2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练28 直线与圆
考点28 直线与圆
【考点分类】
热点一 直线的方程与位置关系
1.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】已知点A（-1，0）；B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
（A）（0，1） (B)（1-，） ( C)（1-， (D)[,）
2.【2013年全国高考统一考试天津数学（文）卷】 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）
(A) (B) 1 (C) 2 (D)
3.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】 设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则的方程为（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（A） y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=（x-1）
（C）y=（x-1）或y=（x-1） （D）y=（x-1）或y=（x-1）
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为
A. B.
C. D.
6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是_______.
7.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点. 若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为
.
8.（2012年高考辽宁卷文科7）将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是( )
（A）x+y-1=0 （B） x+y+3=0 （C）x-y+1=0 （D）x-y+3=0
9.(2012年高考浙江卷理科3)设aR，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10.(2012年高考湖北卷文科5)过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 ( )
A.x+y-2=0 B.y-1=0 C.x-y=0 D.x+3y-4=0
【方法总结】
(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．
(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
热点二 圆的方程和性质
11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 .
[答案]
[解析]由题意得圆心坐标为（2，y),半径r=1-y,则有则圆C的方程是
12.(2012年高考山东卷文科9)圆与圆的位置关系为( )
(A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
【答案】B
【解析】两圆的圆心分别为，，半径分别为，两圆的圆心距离为，则，所以两圆相交，选B.
13.(2012年高考新课标全国卷理科20)（本小题满分12分）
设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心，
为半径的圆交于两点；
（1）若，的面积为；求的值及圆的方程；
（2）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，
求坐标原点到距离的比值.
【方法总结】
1．利用圆的几何性质求方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2．利用待定系数法求圆的方程：(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程 组，从而求出D，E，F的值.
热点三 直线与圆的位置关系
14.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】 已知点在圆外, 则直线与圆的位置关系是（ ）
(A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定
16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】过点（，0）引直线ι与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线ι的斜率等于（ ）
A. B.- C. D-
17.(2012年高考广东卷文科8)在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆x²+y²=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A. B. C. D.1
18. (2012年高考天津卷理科8)设，，若直线与圆相切，则的取值范围是( )
（A） （Ｂ）
（Ｃ） （Ｄ）
19.(2012年高考陕西卷理科4)已知圆，过点的直线，则（ ）
（A）与相交 （B） 与相切 （C）与相离 （D） 以上三个选项均有可能
20.(2012年高考重庆卷理科3)对任意的实数k，直线y=kx+1与圆的位置关系一定是( )
A. 相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
21.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文科】已知圆：，直线：
（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .
22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科】过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为__________.
23.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科】直线被圆所截得的弦长等于__________.
24.(2012年高考江西卷文科14)过直线x+y-=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________.
25. (2012年高考天津卷文科12)设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为 .
.
26. （2012年高考江苏卷12）在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．
27.(2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
．
28.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在平面直角坐标系中，点，直线
，设圆的半径为1， 圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】已知圆的方程为，点是坐标原点.直线与圆交于、两点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）设是线段上的点，且.请将表示为的函数.
根据题意，点在圆内，则，所以，
于是与的函数关系为（）. ……………………13分
【方法总结】
1.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法
(1)代数法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d
r⇔相离.
2．圆的弦长的常用求法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝|x1－x2|＝.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
3．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上．然后设出切线方程，用待定系数法求解．注意斜率不存在情形.
【考点剖析】
一．明确要求
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
2.会求两直线的交点坐标．
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
4.掌握圆的标准方程和一般方程．
5.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
6.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
二．命题方向
1.两条直线的平行与垂直，点到直线的距离，两点间距离是命题的热点．对于距离问题多融入解答题中，注重考查分类讨论与数形结合思想．题型多为客观题，难度中低档.
2.求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标，半径是高考的热点，多与直线相结合命题，着重考查待定系数法求圆的方程，同时注意方程思想和数形结合思想的运用．多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题.
3.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点．多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中.
三．规律总结
一条规律
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：
一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.
两个防范
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．[来源:学§科§网]
(2)在运用两平行直线间的距离公式d＝时，一定要注意将两方程中的x，y系数化为分别相等．
三种对称
(1)点关于点的对称
点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．
(2)点关于直线的对称
设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点P′(x′，y′)，
则有可求出x′，y′.
(3)直线关于直线的对称
①若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；②若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线．
一种方法
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
两个防范
(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．
(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．
三个性质
确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上；
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
一条规律
过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可．
一个指导
直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法．
两种方法
计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法
运用根与系数关系及弦长公式
|AB|＝|xA－xB|
＝.
