人教A版数学必修二3-3-3-3-3-4两条平行直线间的距离

人教A版数学必修二3-3-3-3-3-4两条平行直线间的距离

§3.3.3 点到直线的距离 §3.3.4 两条平行直线间的距离 一、教材分析 点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究 直线与圆的位置关系的主要工具. 点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外，还有 应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离 公式，会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴 涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一 般地研究数学问题，培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合. 学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生 展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的 乐趣. 二、教学目标 1．知识与技能 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式. 2．过程和方法 会用点到直线距离公式求解两平行线距离. 3．情感和价值 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题. 三、教学重点与难点 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 四、课时安排 1 课时 五．教学设计 （一）导入新课 思路 1.点 P(0,5)到直线 y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 (x0,y0),直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?这节课我 们就来专门研究这个问题. 思路 2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.如图 1,已知点 P(x0,y0)和 直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离(为使结论具有一般性，我们假设 A、B≠0). 图 1 （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法 的优缺点是什么? ②前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的，若 A、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？ ③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动： ①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0 时，d= 22 || BA C  ；(ⅱ)x0≠0,y0=0 时，d= 22 0 || BA CAx   ； (ⅲ)x0=0,y0≠0 时，d= 22 0 || BA CBy   . 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点 P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d= 22 00 || BA CByAx   . 启发诱导：当点 P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置，从而可利用 前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来 处理) 证明：设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0，令 y=0，得 P′( A C1 ,0). ∴P′N= 22 1 22 1 |||)(| BA CC BA CA CA     . (*) ∵P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|= 22 00 || BA ByAxC   即 d= 22 00 || BA CByAx   ,. ②可以验证，当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d= 22 21 || BA CC   . 证 明 ： 设 P0(x0,y0) 是 直 线 Ax+By+C2=0 上 任 一 点 ， 则 点 P0 到 直 线 Ax+By+C1=0 的 距 离 为 d= 22 00 || BA CByAx   . 又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2，∴d= 22 21 || BA CC   . 讨论结果：①已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0，求点 P 到直线 l 的距离公式为 d= 22 00 || BA CByAx   . ②当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立. ③两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离公式为 d= 22 21 || BA CC   . （三）应用示例 思路 1 例 1 求点 P0(-1，2)到下列直线的距离： (1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得 d= 52 5 10 12 |102)1(2| 22    . (2)因为直线 3x=2 平行于 y 轴，所以 d=| 3 2 -(-1)|= 3 5 . 点评：例 1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活 性，并没有局限于公式. 变式训练 点 A(a，6)到直线 3x－4y=2 的距离等于 4，求 a 的值. 解: 22 43 |2643|  a =4 |3a-6|=20 a=20 或 a= 3 46 . 例 2 已知点 A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h，则 S△ABC= 2 1 |AB|·h. |AB|= 22)31()13( 22  ， AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. AB 边所在的直线方程为 13 1 31 3    xy ,即 x+y-4=0. 点 C 到 x+y-4=0 的距离为 h= 2 5 11 |401| 22    ， 因此，S△ABC= 2 1 × 2 522  =5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运 算解决几何问题的优越性. 变式训练 求过点 A(-1,2),且与原点的距离等于 2 2 的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为 x＋y－1=0 或 7x＋y＋5=0. 例 3 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离. 解:在直线 2x-7y-6=0 上任取一点,例如取 P(3,0),则点 P(3,0)到直线 2x-7y+8=0 的距离就是两平行线间的 距离.因此, d= 53 5314 53 14 )7(2 |80732| 22    . 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练 求两平行线 l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0 的距离. 答案： 13 32 . （四）知能训练 课本本节练习. （五）拓展提升 问题：已知直线 l:2x-y+1=0 和点 O(0，0)、M(0，3)，试在 l 上找一点 P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出 这个最大值. 解:点 O(0，0)关于直线 l:2x-y+1=0 的对称点为 O′ (- 5 4 , 5 2 )， 则直线 MO′的方程为 y-3= 4 13 x. 直线 MO′与直线 l:2x-y+1=0 的交点 P( 5 11,15 8  )即为所求， 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|= 5 185 . （六）课堂小结 通过本节学习，要求大家： 1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于 探索、善于研究的精神，学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式 应用. （七）作业 课本习题 3.3 A 组 9、10；B 组 2、4.