2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章 第2节 等差数列及其前n项和

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章 第2节 等差数列及其前n项和

www.ks5u.com 多维层次练29‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．4 D．8‎ 解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，‎ 依题意解得d＝4.‎ 法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，‎ 则a1＋a6＝16＝a2＋a5，‎ 又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，‎ 所以d＝4，故选C.‎ 答案：C ‎2．(2020·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝(　　)‎ A．60 B．56 ‎ C．12 D．4‎ 解析：因为在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，所以a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝4，(a3＋a7)2－a5＝(2a5)2－a5＝64－4＝60.‎ 答案：A ‎3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S3＝6，则S2n＋1＝(　　)‎ A．(2n＋1)(n＋1) B．(2n＋1)(n－1)‎ C．(2n－1)(n＋1) D．(2n＋1)(n＋2)‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则2a1＋d＝3，3a1＋3d＝6，‎ 所以a1＝d＝1，则an＝1＋(n－1)×1＝n.‎ 因此S2n＋1＝＝(2n＋1)(n＋1)．‎ 答案：A ‎4．(2020·宜昌一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则(　　)‎ A．a7＝0 B．|a7|＝|a8|‎ C．|a7|>|a8| D．|a7|<|a8|‎ 解析：因为公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，‎ 所以S9>S8，所以S80，‎ 所以a7<0，a7＋a8>0，|a7|<|a8|.‎ 答案：D ‎5．中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是(　　)‎ A．174斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤 解析：用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的棉数，‎ 由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8‎ 项的和为996，‎ 所以8a1＋×17＝996，‎ 解得a1＝65.‎ 所以a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤．‎ 答案：B ‎6．(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．‎ 解析：设数列{an}的公差为d，‎ 则 解得a1＝－5，d＝2，‎ 所以S8＝8×(－5)＋×2＝16.‎ 答案：16‎ ‎7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．‎ 解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.‎ 答案：200‎ ‎8．在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________．‎ 解析：根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，‎ ‎2a1＋2a13＝4a7＝2π，‎ 所以有sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝‎ sin 2a1＋sin(2π－2a1)＋cos a1＋cos(π－a1)＝0.‎ 答案：0‎ ‎9．各项均不为0的数列{an}满足＝an＋2an，且a3＝2a8＝.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}的通项公式为bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎(1)证明：依题意得，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，可得＋＝，故数列是等差数列．‎ 设数列的公差为d.‎ 因为a3＝2a8＝，所以＝5，＝10，‎ 所以－＝5＝5d，即d＝1，‎ 故＝＋(n－3)d＝5＋(n－3)×1＝n＋2，‎ 故an＝.‎ ‎(2)解：由(1)可知bn＝＝·＝，‎ 故Sn＝＝.‎ ‎10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项公式bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.‎ 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.‎ ‎(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，‎ 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·珠海联考)已知数列{an}中，a1＝1，＝，则数列{an}(　　)‎ A．既非等差数列，又非等比数列 B．既是等差数列，又是等比数列 C．仅为等差数列 D．仅为等比数列 解析：数列{an}中，＝，则＝(n≥2)，‎ 则Sn＝××…××S1＝××…××1＝n(n≥2)，当n＝1时，S1＝a1＝1符合，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1，当n＝1时，a1＝1符合，故an＝1(n∈N*)，‎ 则数列{an}为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列．‎ 答案：B ‎12．(2019·北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．‎ 解析：设等差数列{an}的公差为d，因为a2＝－3，S5＝－10，‎ 所以 即得 所以a5＝a1＋4d＝0，Sn＝na1＋d＝－4n＋＝‎ (n2－9n)＝－，‎ 因为n∈N*，所以n＝4或n＝5时，Sn取最小值，最小值为－10.‎ 答案：0　－10‎ ‎13．已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d.对任意的n∈N*，bn是an和an＋1的等比中项．‎ ‎(1)设cn＝b－b，n∈N*，求证：数列{cn}是等差数列；‎ ‎(2)设a1＝d，Tn＝ (－1)kb，n∈N*，求证： <.‎ 证明：(1)由题意得b＝anan＋1，有cn＝b－b＝an＋1·an＋2－anan＋1＝2dan＋1，因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，‎ 所以{cn}是等差数列．‎ ‎(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)‎ ‎＝2d· ‎＝2d2n(n＋1)．‎ 所以 ＝ ＝ ＝‎ ·<.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝24，则(　　)‎ A．a6＋a7＝4 B．a6＋a7＝12‎ C．a6a7≥4 D．a6a7≤4‎ 解析：在等差数列{an}中，因为S12＝6(a6＋a7)＝24，‎ 所以a6＋a7＝4.‎ 又a6>0，a7>0，所以a6a7≤＝4，当且仅当a6＝a7＝2时，“＝”成立．故选AD.‎ 答案：AD