2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11平面与平面垂直

2020-2021学年数学新教材人教B版必修第四册教案：第11章 11平面与平面垂直

www.ks5u.com ‎11.4.2　‎平面与平面垂直 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解二面角、面面垂直的定义．(重点)‎ ‎2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理．(重点)‎ ‎3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．(难点)‎ ‎1.通过二面角概念、平面与平面垂直的定义学习，培养直观想象的核心素养．‎ ‎2．借助面面垂直的判定定理与性质定理，培养逻辑推理、数学抽象的核心素养.‎ ‎　‎ 在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．‎ 思考：(1)回顾初中所学知识，什么是射线？如何用射线来定义角？‎ ‎(2)二面角的大小从哪个角度刻画更为合理？为什么？‎ ‎1．二面角 概念 平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形称为二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.‎ 图示 二面角的平面角 定义 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角 范围 ‎[0，π]‎ 规定 二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记为αlβ.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角PlQ.‎ ‎2.平面与平面垂直 ‎(1)定义：如果两个平面所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β.‎ ‎(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示．‎ ‎(3)面面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ⇒α⊥β ‎(4)面面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 符号语言 ⇒a⊥β 图形语言 思考：若定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？‎ ‎[提示]　相交或平行．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面． (　　)‎ ‎(2)如果两个平面互相垂直，那么过交线上的一点垂直于交线的直线，垂直于另一个平面． (　　)‎ ‎(3)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别垂直． (　　)‎ ‎[提示]　(1)正确．‎ ‎(2)错误．必须要在其中一个平面内作直线才能成立．‎ ‎(3)错误．可能平行，也可能相交或异面．‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，m⊥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β B　[A中，α，β还可能平行或相交，所以A不正确；易知B正确；C中，若α∥β，仍然可以满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，所以C不正确；D中，α，β还可能平行或相交，所以D不正确．故选B．]‎ ‎3．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，平面AA‎1C1C与平面C1BD的位置关系是________．‎ 垂直　[因为BD⊥AC，BD⊥C‎1C，‎ 且AC∩C‎1C＝C，‎ 所以BD⊥平面AA‎1C1C．‎ 因为BD⊂平面C1BD，‎ 所以平面AA‎1C1C⊥平面C1BD．]‎ ‎4．在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1BDC的大小为________．‎ ‎30°　[如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.‎ 因为C1D＝C1B，O为BD中点，‎ 所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，‎ 所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角，‎ 在Rt△C1CO中，C‎1C＝，可以计算出C1O＝2，‎ 所以sin∠C1OC＝＝.‎ 所以∠C1OC＝30°.]‎ 二面角的求解 ‎【例1】　如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．‎ ‎[思路探究]　求二面角EBDC的大小⇒先作出二面角的平面角，再计算．‎ ‎[解]　因为E为SC的中点，且SB＝BC，‎ 所以BE⊥SC．又DE⊥SC，BE∩DE＝E，‎ 所以SC⊥平面BDE，‎ 所以BD⊥SC．又SA⊥平面ABC，‎ 可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，‎ 所以BD⊥平面SAC，‎ 从而BD⊥AC，BD⊥DE，‎ 所以∠EDC为二面角EBDC的平面角．‎ 设SA＝AB＝1，在△ABC中，‎ 因为AB⊥BC，‎ 所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.‎ 在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，‎ 所以∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.‎ ‎1．求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”．‎ ‎2．作二面角的平面角的方法 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角αaβ的平面角．‎ 方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．‎ 如图所示，∠ACB为二面角αmβ的平面角．‎ ‎1．如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，求二面角BA‎1C1B1的正切值．‎ ‎[解]　取A‎1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A‎1C1，又BA1＝BC1，O为A‎1C1的中点，‎ 所以BO⊥A‎1C1，‎ 所以∠BOB1即是二面角BA‎1C1B1的平面角．‎ 因为BB1⊥平面A1B‎1C1D1，OB1⊂平面A1B‎1C1D1，‎ 所以BB1⊥OB1.‎ 设正方体的棱长为a，‎ 则OB1＝a，‎ 在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝.‎ 所以二面角BA‎1C1B1的正切值为.‎ 平面与平面垂直的证明 ‎【例2】　如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．‎ ‎(1)求证：DC⊥平面PAC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PAC．‎ ‎[证明]　(1)因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，‎ 所以PC⊥DC．‎ 又因为DC⊥AC，AC∩PC＝C，‎ 所以DC⊥平面PAC．‎ ‎(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，‎ 所以AB⊥AC．‎ 因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ 所以PC⊥AB．‎ 又PC∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC．‎ 因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．‎ 证明面面垂直的两个方法及实质 ‎(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．‎ 步骤：①找出两个相交平面的平面角．②证明这个平面角是直角．③根据定义，说明这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．‎ 实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．‎ ‎2．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．‎ ‎(1)证明：PA∥平面BDE；‎ ‎(2)证明：平面BDE⊥平面PBC．‎ ‎[证明]　(1)连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD为正方形，所以O为AC的中点，又因为E为PC中点，所以OE为△PAC的中位线，所以PA∥OE，‎ 又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，‎ 所以PA∥平面BDE.‎ ‎(2)因为四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC．又因为PD＝DC，E为PC中点，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC．‎ 面面垂直性质定理的应用 ‎【例3】　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．‎ 求证：(1)BG⊥平面PAD；‎ ‎(2)AD⊥PB．‎ ‎[思路探究]　‎ ‎(1)―→―→ ‎(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．‎ ‎[证明]　(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，‎ ‎∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD．‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD．