2020年高中数学第三章空间向量的正交分解及其坐标表示

2020年高中数学第三章空间向量的正交分解及其坐标表示

‎3.1.4‎‎ 空间向量的正交分解及其坐标表示 ‎[课时作业]‎ ‎ [A组　基础巩固]‎ ‎1．下列说法中正确的是(　　)‎ A．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且只有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等 解析：只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底，基底不唯一，因此A，B，D均不正确，C正确，故选C. ‎ 答案：C ‎2．O，A，B，C为空间四个点，又{，，}为空间的一个基底，则(　　)‎ A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 解析：由于{，，}为空间的一个基底，‎ 所以，，不共面，‎ 因此，O，A，B，C四点一定不共面，故选D.‎ 答案：D ‎3.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在上，且＝2，N为BC的中点，＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为(　　)‎ A.，－， B．－，， C.，，－ D.，，－ 解析：＝＋＋ ‎＝＋(－)＋ ‎＝＋(－)＋(－)‎ 6‎ ‎＝－＋＋，‎ ‎∴x＝－，y＝，z＝，‎ 故选B.‎ 答案：B ‎4．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是(　　)‎ A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 解析：因为A点不一定为坐标原点，‎ 所以A不正确；B，C都不正确；‎ 由于＝－，‎ 所以D正确，故选D.‎ 答案：D ‎5．如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：B(1,1,0)，E(1，，1)，‎ ‎∴＝(1，，1)－(1,1,0)‎ ‎＝(0，－，1)．‎ 答案：C ‎6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，‎ 6‎ y＝________.‎ 解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有 解得 答案：1　－1‎ ‎7．正方体ABCDA1B‎1C1D1中，点E，F分别是底面A‎1C1和侧面CD1的中点，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.‎ 解析：如图，连接A‎1C1，C1D，则E在A‎1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，‎ ‎∴＝，‎ 即－＝0，‎ ‎∴λ＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，‎ m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．‎ 解析：∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴存在实数k，使＝k，即－＝k(－)，‎ 即－(k＋1)＋k＝0，∴1－(k＋1)＋k＝0，‎ 故λ＋m＋n＝0.‎ 答案：0‎ ‎9．若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．‎ 解析：假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，‎ ‎∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.‎ ‎∵{a，b，c}为基底，‎ ‎∴a，b，c不共面，∴此方程组无解．‎ ‎∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．‎ ‎∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间一个基底．‎ 6‎ ‎10．棱长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D‎1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：‎ ‎(1)，，；‎ ‎(2)，，.‎ 解析：(1)＝＋＝＋ ‎＝＋＝，‎ ＝＋＝＋＝，‎ ＝＋＋＝＋＋＝.‎ ‎(2)＝－＝(＋＋)－＝＋＝.‎ ＝－＝－ ‎＝－－＝，‎ ＝－＝＋－ ‎＝－＝.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，且a＝－2i＋2j－2k，‎ b＝i＋4j－6k，c＝xi－8j＋8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为(　　)‎ A．(8，－8,8) B．(－8,8,8)‎ C．(－8，－8，－8) D．(－8,8，－8)‎ 解析：∵a，b，c共面，∴可设c＝λa＋μb，故 ‎∴xi－8j＋8k＝λ(－2i＋2j－2k)＋μ(i＋4j－6k)，‎ 由此可得 解得x＝8.‎ 故向量c的坐标为(8，－8,8)．‎ 答案：A ‎2.如图，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝‎ 6‎ a，＝b，＝c，则＝(　　)‎ A.a＋b－c B．－a＋b－c C.a－b－c D．－a－b＋c 解析：＝－ ‎＝(＋)－(＋)‎ ‎＝－＋－ ‎＝－a＋b－c.‎ 答案：B ‎3.如图，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________.‎ 解析：2＝2＋2＋2 ‎＝(＋)＋(＋)＋(＋)‎ ‎＝＋＋，‎ ‎∴＝(＋＋)．‎ 答案：(＋＋)‎ ‎4．在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.‎ 解析：∵＝＋＋，‎ 又＝x＋2y＋3z，‎ ‎∴x＝1,2y＝1,3z＝1，‎ 即x＝1，y＝，z＝，‎ 6‎ 故x＋y＋z＝1＋＋＝.‎ 答案： ‎5．在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．‎ ‎ (1)用向量a，b，c表示，；‎ ‎(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．‎ 解析：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，‎ ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．‎ ‎(2)＝(＋)‎ ‎＝(－＋－)‎ ‎＝(－＋－－)‎ ‎＝(a－c－b－c)‎ ‎＝a－b－c，‎ ‎∴x＝，y＝－，z＝－1.‎ ‎6．已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标．‎ 解析：过点A作AG垂直于平面BCD，‎ 由于AB＝AC＝AD，‎ 所以点G为△BCD的中心，‎ 过点G作GF∥CD，E为CD的中点，‎ 以G为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 因为△BCD的边长为a，则BE＝a，GE＝a，‎ 又＝，所以GF＝×a＝a，‎ 又BG＝a，所以AG＝＝a，‎ 6‎ 所以A，B，C，D.‎ 6‎