高二数学人教A版选修4-5教案：3-3排序不等式x

高二数学人教A版选修4-5教案：3-3排序不等式x

‎3.3排序不等式 一、教学目标 ‎1．了解排序不等式的数学思想和背景．‎ ‎2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 ‎1．了解排序不等式的数学思想和背景．‎ ‎2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．‎ 四、教学难点 ‎1．了解排序不等式的数学思想和背景．‎ ‎2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．‎ ‎【解析】　取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.‎ 所以最少花费为19元，最多花费为25元．‎ ‎【答案】　19　25‎ ‎（二）讲授新课 教材整理1　顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和 为顺序和，和 为乱序和，相反顺序相乘所得积的和 称为反序和．‎ 教材整理2　排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则 ≤ ≤ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为 ≤ ≤顺序和．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)‎ 例1已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：‎ ‎(1)≥≥；‎ ‎(2)＋＋≥＋＋.‎ ‎【精彩点拨】　由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．‎ ‎【自主解答】　(1)∵a≥b>0，于是≤.‎ 又c>0，∴>0，从而≥，‎ 同理，∵b≥c>0，于是≤，‎ ‎∴a>0，∴>0，于是得≥，‎ 从而≥≥.‎ ‎(2)由(1)知≥≥>0且a≥b≥c>0，‎ ‎∴≥≥，a2≥b2≥c2.‎ 由排序不等式，顺序和≥乱序和得 ＋＋≥＋＋＝＋＋＝＋＋，‎ 故＋＋≥＋＋.‎ 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．本例题中条件不变，求证：＋＋≥＋＋.‎ ‎【证明】　∵a≥b≥c≥0，‎ ‎∴a5≥b5≥c5，‎ ≥≥＞0.‎ ‎∴≥≥，‎ ‎∴≥≥，由顺序和≥乱序和得 ＋＋≥＋＋ ‎＝＋＋，‎ ‎∴＋＋≥＋＋.‎ 题型二、字母大小顺序不定的不等式证明 例2设a，b，c为正数，求证：＋＋≤＋＋.‎ ‎【精彩点拨】　(1)题目涉及到与排序有关的不等式；‎ ‎(2)题目中没有给出a，b，c的大小顺序．解答本题时不妨先设定a≤b≤c，再利用排序不等式加以证明．‎ ‎【自主解答】　不妨设00，则x2≥y2≥z2，≥≥.‎ 由排序不等式，乱序和≥反序和．‎ ＋＋ ‎≥x2·＋y2·＋z2· ‎＝x＋y＋z.‎ 又x＋y＋z＝1，＋＋≥1，‎ 当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．‎ 故t＝＋＋的最小值为1.‎ 题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题 例4　若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min和30 min，每台电脑耽误1 min，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？‎ ‎【精彩点拨】　这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t1 min时，三台电脑等候维修的总时间为3t1 min，依此类推，等候的总时间为3t1＋2t2＋t3 min，求其最小值即可．‎ ‎【自主解答】　设t1，t2，t3为25,30,45的任一排列，‎ 由排序原理知3t1＋2t2＋t3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，‎ 所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．‎ 规律总结：‎ ‎1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．‎ ‎2．三台电脑的维修时间3t1＋2t2＋t3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．‎ ‎[再练一题]‎ ‎4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？‎ ‎【解】　根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．‎ 即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min依次等水，等待的总时间最少．‎ ‎（四）归纳小结 排序不等式— ‎（五）随堂检测 ‎1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是(　　)‎ A．M>N B．M≥N C．MQ B．P≥Q C．P

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