专题06 数列-备战2021年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

专题06 数列-备战2021年高考数学（文）之纠错笔记系列（原卷版）

1 易错点 1 忽略了 n 的取值 已知数列{ }na 满足 3 1 2 3 = ( )na a a a n n *NL ，求数列{ }na 的通项公式 na ． 【错解】由 3 1 2 3 =na a a a nL ，可得 3 1 2 3 1=( 1) ,na a a a n L 两式相除可得 3 3= ( 1)n na n  ． 【错因分析】 3 1 2 3 1=( 1)na a a a n L 仅适用于 n *N 且 2n  时的情况，故不能就此断定 3 3= ( 1)n na n  就是 数列{ }na 的通项公式． 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法 (1)形如 an＋1＝anf(n)，常用累乘法，即利用恒等式 an＝a1·a2 a1 ·a3 a2 ·…· an an－1 求通项公式． (2)形如 an＋1＝an＋f(n)，常用累加法．即利用恒等式 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)求通项公式． (3)形如 an＋1＝ban＋d(其中 b，d为常数，b≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造 an＋1＋x＝b(an＋ x)(其中 x＝ d b－1 )，则{an＋x}是公比为 b的等比数列，利用它即可求出 an. (4)形如 an＋1＝ pan qan＋r (p，q，r是常数)的数列，将其变形为 1 an＋1 ＝ r p · 1 an ＋ q p . 若 p＝r，则 1 an 是等差数列，且公差为 q p ，可用公式求通项； 若 p≠r，则采用(3)的办法来求． (5)形如 an＋2＝pan＋1＋qan(p，q 是常数，且 p＋q＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为 an＋2－an＋1＝ (－q)·(an＋1－an)，则{an－an－1}(n≥2，n∈N*)是等比数列，且公比为－q，可以求得 an－an－1＝f(n)，然后用累 2 加法求得通项． (6)形如 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)的式子， 由 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝f(n)，① 得 a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝f(n－1)，② 再由①－②可得 an. (7)形如 an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成 an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得 an＋2－an＝f(n＋1) －f(n)，然后按奇偶分类讨论即可． (8)形如 an·an＋1＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成 an＋2·an＋1＝f(n＋1)，两式作商可得 2 ( 1) ( ) n n a f n a f n    ，然 后分奇、偶讨论即可． (9)an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)型，将方程的两边同时除以 an＋1an，可构造一个等差数列． 具体步骤：对 an＋1－an＝qan＋1an(q≠0)两边同时除以 an＋1an，得到 1 an － 1 an＋1 ＝q，即 1 an＋1 － 1 an ＝－q， 学￥科网 令 bn＝ 1 an ，则{bn}是首项为 1 a1 ，公差为－q的等差数列. (10)an＝parn－1(n≥2，p>0)型，一般利用取对数构造等比数列． 具体步骤：对 an＝pa rn－1两边同取常用对数，得到 lg an＝rlg an－1＋lg p，令 bn＝lg an，则{bn}可归为 an＋1＝pan ＋q(p≠0,1，q≠0)型. 1．数列 na 的前 n项和 nS 满足 2 3 2nS n n   ，则数列 na 的通项公式为_____________. 【答案】 0, 1 2 4, 2n n a n n      【名师点睛】本题考查的知识点是数列的通项公式，其中正确理解由数列的前 n项和 Sn，求通项公式的 3 易错点 2 忽略数列中为 0 的项 设等差数列  na 的前 n 项和为 nS ，公差为 d，且满足 1 0a  ， 11 18S S ，则当 nS 最大时， n  __________． 【错解】由 11 18S S ，得 1 1 11 10 18 1711 + 18 2 2 a d a d    ，即 1= 14a d ，由 1 0a  可知 0d  ，解不等 式组 1 1 1 ( 1) 0 , 0 n n a a n d a a nd         即 14 ( 1) 0 , 14 0 d n d d nd        得14 15n  ．又 n *N ，故当 15n  时 nS 最大． 【错因分析】由于 15 0a  ，所以 14 15S S ，当 14n  或 15n  时 nS 最大，错解中忽略了数列中为 0的项． 【试题解析】 【正解 1】由 11 18S S ，得 1 1 11 10 18 1711 + 18 2 2 a d a d    ，即 1= 14a d ，由 1 0a  可知 0d  ，解不等式组 1 1 1 ( 1) 0 , 0 n n a a n d a a nd         即 14 ( 1) 0 , 14 0 d n d d nd        得14 15n  ．故当 14n  或 15n  时 nS 最大． 