【数学】2019届一轮复习北师大版数列、不等式及推理与证明学案

【数学】2019届一轮复习北师大版数列、不等式及推理与证明学案

高考必考题突破讲座(三)‎ 数列、不等式及推理与证明 ‎[解密考纲]数列、不等式是高中数学的主干知识，涉及函数思想的渗透和逻辑推理及数学运算．高考中常以数列的计算、推理和不等式的放缩变形为载体，考查学生的逻辑推理和运算能力．‎ ‎1．(2018·湖南长沙统考)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝‎3a2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，设bn的前n项和为Sn.求最小的正整数n，使得Sn>.‎ 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 依题意有解得 故{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.‎ ‎(2)因为bn＝＝－，‎ 所以Sn＝＋＋…＋ ‎＝1－，‎ 令1－>，解得n>1 008，故取n＝1 009.‎ ‎2．(2018·江西南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n.‎ 解析 (1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由S3＋S4＝S5，得a1＋a2＋a3＝a5，即‎3a2＝a5，‎ 所以3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2.‎ ‎∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1)．‎ ‎∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)‎ ‎＝(－2)×n＝－2n.‎ ‎3．(2018·东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析 (1)依题意 得 解得∴an＝2n＋1.‎ ‎(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，‎ ‎∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，‎ ‎3Tn＝3×3＋5×32＋…＋2×3n－1＋(2n＋1)×3n，两式相减，得 ‎－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ‎＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，∴Tn＝n·3n.‎ ‎4．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析 (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，‎ 则f′(x)＝2ax＋b.‎ 由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.‎ 又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，‎ 所以Sn＝3n2－2n.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；‎ 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，‎ 所以an＝6n－5(n∈N*)．‎ ‎(2)由(1)得bn＝＝ ‎＝·，‎ 故Tn＝ ‎＝＝.‎ ‎5．已知数列{an}满足a1＝3，－＝1，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log2，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn<－4的最小自然数n.‎ 解析 (1)由－＝1，n∈N*，‎ 知数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以＝2＋n－1＝n＋1，所以an＝n2＋2n，‎ 故数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n.‎ ‎(2)bn＝log2＝log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，‎ 则Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2(n＋1)－log2(n＋2)＝1－log2(n＋2)，‎ 由Sn<－4，得1－log2(n＋2)<－4，解得n>30，‎ 故满足Sn<－4的最小自然数n为31.‎ ‎6．设a1，a2，a3，a4是各项均为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．‎ ‎(1)求证：‎2a1，‎2a2，‎2a3，‎2a4依次成等比数列；‎ ‎(2)是否存在a1，d使得a1，a，a，a依次成等比数列？并说明理由．‎ 解析 (1)因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1,2,3)是同一个常数，所以‎2a1，‎2a2，‎2a3，‎2a4依次构成等比数列．‎ ‎(2)假设存在a1，d满足条件．令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a>d，a>－2d，d≠0)．‎ 假设存在a1，d使得a1，a，a，a依次构成等比数列，‎ 则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4，‎ 令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，‎ 且(1＋t)6＝(1＋2t)4，‎ 化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.‎ 将t2＝t＋1代入(*)式，‎ t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，‎ 则t＝－.‎ 显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，‎ 因此不存在a1，d使得a1，a，a，a依次构成等比数列．‎