高中数学:不等式知识点详解

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高中数学:不等式知识点详解

考试内容:‎ 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求: 数学探索©版权所有www.delve.cn(1)理解不等式的性质及其证明. 数学探索©版权所有www.delve.cn(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. 数学探索©版权所有www.delve.cn(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. 数学探索©版权所有www.delve.cn(4)掌握简单不等式的解法. 数学探索©版权所有www.delve.cn(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ ‎ ‎§06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:‎ (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.‎ (3) 同向不等式与异向不等式.‎ (4) 同解不等式与不等式的同解变形.‎ ‎2.不等式的基本性质 ‎(1)(对称性)‎ ‎(2)(传递性)‎ ‎(3)(加法单调性)‎ ‎(4)(同向不等式相加)‎ ‎(5)(异向不等式相减)‎ ‎(6)‎ ‎(7)(乘法单调性)‎ ‎(8)(同向不等式相乘)‎ ‎(异向不等式相除)‎ ‎(倒数关系)‎ ‎(11)(平方法则)‎ ‎(12)(开方法则)‎ ‎3.几个重要不等式 ‎(1)‎ ‎(2)(当仅当a=b时取等号)‎ ‎(3)如果a,b都是正数,那么 (当仅当a=b时取等号)‎ 极值定理:若则:‎ 如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小; ‎ 如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大.‎ ‎ 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. ‎ ‎(当仅当a=b=c时取等号)‎ ‎(当仅当a=b时取等号)‎ ‎(7)‎ ‎4.几个著名不等式 ‎ (1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么 (当仅当a=b时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):‎ 特别地,(当a = b时,)‎ 幂平均不等式:‎ 注:例如:.‎ 常用不等式的放缩法:①‎ ②‎ ‎(2)柯西不等式: ‎ ‎(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有 则称f(x)为凸(或凹)函数.‎ ‎5.不等式证明的几种常用方法 ‎ 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.‎ ‎6.不等式的解法 ‎(1)整式不等式的解法(根轴法).‎ ‎ 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.‎ 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;‎ ‎②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.‎ ‎(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则 ‎(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 ‎ ‎ ‎(4).指数不等式:转化为代数不等式 ‎(5)对数不等式:转化为代数不等式 ‎(6)含绝对值不等式 应用分类讨论思想去绝对值; 应用数形思想;‎ 应用化归思想等价转化 注:常用不等式的解法举例(x为正数):‎ ① ‎ ②‎ 类似于,③‎
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