【正解 2】由 11 18S S ，可得 1= 14a d ，所以 2( 1) 2914 ( ) 2 2 2n n n dS dn d n       841 8 d ，由 n *N 并结合 nS 对应的二次函数的图象知，当 14n  或 15n  时 nS 最大． 【正解 3】由 11 18S S ，得 12 13 14 15 16 17 18 0a a a a a a a       ，即 157 =0a ， 15=0a ，由 1 0a  可知 0d  ， 故当 14n  或 15n  时 nS 最大． 数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题 4 1．等差数列的前 n项和与函数的关系 等差数列的前 n项和公式为 1 ( 1) 2n n nS na d   可变形为 Sn＝ d 2 n2＋ a1－d 2 n，令 A＝d 2 ，B＝a1－ d 2 ，则 Sn＝An2＋Bn. 当 A≠0，即 d≠0时，Sn是关于 n的二次函数，(n，Sn)在二次函数 y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线 y＝Ax2 ＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前 n项和 Sn的最值问题． 2．等差数列前 n项和的最值 (1)若等差数列的首项 a1>0，公差 d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前 n项和有最大值，且满 足 an≥0， an＋1≤0. (2)若等差数列的首项 a1<0，公差 d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前 n项和有最小值，且满 足 an≤0， an＋1≥0. 学科……网 3．求等差数列前 n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前 n项和的最值，但要注意 n∈N*. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定 n的值，使 Sn取得最值． (3)项的符号法：当 a1>0，d<0 时，满足 an≥0， an＋1≤0 的项数 n，使 Sn取最大值；当 a1<0，d>0时，满足 an≤0， an＋1≥0 的项数 n，使 Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使 Sn取最值的 n有 两个． 4．在等差数列 na 中，若 1 0a  ， ( )p qS S p q  ，则（1） p q 为偶数当 2 p qn   时 nS 最大；（2） p q 为奇数当 1 2 p qn    或 1 2 p q  时 nS 最大． 2．等差数列 na 中， 1 2a  ， 10 15S  ，记 2 4 8 2nnB a a a a     ，则当 n __________时， nB 取得 最大值. 【答案】4 【解析】在等差数列 na 中， 1 2a  ， 10 15S  ， 10 1 10 910 15 2 S a d     ，即 20 45 15d  ， 45 5d   ， 1 9 d   ，  1 1 192 1 9 9 9na n n      ，由 1 19 0 9 9na n    ，得 19n  ，即 19 0a  ， 当 19n  时， 0na  ，当 19, 0nn a  ，因此在 2 4 8 2 , , , na a a a 中，当 4n  时， 2 0na  ，当 5n  时， 5 错点 3 忽视奇数项或偶数项的符号 在等比数列{ }na 中， 2 4 6 8 25a a a a  ，求 1 9a a 的值. 【错解】因为{ }na 为等比数列，所以 1 9 2 8 4 6a a a a a a  ，由 2 4 6 8 25a a a a  可得 2 1 9( ) 25a a  ，故 1 9 5a a   . 【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件． 【试题解析】因为 na 为等比数列，所以 1 9 2 8 4 6a a a a a a  ，由 2 4 6 8 25a a a a  可得 2 1 9( ) 25a a  ，故 1 9a a  5 ．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以 1 9 0a a  ，所以 1 9 5a a  ． 1．特别注意 q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况． 2．由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证 a1≠0. 3．在运用等比数列的前 n项和公式时，必须注意对 q＝1与 q≠1分类讨论，防止因忽略 q＝1这一特殊情形 而导致解题失误． 4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比 q＝－1且 n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等 比数列；当 q≠－1或 q＝－1且 n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n －S2n)总成立． 3．已知等比数列 na 中， 2 3 4 6 7 81, 64a a a a a a  ，则 5a  A． 2 B．−2 C．2 D．4 6 【答案】C 【解析】因为等比数列 na 中， 2 3 4 6 7 81, 64a a a a a a  ，所以 3 3 3 71, 64a a  ，所以 3 71, 4a a  ， 因此 2 5a = 3 7 4a a  ，因为 5a ， 3a 同号，所以 5 2.a  故选 C. 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方 法.