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
【考点模拟】
一．扎实基础
1.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试】 “”是“直线垂直”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知圆的一条切线是，则k=（ ）
A． B． C．或 D．
3.【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】已知两条直线，平行，则（ ）
A．-1 B．2
C．0或-2 D．-1或2
4.【2013年“江南十校”高三学生第二次联考（二模）测试】若双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A．2 B． C． D．
5.【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷文科数学】直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是（ ）
A． B． C． D．
线）之间.
6.【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】倾斜角为135°，在轴上的截距为的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 【2013年山东省日照市高三模拟考试】若PQ是圆的弦，PQ的中点是（1，2）则直线PQ的方程是( )
A. B.
C. D.
8.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试】圆：的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是 ．
9.【浙江省镇海中学2013年高三考前模拟】若圆C：与轴有公共点，则的取值范围是________.
10. 【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】已知圆C经过直线与坐标轴的两个交点，且经过抛物线的焦点，则圆C的方程为 ．
二．能力拔高
11.【2013年长春市高中毕业班第四次调研测试】已知直线：，若以点为圆心的圆与直线相切于点，且在轴上，则该圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12.【山东省烟台市2013届高三第一次模拟诊断性测试】已知抛物线y2 =2px（p>0）上一点M（1，m）（m>0）到其焦点F的距离为5，则以M为圆心且与y轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x－1）2+（y－4）2=1 B．（x－1）2+（y+4）2=1
C．（x－l）2+（y－4）2 =16 D．（x－1）2+（y+4）2=16
13.【山东省济南市2013届高三高考第一次模拟考试】已知直线与圆相交于两点，且 则 的值是（ ）
A． B． C． D．0
14.【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知⊙的半径等于，圆心是抛物线的
焦点，经过点的直线将⊙分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线的方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
15.【江西省南昌市2013届二模考试】已知点内任意一点，点是圆上任意一点，则实数（ ）
A.一定是负数 B.一定等于0
C.一定是正数 D.可能为正数也可能为负数
【答案】A
【解析】令，
，又因为小于1，所以必定是负数，故选A。
16.【山东省临沂市2013届高三5月高考模拟】若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值是（ ）
（A）4 （B） （C）2 （D）
17.【浙江省嘉兴市2013届高三4月教学测试】已知点和圆：，是圆的直径，和是的三等分点，（异于）是圆上的动点，于，，直线与交于，则当 时，为定值．
【答案】．
【解析】设，则，…①
…② 由①②得，
将代入，得．由，得到．
18．【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆＋＝4在区域D内的弧长为________．
【答案】
【解析】作出可行域D及圆＋＝4如图所示，图中阴影部分所在圆心角＝＋所对的弧长即为所求．易
19.【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】在直角坐标平面上，已知点A（0,2），B（0,1），D（t,0）（t>0）．点M是线段AD上的动点，如果|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值是 ．
20.【成都龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷】直线ax＋by＋c＝0与圆＋＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则· (O为坐标原点)等于________．
三．提升自我
21. 【江西省2013年四月高中毕业班新课程教学质量监测卷】直线ax+2by =1与圆x2 +y2 =1相交于A，B两点（其中a，b是实数），且ΔAOB是直角三角形（0是 坐标原点），则点P(a，b)与点Q(0，1)之间距离的最大值为
A . 3 B. C. D .
【答案】D[来源:学科网ZXXK]
【解析】由圆可知圆心为（0,0），半径为1，所以则是等腰直角三角形，得到
22. 【山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试】已知抛物线与圆有公共的切线，则_____.
23．【江苏省常州市金坛四中2013年高考数学冲刺模拟】已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标.
24.【扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0 < r < a),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q.
(1)若r=2,M点的坐标为(4,2),求直线PQ方程;
(2)求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.
25.【虹口区2013届高三一模】已知圆．
（1）直线：与圆相交于、两点，求；
（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（1）圆心到直线的距离．
圆的半径，．………………4分
（2），，则，，，．………………8分
：，得．
：，得．…………12分[来源:学科网]
………………14分[
【考点预测】
1. 已知直线,且于,为坐标原点,
则点的轨迹方程为 （ ）
A． B． C． D．
2. 已知P(x,y)是直线上一动点,PA,PB是圆
C:的两条切线, A． B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则的值为 （ ）
A．3 B． C． D．
3. 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为 ．
4. 已知集合,集合
,若,则实数可以取的一个值是 （ ）
A． B． C． D．
显然,,故只有A．项满足.
5. 圆的方程为，圆的方程，过上任意一点P作圆的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则∠MPN最大值为_____________.
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
