和公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为数列为等差数列，满足，‎ 所以，即；‎ 所以数列前21项的和等于.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的前项和，熟记等差数列的性质、以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.‎ ‎8．已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）‎ A． B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.‎ 考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.‎ ‎9．当时，满足的x的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据诱导公式，化简不等式为，结合正弦函数图像，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，又，‎ 所以，．‎ 再结合正弦函数图像，可得x范围为.‎ 故选:C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式，以及利用正弦函数的图象解不等式，属于中档题．‎ ‎10．若偶函数满足且时,则方程的根的个数是( )‎ A．2个 B．4个 C．3个 D．多于4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一坐标系中画出函数和函数的图象，这两个函数的图象的焦点个数，即为所求.‎ ‎【详解】‎ 因为偶函数满足，所以函数的周期为2，‎ 又当时，，故当时，，‎ 则方程的根的个数，等价于函数和函数的图象的交点个数，‎ 在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，可得两函数的图象有4个交点，‎ 即方程有4个根，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，即根的存在性及根的个数的判定，其中解答中把方程的根的个数，转化为函数和函数的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎11．已知数列满足，，则的前项和（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据与的关系求出，再验证是否满足通项，利用等差数列的前项的和公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知①，‎ 当时，②，‎ ‎①-②得，故，‎ 当时，，亦满足通项，‎ ‎∴，所以为等差数列，‎ 故，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了递推关系式求数列的通项公式、等差数列的前项的和公式，需熟记公式，属于中档题.‎ ‎12．已知，，若对任意，或，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的解集，接着用分类讨论方法解不等式，只要时，即可．‎ ‎【详解】‎ 由得，‎ 因此对任意，或，只要时，即可，‎ ‎，∴，‎ 或，由得，‎ 当时，，或，∴，，∴满足题意，‎ 当时，，或，∴，，∴，‎ 综上，．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由复合命题的真假求参数范围，考查含参数的一元二次不等式的解集问题．分类讨论是解决含参数的一元二次不等式的基本方法．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 ‎13．已知数列的通项公式，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入即可求解 ‎【详解】‎ 令，可得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求数列的项，是基础题 ‎14．如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.‎ ‎【详解】‎ 连接，根据三角形中位线得到，所以是异面直线与所成角.在三角形中，,所以三角形是等边三角形，故.‎ 故填：.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.‎ ‎15．已知，满足，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式表示的可行域，然后将变形为，然后即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 不等式组表示的可行域如图：‎ 由得，由图可知：当直线过点时最小 所以的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是线性规划的知识，较简单.‎ ‎16．已知，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数运算，即可求得关系，利用均值不等式，即可求得最值.‎ ‎【详解】‎ 因为，故可得，即可；‎ 故.‎ 当且仅当，即时取得最小值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数运算，利用均值不等式求和的最小值，属综合基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数的图象关于直线对称且．‎ ‎（1）求、的值；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值，最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得出关于实数、的方程组，即可解得实数、的值；‎ ‎（2）分析函数在区间上的单调性，进而可得出函数在区间上的最小值和最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于函数的图象关于直线对称且，‎ 则，解得；‎ ‎（2），，‎ 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以，函数在区间上的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了二次函数在区间上最值的求解，考查计算能力，属于基础题 ‎.18．（1）计算 ‎（2）若角的终边上有一点，且.求的值.‎ ‎【详解】(1) ‎ ‎（2）原式，‎ 点到原点的距离为，‎ 根据三角函数的概念可得，解得，（舍去）.‎ 可得，，‎ ‎∴原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的定义，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19．已知集合，集合，集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据定义域求得集合A，根据值域求得集合B，再根据数轴求交集（2）先将条件转化为集合包含关系： ，再根据空集讨论，最后根据数轴研究两集合包含关系.‎ 试题解析：（1），即 ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ 当 为空集满足条件;‎ 当即时,;又 ‎ 综上或．‎ 点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.‎ ‎(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，是的中点，是的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎【答案】(1)见解析; (2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）取中点点，连，可证得四边形是平行四边形，得，根据线面平行的判断定理可得平面．（2）连，由菱形可证得；由平面，可得，从而证得平面，由面面垂直的判断定理可得结论。‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取中点点，连，‎ ‎∵ 、分别是，中点， ‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ ‎∴ 。‎ ‎∴ 四边形是平行四边形，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ 平面，平面，‎ ‎∴ 平面．‎ ‎（）连，‎ ‎∵ 在菱形中，，‎ ‎∴ 为等边三角形，‎ ‎∵ 是中点，‎ ‎∴ ，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 平面，‎ 又 平面，‎ ‎∴ 平面平面．‎ ‎21．各项均为正数的等比数列满足，.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，数列的前 项和为，证明：.‎ ‎【答案】(1) (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）列方程解出公比与首项，再代入等比数列通项公式得结果，（2）先化简，再利用裂项相消法求和，即证得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设等比数列的公比为，‎ 由得，‎ 解得或. ‎ 因为数列为正项数列，所以， ‎ 所以，首项， ‎ 故其通项公式为.‎ ‎（2）由（Ⅰ）得 所以， ‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．已知数列的前项和为，，且，数列满足，，对任意,都有.‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）令.若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，结合累乘法，求得数列的通项公式.根据已知条件判断出数列是等比数列，由此求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用错位相减求和法求得，利用差比较法证得是递增数列，由此求得的取值范围.化简不等式，得恒成立.构造函数，对进行分类讨论，结合二次函数的性质，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵∴，‎ 当时，‎ ‎∴，即 ‎∴‎ 又,也满足上式，故数列的通项公式 由，知数列是等比数列，其首项为、公比为，‎ ‎∴数列的通项公式 ‎（2）∵①‎ ‎∴②‎ 由①②，得 ‎∴‎ ‎∵，∴‎ 又恒正.‎ 故是递增数列，‎ ‎∴‎ 又.‎ 不等式，‎ 即，‎ 即恒成立.‎ 设，‎ 当时，恒成立，则满足条件； ‎ 当时，由二次函数性质知不恒成立；‎ 当时，由于对称轴 则在上单调递减，‎ 恒成立，则满足条件，‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查累乘法求数列通项公式，考查等比数列的识别，考查等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.‎