性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地 去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 应用等比数列性质时的注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若 m＋n＝p＋q，则 am·an ＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而 不求思想的运用. 易错点 4 忽视 q=1 致错 在数列{ }na 中，若 2 ( 0)n n na m m m   ，求{ }na 的前 n项和 nS ． 【错因分析】错解在进行等比数列求和时忽略了对公比是否等于 1的讨论；此外，还需讨论相关数列是否 为等比数列. 【试题解析】当 1m  时， 0na  ，所以 0nS  ； 7 当 1m   时， 2 1m  ，所以 (1 ) 1 ( 1) 1 2 n n n m mS n n m         ； 当 1m   时， 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 1 n n n m m m mS m m       ． 综上， 2 2 2 0, 1 1 ( 1) , 1 2 (1 ) (1 ) , 1 1 1 n n n n m S n m m m m m m m m                   . 1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． 2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1的式子应进行合并． 3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项． 4．各项均为正数的数列 na 的首项 1 1a   ，前 n项和为 nS ，且 2 1 1n n nS S a   . （1）求 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足 n n nb a ，求 nb 的前 n项和 nT . 【答案】（1） n na   ；（2）   2 2 , 1 2 1 , 0, 1 11 n nn n n T n                  . 所以 1 0n na a   ，且 0  ， 8 所以 1 1 n na a    ． 由①知， 2 2 1 2S S a  ，即 2 1 2 22a a a  ， 又因为 1 1a   ， 学￥科网 综上，数列 nb 的前 n项和   2 2 , 1 2 1 , 0, 1 11 n nn n n T n                  ． 【名师点睛】（1）本题主要考查数列前 n项和公式，考查等差数列的通项的求法，考查错位相减求和， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. （2）数列 ·n nb c ，其中 nb 是等差数列， nc 是等比数列，则采用错位相减法. 9 1.数列求和，一般应从通项入手，若通项未知，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或 具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和． 2.解决非等差、非等比数列的求和，主要有两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减 来完成； (2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1项，通常也叫做首项，排在第 二位的数称为这个数列的第 2项……排在第 n位的数称为这个数列的第 n项．所以，数列的一般形式可 以写成 1 2 3, , , , , ,na a a aL L 简记为 na ． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个 数 有穷数列 项数有限的数列，如数列 1，2，3，4，5，7，8，9，10 无穷数列 项数无限的数列，如数列 1，2，3，4，… 按项的变 化趋势 递增数列 从第 2项起，每一项都大于它的前一项，如数列 1，3，5，7，9，… 递减数列 从第 2项起，每一项都小于它的前一项，如数列 10，9，8，7，6，5，… 常数列 各项都相等的数列，如数列 2，2，2，2，… 摆动数列 从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如 1，2，1，2 按项的有 界性 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，… 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如 2，4，6，8，10，… 3．数列的表示方法 （1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法， ①通项公式：如果数列 na 的第 n项与序号 n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式，即 ( )na f n ． 10 ②递推公式：如果已知数列 na 的第一项(或前几项)，且任一项 na 与它的前一项 1na  (或前几项)间的 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标， 相应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 4．数列的前 n项和与通项的关系 数列的前 n项和通常用 nS 表示，记作 1 2n nS a a a    ，则通项 1 1, 2n n n S a S S n      ． 