‎ ‎(2)如图，连接PG.‎ ‎∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，‎ ‎∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD．又∵PG∩BG＝G.‎ ‎∴AD⊥平面PBG.‎ 而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB．‎ ‎1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用 ‎(1)证明直线与平面垂直．‎ ‎(2)证明直线与直线平行．‎ ‎(3)作平面的垂线．‎ ‎2．应用性质定理证线面垂直的关键 一找，二证，即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．‎ ‎3．如图所示，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD．求证：平面VBC⊥平面VAC．‎ ‎[证明]　因为平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB，‎ 所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA．‎ 又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，‎ 所以VA⊥平面VBC．因为VA⊂平面VAC，‎ 所以平面VBC⊥平面VAC．‎ 垂直关系的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，你能证明PD⊥平面ABCD吗？‎ ‎[提示]　因为PD＝a，DC＝a，PC＝a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC．‎ 同理可证PD⊥AD，‎ 因为AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，‎ 所以PD⊥平面ABCD．‎ ‎2．如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PA⊥CD．‎ ‎[提示]　连接CO(图略)，由3AD＝DB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，‎ 由AC＝BC知，∠CAB＝60°，‎ 所以△ACO为等边三角形，从而CD⊥AO.‎ 因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，‎ 所以PD⊥平面ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，‎ 由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，‎ 又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD．‎ ‎【例4】　如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．‎ 求证：‎ ‎(1)EN∥平面PDC；‎ ‎(2)BC⊥平面PEB；‎ ‎(3)平面PBC⊥平面ADMN.‎ ‎[思路探究]　(1)证明EN∥DM；‎ ‎(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；‎ ‎(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.‎ ‎[证明]　(1)因为AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，‎ 所以AD∥平面PBC．‎ 又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，‎ 所以AD∥MN.‎ 又因为BC∥AD，所以MN∥BC．‎ 又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．‎ 所以MN∥BC且MN＝BC，‎ 又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.‎ 所以四边形DENM为平行四边形．‎ 所以EN∥DM，且EN⊄平面PDC，DM⊂平面PDC．‎ 所以EN∥平面PDC．‎ ‎(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，‎ 且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD．‎ 又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，‎ 所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.‎ 又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB．‎ ‎(3)由(2)知AD⊥平面PBE，‎ 又PB⊂平面PBE，‎ 所以AD⊥PB．‎ 又因为PA＝AB，N为PB的中点，‎ 所以AN⊥PB．‎ 且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.‎ 又因为PB⊂平面PBC．‎ 所以平面PBC⊥平面ADMN.‎ 线面、面面垂直的综合问题的解题策略 ‎(1)重视转化 涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．‎ ‎(2)充分挖掘线面垂直关系 解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．‎ ‎4．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎(1)求证：PA⊥BD；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面PAC．‎ ‎[证明]　(1)因为PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，‎ 所以PA⊥平面ABC．‎ 又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD．‎ ‎(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，‎ 所以BD⊥AC．‎ 由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，‎ 所以BD⊥平面PAC．‎ 因为BD⊂平面BDE，‎ 所以平面BDE⊥平面PAC．‎ 知识：‎ ‎1．二面角 构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．‎ ‎2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路 ‎(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒‎ 面面垂直．‎ ‎(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．‎ ‎3．垂直关系的相互转化 在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：‎ 提醒：应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．‎ 方法：‎ ‎1．求二面角大小的一般方法 ‎(1)定义法；(2)垂线法．‎ ‎2．判定或证明面面垂直的一般方法 ‎(1)定义法，即计算二面角的平面角为90°；‎ ‎(2)利用面面垂直的判定定理证明．‎ ‎1．(多选题)下列说法正确的是(　　)‎ A．两个相交平面组成的图形称为二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为相等或互补 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 BD　[由二面角的定义，可知A说法不正确，D说法正确．由a，b分别和一个二面角的两个面垂直，知a，b都垂直于该二面角的棱，过棱上一点可分别作a，b的平行线，分析知B正确．对于C，如图，平面α，β，γ两两垂直，过β，γ 的交线m作可绕m旋转的半平面λ，显然二面角αlβ的两个半平面α，β分别垂直于γmλ的两个半平面λ，γ，但二面角γmλ的大小无法确定，故C说法不正确．故选BD．]‎ ‎2．下列命题中错误的是(　　)‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β D　[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]‎ ‎3．已知A是锐二面角αlβ中α内一点，AB垂直β于点B，AB＝，点A到l的距离为2，则二面角αlβ的平面角的大小为________．‎ ‎60°　[过点A作l的垂线，设垂足为C，连接BC(图略)．由AB⊥β，知△ABC为直角三角形，∠ACB就是锐二面角αlβ的平面角．易得sin∠ACB＝，因此∠ACB＝60°，即二面角αlβ的平面角的大小是60°.]‎ ‎4．如图所示，在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA＝AB＝BC＝a，AD＝‎2a.‎ 求证：(1)平面SAB⊥平面SAD；‎ ‎(2)CD⊥平面SAC．‎ ‎[证明]　(1)∵SA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，‎ ‎∴AB⊥SA．‎ 又∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD．∵SA∩AD＝A，∴AB⊥平面SAD．又AB⊂‎ 平面SAB，∴平面SAB⊥平面SAD．‎ ‎(2)取AD的中点E，连接CE(图略)．‎ ‎∵∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝‎2a，BC＝a，E是AD的中点，‎ ‎∴四边形ABCE是矩形，CE＝AB＝a，DE＝a，‎ ‎∴CD＝a.‎ 在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝‎2a，‎ ‎∴AC2＋CD2＝AD2，即CD⊥AC．‎ 又∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴CD⊥SA．又SA∩AC＝A，∴CD⊥平面SAC．‎