对数函数及其性质

对数函数及其性质

‎ ‎ ‎§2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）‎ 一．教学目标 ‎1．知识技能 ‎①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.‎ ‎②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.‎ ‎2．过程与方法 让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.‎ ‎3．情感、态度与价值观 ‎①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；‎ ‎②培养学生严谨的科学态度.‎ 二．学法与教学用具 ‎1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；‎ ‎2．教学手段：多媒体计算机辅助教学．‎ 三．教学重点、难点 ‎1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.‎ ‎2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.‎ 四．教学过程 ‎ 1．设置情境 在2．2．1的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应．同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数．‎ ‎2．探索新知 ‎ 一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．‎ 提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定＞0且≠1．‎ ‎（2）．为什么对数函数（＞0且≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.‎ 答：①根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定＞0且≠1．‎ ‎②因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，＞0，所以．‎ 例题1：求下列函数的定义域 ‎（1） （2） （＞0且≠1）‎ 分析：由对数函数的定义知：＞0；＞0，解出不等式就可求出定义域．‎ 解：（1）因为＞0，即≠0，所以函数的定义域为.‎ ‎（2）因为＞0，即＜4，所以函数的定义域为＜.‎ 下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：‎ 先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出 ‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.58‎ ‎3‎ ‎3.58‎ ‎4‎ y ‎　‎ 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ ‎　　　　　０　　　　　　　　　　　　　　x ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ 注意到：，若点的图象上，则点的图象上. 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图象与的图象关于轴对称 . 所以，由此我们可以画出的图象 .‎ ‎ 先由学生自己画出的图象，再由电脑软件画出与的图象.‎ 探究：选取底数＞0，且≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象．观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？‎ ‎.作法：用多媒体再画出，，和 ‎0‎ 提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？‎ 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ 先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)‎ 图象的特征 函数的性质 ‎（1）图象都在轴的右边 ‎（1）定义域是（0，+∞）‎ ‎（2）函数图象都经过（1，0）点 ‎（2）1的对数是0‎ ‎（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 .‎ ‎（3）当＞1时，是增函数，当 ‎0＜＜1时，是减函数.‎ ‎（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .‎ ‎（4）当＞1时 ‎ ＞1，则＞0‎ ‎ 0＜＜1，＜0‎ 当0＜＜1时 ‎ ＞1，则＜0‎ ‎ 0＜＜1，＜0‎ 由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：‎ ‎＞1‎ ‎0＜＜1‎ 图 象 性 质 ‎（1）定义域（0，+∞）；‎ ‎（2）值域R；‎ ‎（3）过点（1，0），即当=1，=0；‎ ‎（4）在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）是上减函数 例题训练：‎ ‎ 1. 比较下列各组数中的两个值大小 ‎（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3） （＞0，且≠1）‎ 分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：‎ 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ ‎（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：‎ 所以，‎ 解法2：由函数+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以.‎ 解法3：直接用计算器计算得：，‎ ‎（2）第（2）小题类似 ‎（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小.‎ 解法1：当＞1时，在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.‎ 所以，‎ 当1时，在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.‎ 所以，‎ 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，‎ 令 令 则 当＞1时，在R上是增函数，且5.1＜5.9‎ 所以，＜，即＜‎ 当0＜＜1时，在R上是减函数，且5.1＞5.9‎ 所以，＜，即＞‎ 说明：先画图象，由数形结合方法解答 课堂练习：Ｐ８５　　练习　　第２，３题 补充练习 ‎1．已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为 ‎ ‎2．求函数的值域.‎ ‎3．已知＜＜0，按大小顺序排列m, n, 0, 1‎ 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ ‎4．已知0＜＜1, b＞1, ab＞1. 比较 归纳小结：‎ ② 对数函数的概念必要性与重要性;‎ ‎②对数函数的性质，列表展现.‎ 对数函数（第三课时）‎ 一．教学目标：‎ ‎1．知识与技能 ‎（1）知识与技能 ‎（2）了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.‎ ‎2．过程与方法 学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异.‎ ‎3. 情感、态度、价值观 ‎（1）体会指数函数与指数; ‎ ‎（2）进一步领悟数形结合的思想.‎ 二．重点、难点：‎ 重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反函数概念的理解 三．学法与教具：‎ 学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系.‎ 教具：多媒体 四．教学过程：‎ ‎1．复习 ‎（1）函数的概念 ‎（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ 的函数图象.`‎ ‎2．讲授新知 ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎…‎ 图象如下：‎ ‎ ‎ y ‎ ‎ ‎0‎ x 探究：在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.‎ 引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.‎ 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ 在指数函数中，是自变量， 是的函数（），而且其在R上是单调递增函数. 过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，我们说.‎ 从我们的列表中知道，是同一个函数图象.‎ ‎3．引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）‎ 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.‎ 由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.‎ 如的反函数，但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，这样是指数函数的反函数.‎ 以后，我们所说的反函数是对调后的函数，如的反函数是.‎ 同理，＞1）的反函数是＞0且.‎ 课堂练习：求下列函数的反函数 ‎（1） （2）‎ 归纳小结： 1. 今天我们主要学习了什么？‎ ‎ 2．你怎样理解反函数？‎ 课后思考：（供学有余力的学生练习）‎ ‎ 我们知道＞0与对数函数＞0且 第 9 页 （共 9页）‎ ‎ ‎ 互为反函数，探索下列问题.‎ ‎ 1．在同一平面直角坐标系中，画出的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？‎ ‎ 2．取图象上的几个点，写出它们关于直线的对称点坐标，并判断它们 是否在的图象上吗？为什么？‎ ‎ 3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于＞0成立吗？‎ 第 9 页 （共 9页）‎