若当 2n  时求出的 na 也适合 1n  时的情形，则用一个式子表示 na ，否则分段表示． 5．等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式 1 ( 1)na a n d   ，可得 1( )na dn a d   ． 令 p d ， 1q a d  ，则 na pn q  ，其中 p， q为常数． （1）当 0p  时， ( , )nn a 在一次函数 y px q  的图象上，数列{ }na 的图象是直线 y px q  上均匀 分布的一群孤立的点，且当 0d  时数列{ }na 为递增数列，当 0d  时数列{ }na 为递减数列． （2）当 0p  时， na q ，等差数列为常数列，数列{ }na 的图象是平行于 x轴的直线（或 x轴）上均 匀分布的一群孤立的点． 6．等差数列的前 n项和 首项为 1a ，末项为 na ，项数为 n的等差数列{ }na 的前 n项和公式： 1 1 ( ) ( 1)= = 2 2 n n n a a n nS na d   ． 令 2 dp  ， 1 2 dq a  ，可得 2 nS pn qn  ，则 ①当 0p  ，即 0d  时， nS 是关于 n的二次函数，点 ( , )nn S 是函数 2=y px qx 的图象上一系列孤立 的点； ②当 0p  ，即 0d  时， nS 是关于 n的一次函数 ( 0q  ，即 1 0)a  或常函数 ( 0q  ，即 1 0)a  ， 点 ( , )nn S 是直线 y qx 图象上一系列孤立的点． 我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前 n项和的相关问题． 7．用前 n项和公式法判定等差数列 等差数列的前 n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列{ }na 的前 n 项和 2 nS an bn c   ，那么当且仅当 0c  时，数列{ }na 是以 a b 为首项， 2a为公差的等差数列； 当 0c  时，数列{ }na 不是等差数列． 11 8．等差数列的常用性质 由等差数列的定义可得公差为 d 的等差数列 na 具有如下性质： （1）通项公式的推广： ( )n ma a n m d   ， ,m n *N ． （2）若m n p q   ，则 qpnm aaaa  ( , )m n, p,q *N ． 特别地，①若 2m n p  ，则 2m n pa a a  ( , )m n, p *N ； ②若m n t p q r     ，则 m n t p q ra a a a a a     ( , )m n, p,q,t,r  *N ． ③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 1 2 1 1 .n n i n ia a a a a a        L L （3）下标成等差数列的项 2, , ,k k m k ma a a  L 组成以 md为公差的等差数列． （4）数列 ( ,nta t  是常数 )是公差为 td的等差数列． （5）若数列 nb 为等差数列，则数列 n nta b ( ,t 是常数 )仍为等差数列． （6）若 ,p qa q a p  ，则 0p qa   ． 9．与等差数列各项的和有关的性质 利用等差数列的通项公式及前 n项和公式易得等差数列的前 n项和具有如下性质： 设等差数列 na （公差为 d）和 nb 的前 n项和分别为 ,n nS T ， （1）数列{ }nS n 是等差数列，首项为 1a ，公差为 1 2 d． （2） 2 3 2 ( 1), , , , ,k k k k k mk m kS S S S S S S   L L 构成公差为 2k d 的等差数列． （3）若数列 na 共有 2n项，则 S S nd 奇偶 ， 1 n n S a S a  奇 偶 ． （4）若数列 na 共有 2 1n 项，则 S S 奇 偶 na ， ( , 1 n S n S na S n    奇 奇 偶 ( 1) )nS n a  偶 ． （5） 2 1 2 1 n n n n S a T b    ， 2 1 2 1 2 1 2 1 m m n n S am T n b       ． 10．等比数列的性质 若数列 na 是公比为 q的等比数列，前 n项和为 nS ，则有如下性质： 12 （1）若m n p q   ，则 m n p qa a a a ；若 2m n r  ，则 2( , )m n ra a a m n, p,q,r  *N ． 推广： 1 2 1 1 ;n n i n ia a a a a a    ① L L ②若m n t p q r     ，则 m n t p q ra a a a a a ． （2）若 , ,m n p成等差数列，则 , ,m n pa a a 成等比数列． （3）数列 ( 0)na   仍是公比为q的等比数列； 数列 1{ } na 是公比为 1 q 的等比数列； 数列 | |na 是公比为 | |q 的等比数列； 若数列 nb 是公比为 q'的等比数列，则数列 n na b 是公比为 qq'的等比数列． （4） 2 3, , , ,k k m k m k ma a a a   L 成等比数列，公比为 mq ． （5）连续相邻 k项的和（或积）构成公比为 (kq 或 2 )kq 的等比数列． （6）当 1q  时， n m S n S m  ；当 1q   时， 1 1 n n m m S q S q    ． （7） m n n m m n n mS S q S S q S     ． （8）若项数为 2n，则 S q S 偶 奇 ，若项数为 2 1n ，则 1S a q S  奇 偶 ． （9）当 1q   时，连续m项的和（如 2 3 2, , ,m m m m mS S S S S  L）仍组成等比数列（公比为 mq ， 2m  ）．注 意：这里连续 m项的和均非零． 11．