连城一中 2014-2015 学年第二学期第 1 次月考 高二(理)数学试卷

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连城一中 2014-2015 学年第二学期第 1 次月考 高二(理)数学试卷

连城一中 2014-2015 学年第二学期第 1 次月考 高二(理)数学试卷 (时间:120 分钟 总分:150 分) 一、选择题:(本大题共10 小题,每小题 5 分,共50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 复数 2 1 2 i i   的共轭复数是( ). A . 3 5 i B . 3 5 i C . i D .i 2. 在用反证法证明命题“已知  , , 0,2a b c  ,求证  2a b ,  2b c ,  2c a 不可能 都大于1”时,反证时假设正确的是( ) A .假设  2a b ,  2b c ,  2c a 都小于1 B .假设  2a b ,  2b c ,  2c a 都大于1 C .假设  2a b ,  2b c ,  2c a 都不大于1 D .以上都不对 3.如图,由函数   xf x e e  的图象,直线 2x  及 x 轴所围成的阴影部分面积等于( ) A . 2 2e e B . 2 2 1e e  C . 2 2 e e D . 2 2 1e e  4.函数    3 xf x x e  的单调递增区间是( ) A . ,2 B . 0,3 C . 1,4 D . 2, 5. 观察 2 ' 2x x , 4 3' 4x x , cos ' sinx x  ,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函 数  f x 满足    f x f x  ,记  g x 为  f x 的导函数,则  g x 等于( ) A .  f x B .  f x C .  g x D .  g x 6. 某外商计划在 4 个候选城市投资3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个, 则该外商不同的投资方案有( ) A .16种 B .36 种 C . 42 种 D . 60 种 7. 定义域 R 的奇函数  f x ,当  ,0x  时    ' 0f x xf x  恒成立,若  3 3a f ,  1b f ,  2 2c f   ,则( ) A . a c b  B . c b a  C . c a b  D . a b c  8. 给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集, R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a , b R ,则 0a b  ⇒ a b ”类比推出“若 a , b C ,则 0a b  ⇒ a b ”; ②“若 a ,b , c , d R ,则复数 a bi c di   ⇒ a c ,b d ”类比推出“若 a , b , c , d Q ,则 2 2a b c d   ⇒ a c , b d ”; ③“若 a , b R ,则 0a b  ⇒ a b ”类比推出“若 a , b C ,则 0a b  ⇒ a b ”.其中类比结论正确的个数是( ) A . 0 B .1 C . 2 D .3 9.如图,由若干圆点组成如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有 n ( 1n  , n N )个 点,每个图形总的点数记为 na ,则 2 3 3 4 4 5 2014 2015 9 9 9 9 a a a a a a a a      ( ) A . 2014 2015 B . 2013 2014 C . 3 2015 D . 9 2015 10. 设集合     1 2 3 4 5= , , , , | 1,0,1 , 1,2,3,4,5iA x x x x x x i   ,那么集合 A 中满足条件 “ 1 2 3 4 51 3x x x x x      ”的元素个数为( ) A .130 B .120 C .90 D . 60 二、填空题:(本大题共 5小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11. 如果复数   2 1m i mi  (其中 i 是虚数单位)是实数,则实数 m  ________. 12.  1 20 xe x dx  ________. 13. 用数字 2 ,3组成四位数,且数字 2 ,3 至少都出现一次,这样的四位数共有____________ 个.(用数字作答) 14. 观察下列等式 1 1 2 3 4 9   3 4 5 6 7 25     4 5 6 7 8 9 10 49       … 照此规律,第 n 个等式为_________________________________________________. 15. 下列四个命题中正确的有_______(填上所有正确命题的序号) ①若实数 a ,b , c 满足 3a b c   ,则 a ,b , c 中至少有一个不小于1; ②若 z 为复数,且 1z  ,则 z i 的最大值等于 2 。 ③任意  0,x  ,都有 sinx x ; ④定积分 2 2 0 4x dx     。 三、解答题:(本大题共 6 小题,共80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)已知复数 1z 满足  1 2 1 1z i i    (i 为虚数单位),复数 2z 的虚部为 2 ,且 1 2z z 是实数,求 2z . 17. (13 分)给定数字 0 、1、 2 、3、5 、9每个数字最多用一次。 (Ⅰ)可组成多少个四位数?(Ⅱ)可组成多少个四位奇数?(Ⅲ)可组成多少个四位偶数?(Ⅳ) 可组成多少个整数? 18.观察以下 5 个等式: 1 1   1 3 2   1 3 5 3     1 3 5 7 4     1 3 5 7 9 5       …… 照以上式子规律.......: (Ⅰ)写出第 6 个等式,并猜想第 n 个等式;( n N  ) (Ⅱ)用数学归纳法证明上述所猜想的第 n 个等式成立。( n N  ) 19. (13 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN ,要求 M 在 AB 的延长线上, N 在 AD 的延长线上,且对角线 MN 过C 点。已知 3AB  米, 2AD  米。设 xAN  (单位:米),若 )4,3[x (单位:米),则当 AM , AN 的长度分别是多少 时,花坛 AMPN 的面积最大?并求出最大面积。 