高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结

平面向量知识点归纳 ‎ 一.向量的基本概念与基本运算 ‎1、向量的概念：‎ ‎①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．‎ ‎②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行 ‎③单位向量：模为1个单位长度的向量 ‎④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ‎ ‎⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 ‎ ‎2、向量加法：设，则+==‎ ‎（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；‎ ‎，但这时必须“首尾相连”．‎ ‎3、向量的减法： ① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量 ‎②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）‎ ‎4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：‎ ‎（Ⅰ）； （Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的 ‎5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=‎ 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 ‎+=‎ ‎-=‎ 记=(x1,y1)，=(x1,y2)‎ 则+=(x1+x2,y1+y2)‎ ‎-=（x2-x1,y2-y1）‎ ‎+=‎ 实数与向量 的乘积 ‎=λ λ∈R 记=(x,y)‎ 则λ=(λx,λy)‎ 两个向量 的数量积 ‎·=||||‎ cos<,>‎ 记=(x1,y1), =(x2,y2)‎ 则·=x1x2+y1y2‎ ‎6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 ‎1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 ‎ ‎2平面向量的坐标运算：‎ (1) 若，则 (2) 若，则 (3) 若=(x,y)，则=(x, y)‎ (4) 若，则 (5) 若，则 若，则 三．平面向量的数量积 ‎1两个向量的数量积：‎ 已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与的数量积（或内积） 规定 ‎2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影 ‎3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积 ‎4向量的模与平方的关系：‎ ‎5乘法公式成立： ‎ ‎；‎ ‎6平面向量数量积的运算律：‎ ‎①交换律成立：‎ ‎②对实数的结合律成立：‎ ‎③分配律成立：‎ 特别注意：（1）结合律不成立：；‎ ‎（2）消去律不成立不能得到 ‎（3）=0不能得到=或=‎ ‎7两个向量的数量积的坐标运算：‎ 已知两个向量，则·=‎ ‎8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则∠AOB= （）叫做向量与的夹角 cos==‎ 当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 ‎9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥‎ ‎10两个非零向量垂直的充要条件：‎ ‎⊥·＝O平面向量数量积的性质 ‎11.线段的定比分点公式 设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则 ‎＝＋ (线段的定比分点的向量公式) ‎ (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1时，得中点公式： ‎＝（＋）或 ‎12.平移公式 设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），‎ 则＝+a或 曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y－ｋ＝f（x－ｈ)‎ ‎13.正、余弦定理 正弦定理：‎ 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.