求和常用方法 方法 1→错位相减法求和的注意点 在运用错位相减法求数列前 n项和时要注意四点： ①乘数（式）的选择； ②对公比 q的讨论（是否为 1）； ③两式相减后的未消项及相消项呈现的规律； ④相消项中构成数列的项数． 方法 2→裂项相消法求和的注意点 在应用裂项相消法求和时应注意： （1）把通项裂项后，是否恰好等于相应的两项之差； 13 （2）在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，是否还有其他项． 方法 3→求和方法——分组求和法的解题步骤 利用分组求和法解题的步骤： ①根据通项公式的特征准确拆分，将其分解为可以直接求和的一些数列的和； ②分组求和，分别求出各个数列的和； ③得出结论，对拆分后每个数列的和进行组合，解决原数列的求和问题． 1．[2018北京文]设 a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．公差不为 0的等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 6 43a a ，且 10 4S a ，则的值为 A．15 B．21 C．23 D．25 3．设 nS 为等比数列 na 的前 n项和， 12 47S S ，则 8 4 S S  A． 1 3 B． 1 3 或 1 2 C．3 D．3或 2 4．设正项等比数列 na 的前 n项和为 nS ，且 1 1n n a a   ，若 3 5 20a a  ， 3 5 64a a  ，则 4S = A．63或 120 B．256 C．120 D．63 5．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 2 1 2a a ，且 3S ， 1S ， 2S 成等差数列，则 4S  A．10 B．12 C．18 D．30 6．在数列{ na }中，已知 1 2a  ， 1 1 2 2 n n n aa a      2n  ，则 na 等于 A． 2 1n  B． 2 n 14 C． 3 n D． 3 1n  7．已知数列 na 是递增数列，且对 *nN ，都有 2 na n n  ，则实数的取值范围是 A． 7 , 2       B．  1,  C．  2,  D．  3,  8．已知数列 na 满足 5 1na n  （ *nN ），将数列 na 中的整数项按原来的顺序组成新数列 nb ， 则 2018b 的末位数字为 A．8 B． 2 C．3 D．7 9．[2018浙江]已知 1 2 3 4, , ,a a a a 成等比数列，且 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a      ．若 1 1a  ，则 A． 1 3 2 4,a a a a  B． 1 3 2 4,a a a a  C． 1 3 2 4,a a a a  D． 1 3 2 4,a a a a  10．[2018北京文]“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单 音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2 .若第一个单音的频率为 f，则第八个 单音的频率为 A． 3 2 f B． 3 22 f C． 12 52 f D． 12 72 f 11．记 nS 为数列 na 的前 n项和，若 2 1n nS a  ，则 6S  __________． 12．设 na 是等差数列，且 a1=3，a2+a5=36，则 na 的通项公式为__________． 13．已知数列 na 满足： 2 1 2log 1 logn na a   ，若 3 10a  ，则 8a  __________． 14．设 nS 是等比数列 na 的前项和， 0na  ，若 6 32 5S S  ，则 9 6S S 的最小值为__________． 15．已知等差数列 na ，若 2 4 2 3 6na a a a a    ， 1 3 2 1 3 5na a a a a    ，且 2 200nS  ，则公差 d  __________． 15 16．[2018全国 I文]已知数列 na 满足 1 1a  ，  1 2 1n nna n a   ，设 n n ab n  ． （1）求 1 2 3b b b， ， ； （2）判断数列 nb 是否为等比数列，并说明理由； （3）求 na 的通项公式． 17．[2018全国Ⅲ文]等比数列{ }na 中， 1 5 31 4a a a ， ． （1）求{ }na 的通项公式； （2）记 nS 为{ }na 的前 n项和．若 63mS  ，求m． 18．[2018北京文]设 na 是等差数列，且 1 2 3ln2, 5ln2a a a   . （1）求 na 的通项公式； （2）求 1 2e e e naa a   . 16 19．已知等差数列 na 满足 3 2a  ，前3项和为 3 9 2 S  ． （1）求 na 的通项公式； （2）设等比数列 nb 满足 1 1b a ， 4 15b a ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 20．设 1 2a  ， 2 4a  ，数列 nb 满足： 1 2 2n nb b   且 1n n na a b   . （1）求证：数列 2nb  是等比数列； （2）求数列 na 的通项公式. 21．[2018 浙江]已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中项．数列{bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n项和为 2n2+n． （1）求 q的值； （2）求数列{bn}的通项公式． 17 ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ 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