A B C D M N P 20. (14 分)在 ABC 中,三个内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c , 若 1 1 3 a b b c a b c      , (Ⅰ)求证: 1c a a b b c    ; (Ⅱ)试问 , ,A B C 是否成等差数列,若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列,请给出 证明. (Ⅲ)若 3b  ,sin 2sinC A ,求 a , c 的值. 21. (14 分)已知函数   2 lnxf x a x x a   ,( 1a  ). (Ⅰ)求证:函数  f x 在 (0, )  上单调递增;函数  f x 在 ( , 0) 上单调递减; (Ⅱ)若关于 x 的方程   1f x m  有四个不同的实数根,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)比较  1f 与  1f  大小. 2014-2015 学年第二学期第 1 次月考高二(理)数学参考答案: 一、选择题: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D D D A C B A 二、填空题: 11. 1 12. e 13.14 14.      21 3 2 2 1n n n n       15.①②③④ 三、解答题: 16. 解:  1 2 1 1z i i    ⇒ 1 2z i  .(4 分) 设 2 2z a i  , a R ,则       1 2 2 2 2 2 4z z i a i a a i        .(8 分) ∵ 1 2z z R  ,∴ 4a  。∴ 2 4 2z i  .(13 分) 17. 解:(Ⅰ) 组成的四位数有: 1 3 5 5 300A A  个。 …………3 分 (Ⅱ) 组成的四位奇数有: 1 1 2 4 4 4 192A A A  个。 …………6 分 (Ⅲ) 组成的四位偶数有: 3 1 2 5 4 4 108A A A  个。…………9 分 (Ⅳ)六位数: 1 5 5 5 600A A  ;五位数: 1 4 5 5 600A A  ;四位数: 1 3 5 5 300A A  ; 三位数: 1 2 5 5 100A A  ;二位数: 1 1 5 5 25A A  ;一位数: 1 6 6A  。 ∴组成的整数共有: 6 25 100 300 600 600 1631      个。…………13 分 18. 解:(Ⅰ)第 6 个等式为 1 3 5 7 9 11 6       ………………(2 分) 第 n 个等式为      1 3 5 7 1 2 1 1n nn n          ……(5 分) (Ⅱ)下面用数学归纳法给予证明:      1 3 5 7 1 2 1 1n nn n          (1)当 1n  时,由已知得原式成立; ……………………………………(6 分) (2)假设当 n k 时,原式成立, 即      1 3 5 7 1 2 1 1k kk k          …………………(7 分) 那么,当 1n k  时,左边        11 3 5 7 1 2 1 1 2 1k kk k                         1 1 11 1 2 1 1 2 1 1 1k k k kk k k k k               。 故 1n k  时,原式也成立。…………………(12 分) 由(1)(2)知,      1 3 5 7 1 2 1 1n nn n          成立。………(13 分) 19. 解: A B C D M N P 由于 DN DC AN AM  ,则 3 2 xAM x   ,故 23 2AMPN xS AN AM x     …………3 分 令 23 2 xy x   ,则         2 2 2 6 2 3 3 4' 2 2 x x x x xy x x       …………7 分 因为当  3,4x 时, ' 0y  ,所以函数 3 2 xy x   在 3,4 上为单调递减函数,10 分从而 当 3x  时 3 2 xy x   取得最大值,即花坛 AMPN 的面积最大 27 平方米,此时 3AN  米, 9AM  米 …………13 分 20. 解:(Ⅰ)∵ 1 1 3 a b b c a b c      ,∴ 3a b c a b c a b b c       .(3 分) ∴ 1c a a b b c    ,(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得:       c b c a a b a b b c      ,∴ 2 2 2b a c ac   .(7 分) 在 ABC 中,由余弦定理,得 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac     ,(8 分) ∵ 0 180B    ,∴ 60B  .(9 分) ∴ 2 120A C B    .∴ , ,A B C 成等差数列.(10 分) (Ⅲ)sin 2sinC A ,由正弦定理得 2c a , 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ,即 2 29 4 2 2 cos 3a a a a     , 解得 3a  ,所以 2 2 3c a  。(14 分) 21.解:(Ⅰ)    ' ln 2 ln 1 ln 2x xf x a a x a a a x      , 当  0,x  时, 2 0x  。又 1a  ,∴ 1 0xa   , ln 0a  , ∴    ' 1 ln 2 0xf x a a x    ,∴函数  f x 在  0, 上单调递增. 当  ,0x  时, 2 0x  , 1 0xa   , ln 0a  , ∴    ' 1 ln 2 0xf x a a x    ,∴函数  f x 在  ,0x  上单调递减。……(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,  f x 的最小值为  0 1f  。 由   1f x m  知,   1f x m  或   1f x m  。 ∵   1f x m  有四个不同的实数根,且  f x 在  ,0 上单调递减,值域为  1, ;  f x 在 0, 上单调递增,值域为 1, 。 ∴ 1 1m   ,且 1 1m   ,即 2m  。 ∴ m 的取值范围为 2, 。…………(10 分) (Ⅲ)∵ 1a  时,     1 11 1 1 ln 1 ln 2lnf f a a a a aa a               , 设   1 2lng a a aa    ,则    22 2 2 2 11 2 2 1' 1 0aa ag a a a a a        。 ∴  g a 在 1, 上为增函数, ∴ 1a  时,    1 1 1 2ln1 0g a g     。 ∴ (1) ( 1)f f  。…………(14 分)
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