2020届高考数学大二轮复习层级二专题三数列第1讲等差数列等比数列课时作业
第1讲 等差数列、等比数列
限时45分钟 满分74分
一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
1．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
解析：A [设{an}的公差为d，则解得a1＝－3，d＝2.
∴an＝－3＋(n－1)·2＝2n－5，
Sn＝－3n＋×2＝n2－4n，故选A.]
2．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是( )
A．0
1
C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7
解析：AD [本题考查等比数列的性质及前n项积的最值．
∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，a8<1，
∴01,01，a8<1，∴T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．故选AD.]
3．(2020·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩未一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A．6斤 B．9斤
C．9.5斤 D．12斤
解析：A [依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，故选A.]
4．(2020·荆州质检)已知数列{an}满足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a
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7＋a9)等于( )
A．－3 B．3
C．－ D.
解析：A [∵5an＋1＝25·5an＝52＋an，
∴an＋1＝an＋2，
∴数列{an}是等差数列，且公差为2.
∵a2＋a4＋a6＝9，
∴3a4＝9，a4＝3.
∴log(a5＋a7＋a9)＝log3a7＝log3(a4＋6)＝log27＝－3.]
5．(2020·豫西五校联考)在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15＞0，S16＜0，则在，，…，中最大的是( )
A. B.
C. D.
解析：B [由于S15＝＝15a8＞0，
S16＝＝8(a8＋a9)＜0，
可得a8＞0，a9＜0.
这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，
而0＜S1＜S2＜…＜S8，a1＞a2＞…＞a8＞0，
所以在，，…，中最大的是.
故选B.]
6．(2020·洛阳联考)数列{an}是以a为首项，b为公比的等比数列，数列{bn}满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1,2，…)，数列{cn}满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若{cn}为等比数列，则a＋b等于( )
A. B．3
C. D．6
解析：B [由题意知，当b＝1时，{cn}不是等比数列，
所以b≠1.由an＝abn－1，
得bn＝1＋＝1＋－，
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则cn＝2＋n－·
＝2－＋n＋，
要使{cn}为等比数列，必有
得a＋b＝3.]
7．(2020·重庆二调)已知a1，a2，a3，a4依次成等比数列，且公比q不为1，将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则正数q的值是( )
A. B.
C. D.
解析：B [因为公比q不为1，所以删去的数不是a1，a4.①若删去a2，则由2a3＝a1＋a4得2a1q2＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q2＝1＋q3，整理得q2(q－1)＝(q－1)(q＋1)．又q≠1，所以q2＝q＋1，又q＞0，得q＝；②若删去a3，则由2a2＝a1＋a4得2a1q＝a1＋a1q3，又a1≠0，所以2q＝1＋q3，整理得q(q＋1)(q－1)＝q－1.又q≠1，则可得q(q＋1)＝1，又q＞0，得q＝.
综上所述，q＝，故选B.]
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
8．(2020·资阳诊断)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10值为________．
解析：依题意得an＝2＋(n－1)×1＝n＋1，bn＝1×2n－1＝2n－1，abn＝bn＋1＝2n－1＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(20＋1)＋(21＋1)＋…＋(29＋1)＝＋10＝210＋9＝1 033.
答案：1 033
9．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝____________，Sn的最小值为____________．
解析：本题考查等差数列的通项公式、求和公式、等差数列的性质，难度不大，注重重要知识、基础知识、基本运算能力的考查．
等差数列{an}中，S5＝5a3＝－10，得a3＝－2，a2＝－3，公差d＝a3－a2＝1，a5＝a3＋2d＝0，由等差数列{an}的性质得n≤5时，an≤0，n≥6时，an大于0，所以Sn的最小值为S4或S5，即为－10.
答案：(1)0 (2)－10
10．(2019·益阳三模)设等差数列{an}的各项均为整数，其公差d≠0，a5＝6，若a3，a5，
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am(m＞5)是公比为q(q＞0)的等比数列，则m的值为________．
解析：由a3am＝a，(6－2d)[6＋(m－5)d]＝36，
得－2d[(m－5)d－3m＋21]＝0
∵d≠0，∴(m－5)d－3m＋21＝0，
∴d＝＝3－
由m＞5，m，d∈Z知m－5为6的正约数
∴m－5可取1,2,3,6
当m－5＝1，m＝6时，d＝－3，
q＝＝＝，
当m－5＝2，m＝7时，d＝0，不合题意，
当m－5＝3，m＝8时，d＝1，q＝
当m－5＝6，m＝11时，d＝2，q＝3，故m的值为6,8或11.
答案：6,8或11
三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)
11．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
∵a2＋a3＝5ln 2，
∴a1＋d＋a1＋2d＝5ln 2，
∵a1＝ln 2，∴d＝ln 2，
∵等差数列{an}中an＝a1＋(n－1)d＝nln 2，
∴an＝nln 2，n∈N*.
(2)由(1)知an＝nln 2，
∵ean＝enln 2＝eln2n＝2n，
∴{ean}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴ea1＋ea2＋…＋ean
＝eln 2＋eln 22＋…＋eln 2n
＝2＋22＋…＋2n
＝
＝2n＋1－2
∴所求为ea1＋ea2＋…ean＝2n＋1－2，n∈N*.
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12．(2019·潍坊三模)设数列{an}的各项为正实数，bn＝log2an，若数列{bn}满足b2＝0，bn＋1＝bn＋log2p，其中p为正常数，且p≠1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若p＝2，设数列{cn}对任意的n∈N*，都有c1bn＋c2bn－1＋c3bn－2＋…＋cnb1＝－2n成立，问数列{cn}是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．
解析：(1)因为bn＋1＝bn＋log2p，所以bn＋1－bn＝log2p，
所以数列{bn}是以log2p为公差的等差数列，
又b2＝0，所以bn＝b2＋(n－2)(log2p)＝log2pn－2，
故由bn＝log2an，得an＝2bn＝2log2pn－2＝pn－2.
(2)因为p＝2，由(1)得bn＝n－2，
所以c1(n－2)＋c2(n－3)＋c3(n－4)＋…＋cn(－1)＝－2n，①
则c1(n－1)＋c2(n－2)＋c3(n－3)＋…＋cn＋1(－1)＝－2(n＋1)，②
由②－①，得c1＋c2＋c3＋…＋cn－cn＋1＝－2，③
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＋cn＋1－cn＋2＝－2，④
再由④－③，得2cn＋1＝cn＋2，
即＝2(n∈N*)，
所以当n≥2时，数列{cn}成等比数列，
又由①式，可得c1＝2，c2＝4，则＝2，
所以数列{cn}一定是等比数列，且cn＝2n.
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